多元统计分析试题及答案
华南农业大学期末试卷（A 卷）
、填空题（5X 6=30）
1、设 X ~ N 2(, ）,其中
X
(X 1 , X 2 ), ( 1 , 2 ), 2
1
1
，
则 Cov( x 1 x 2, x 1
X 2)=
10
2、设 X i ~ N 3 （， ),i
1,L ,10,则 W =
i 1 (X i
)(X i
)
服从
。
4
4 3
3、设随机向量 X
X 1 X 2
X 3 ,且协方差矩阵
4 9
2 ,
3
2 16
则它的相关矩阵
R
设X=& X 2 X 3 '的相关系数矩阵通过因子分析分解为
1
1 2
3 3
0.934
0.128
1
0.934 0.417 0.835
R
-
1 0 0.417 0.894
0.027
3
0.894 0.447
0.835
0.447
0.103
2
1
3
X i 的共性方差h i 2 ，
X i 的方
__
公因子f i 对X 的贡献g ：
5、设X
i ,i 1,L ,16是来自多元正态总体 N p ( , ), X 和A 分别为正态总体 N p (,) 的样本均值和样本离差矩
考试类型：（闭卷）
考试时间：120分钟
学号
姓名
年级专业
2006学年第2学期 考试科目：多元统计分析
阵，则T215[4( X )] A 1[4( X )] ~ ____________________ 。
二、计算题（5X 11=50）
16 4 2
1、设X （X1,X2,x』~ 弘（,）,其中（1,0, 2）, 4 4 1
2 1 4
试判断x1 2x3与X2 X3是否独立？
X
1
2、对某地区农村的 6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，
得相关数据如下，根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三个指标的 均值 0
(90,58,16),现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男婴是
否与城市男婴有相同的均值。
82.0
4.3107 14.6210 8.9464 其中 X 60.2 ,(5 S) 1
( 115.6924) 1
14.6210 3.172 37. 3760
14.5
8.9464
37.3760
35.5936
(
0.01, F 0.01 (3, 2) 99.2, F 0.01 (3,3)
29.5, F 0.01 (3, 4)
16.7)
4
2 2
0.5,误判的代价C(2|1) 3
3、设已知有两正态总体 G 与G,且1 而其先验概率分别为q 1 q 2 C (12) e;
试用Bayes 判别法确定样本X 属于哪一个总体？
4、设X (X I,X2,X3,X4)T ~ N4(0,)，协方差阵
(1) 试从》出发求X的第一总体主成分；
(2) 试问当取多大时才能使第一主成分的贡献率达1
1
1
1
,0 1
1 95％以上。
5、设X (X1,X2)T,Y(Y,X2)T为标准化向量，令Z
V(Z)
100 0 0 0 11 12
0 1 0.95 0 21 22
0 0.95 1 0
0 0 0 100
求其第一对典型相关变量和它们的典型相关系数？
、证明( 7+8=15)
Y ,且其协方差阵
1、设随机向量X的均值向量、协方差矩阵分别为
试证：E( XX )
2、设随机向量X~N P(,),又设Y=A p X+b r!, 试证：丫~ N r(A b,A
A)。
华南农业大学期末试卷(A)答案、填空题
1、0 2 、W3 （10,刀）3、
4、0.872 1 1.743
2
5、T (15,卩)或(15p/(16-p) ) F (p, n-p ) 1、令
y1
X1 ,y2 X1 2X3,则
*
X2 X3 0 1 -1 X1
X1 1 0 0 X2
y2 X
1 2X3 1 0
2 X3
0 1 -1 1 2
E 1 1 0 0 0 1
y2
1 0
2 2 3
0 1 -1 16 4 2 0 1 -1
V y1 1 0 0 4 4 1 1 0 0
y2
1 0
2 2 1 4 1 0 2
10 6 16
6 16 20
16 20 40
2 10 6
1 6
故y,y2的联合分布为2（ 1 , 6 16 20
3 16 20 40 故不独立。1
4 1 6
1
多元统计分析期末复习
第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： )',...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='=Λ)')((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ
2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变),(~∑μP N X μ∑μ p X X X ,,,21Λ),(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ)()1(,, n X X ΛX )',,,(21p X X X Λ)')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1 X μ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X
多元统计分析期末试题
一、填空题（20分） 1、若),2,1(),,(~)(n N X p 且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布 为 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,(' 21n i X X X X ip i i i ，总体),(~ p N X ，对样品进行分类常用的距离 2 ()ij d M )()(1j i j i x x x x ，兰氏距离()ij d L 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是： x y 10，多元回归的数学模型是： p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 二、计算题（60分） 1、设三维随机向量),(~3 N X ，其中 200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21 X X 和3X 是否独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21 X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵 22211211，),(21 X X 的协差矩阵为11 因为12321),),cov(( X X X ，而012 ，所以),(21 X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互
多元统计分析模拟试题教学提纲
多元统计分析模拟试 题
多元统计分析模拟试题（两套：每套含填空、判断各二十道） A卷 1)判别分析常用的判别方法有距离判别法、贝叶斯判别法、费歇判别法、逐 步判别法。 2)Q型聚类分析是对样品的分类，R型聚类分析是对变量_的分类。 3)主成分分析中可以利用协方差矩阵和相关矩阵求解主成分。 4)因子分析中对于因子载荷的求解最常用的方法是主成分法、主轴因子法、 极大似然法 5)聚类分析包括系统聚类法、模糊聚类分析、K-均值聚类分析 6)分组数据的Logistic回归存在异方差性，需要采用加权最小二乘估计 7)误差项的路径系数可由多元回归的决定系数算出，他们之间的关系为 = 8)最短距离法适用于条形的类，最长距离法适用于椭圆形的类。 9)主成分分析是利用降维的思想，在损失很少的信息前提下，把多个指标转 化为几个综合指标的多元统计方法。 10)在进行主成分分析时，我们认为所取的m（m 22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92, 3216___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献1213 30.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.10320 13 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ??? 一、判断题 （ 对 ）112(,,,)p X X X X '=L 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 ）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （ 对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。 （ 错）5),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，,X S 分别是样本均值和样本离差阵，则, S X n 分别是,μ∑的无偏估计。 （ 对）6),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，X 作为样本均值μ的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错）7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对）8因子载荷阵()ij A a =中的ij a 表示第i 个变量在第j 个公因子上的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher 判别与距离判别等 价。 （对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher 判别法对总体的分布无特定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵． 2、设∑是总体1(,,)m X X X =L 的协方差阵，∑的特征根(1,,)i i m λ=L 与相应的单 位正交化特征向量 12(,,,)i i i im a a a α=L ，则第一主成分的表达式是 11111221m m y a X a X a X =+++L ，方差为 1λ。 3设∑是总体1234(,,,)X X X X X =的协方差阵，∑的特征根和标准正交特征向量分别 为：' 112.920(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)U λ==--- ' 221.024(0.9544,0.0984,0.2695,0.0824)U λ==- '330.049(0.2516,0.7733,0.5589,0.1624)U λ==-- 一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A 和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 1．多元分析研究的是多个随机变量及其相互关系的统计总体。 2．多元统计中常用的统计量有：样本均值、样本方差、样本协方差和样本相关系数。 3．协方差和相关系数仅仅是变量间离散程度的一种度量，并不能刻画变量间可能存在的关联程度。 4．人们通过各种实践，发现变量之间的相互关系可以分成相关和不相关两种类型。 5．总离差平方和可以分解为回归离差平方和和剩余离差平方和两个部分，各自的自由度为p 和n-p-1，其中回归离差平方和在总离差平方和中所占比重越大，则线性回归效果越显著。7．偏相关系数是指多元回归分析中，当其他变量固定后，给定的两个变量之间的的相关系数。8．Spss中回归方程的建模方法有一元线形回归、多元线形回归、岭回归、多对多线形回归等。9．主成分分析是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的综合变量，并寻求相关性的一种方法。 10．主成分分析的基本思想是：设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。 11．主成分的协方差矩阵为对角矩阵。 12．主成分表达式的系数向量是相关系数矩阵的特征向量。 13．原始变量协方差矩阵的特征根的统计含义是原始数据的相关系数。 14．原始数据经过标准化处理，转化为均值为0 ，方差为1 的标准值，且其协方差矩阵与相关系数矩阵相等。 15．样本主成分的总方差等于1 。 16．变量按相关程度为，在相关性很强程度下，主成分分析的效果较好。 17．在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为方差贡献度。 19．因子分析是把每个原始变量分解为两部分因素，一部分是公共因子，另一部分为特殊因子。20．变量共同度是指因子载荷矩阵中第i行元素的平方和。 21．公共因子方差与特殊因子方差之和为 1 。22．聚类分析是建立一种分类方法，它将一批样哂或变量按照它们在性质上的亲疏程度进行科学的分类。 23．Q型聚类法是按样品进行聚类，R型聚类法是按变量进行聚类。 24．R型聚类统计量通常采用具有代表性的变量。 25．在聚类分析中需要对原始数据进行无量纲化处理，以消除不同量纲或数量级的影响，达到数据间可同度量的目的。常用的无量纲化方法有以下几种：中心化变换、规格化变换、标准化变换、对数变换。 26．六种Q型聚类方法分别为最短距离法、最长距离法、中间距离法、重心法、类平均法、可变类平均法 28．判别分析是要解决在研究对象已分成若干类的情况下，确定新的观测数据属于已知类别中哪一类的多元统计方法。 29．用判别分析方法处理问题时，通常以判别函数作为衡量新样本点与各已知组别接近程度的指标。 30．进行判别分析时，通常指定一种判别规则，用来判定新样本的归属，常见的判别准则有Fisher准则、贝叶斯准则。 33．Fisher判别法就是要找一个由p个变量组成的线性判别函数，使得各自组内点的离差尽可能接近，而不同组间点的尽可能疏远。 能够进行分类和组 合；能够研究指标之间的依存关系；进行预测；进 量的影响显著性大小，从大到小逐个引入回归方程， 同时，在逐个自变量选入回归方程的过程中，如果 发现先前被引入的自变量在其后由于某些自变量的 引入而失去其重要性时，可以从回归方程中随时予 以剔除。引入一个变量或剔除一个变量，为逐步回 归的一步，每步都要进行显著性检验，以便保证每 次引入变量前回归方程中只包括显著性变量，这个 过程反复进行，直到既无不显著变量从回归方程中 i j1 X1 ,X2…… X p的一切线性 组合中方差最大的，F2是与F1不相关的X1 ,X2……Xp 一切线性组合中方差最大。F p是与F1 ,……F P-1不相关 在经济统计研究中，除了经济效益的综合评价研究 外，对不同地区经济发展水平的评价研究，不同地 区经济发展竞争力的评价研究，人民生活水平、生 活质量的评价研究，等等都可以用主成分分析方法 进行研究；另外，主成分分析除了用于系统评估研 究领域外，还可以与回归分析结合，进行主成分回 归分析，以及利用主成分分析进行挑选变量，选择 阵内部结构的研究，找出存在于所有变量（或样品） 中具有共性的因素，并综合为少数几个新变量，把 原始变量表示成少数几个综合变量的线性组合，以 再现原始变量与综合变量之间的相关关系。其中， 这里的少数几个综合变量一般是不可观测指标，通 亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。聚类分析 时，用来描述样品或变量的亲疏程度通常有两个途 径，一是把每个样品或变量看成是多维空间上的一 个点，在多维坐标中，定义点与点，类和类之间的 距离，用点与点间距离来描述样品或变量之间的亲 疏程度；另一个是计算样品或变量的相似系数，用 先将n个样品自成一类，然后每次将具有最小距 离的两个类合并，合并后再重新计算类与类之间的 距离，再并类，这个过程一直持续到所有的样品都 归为一类为止。这种聚类方法称为系统聚类法。根 据并类过程所做的样品并类过程图称为聚类谱系 区别：判别分析与聚类分析不同。判别分析是 在已知研究对象分成若干类型（或组别）并已取得 各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上 根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品 进行判别分类。聚类分析，并对于一批合定样品要 划分的类型事先不知道，正需要聚类分析来综合确 定类型的。 联系：判别分析与聚类分析往往联合使用，往 往是专职能部门类分析，再进行判别新样品属于哪 单变量描述的计量，对判别分析所要求的前提能定 进行统计检验；（2）推导判别系数组出标准化或未 标准化的典则判别函数系数，并进行安著性检验； （3）建立Fisher判别模型，根据Bayes规则和 Fisher规则进行判别组合；4）进行样本回判分析， 对判别系数的结果进行分析；（5）输出结果，根据 Fisher判别：又称典则判别，该方法的基本思 想是投影，即将原来在R维空间的自变量组合投影 到维度较低的D维空间上去，然后在D维空间再进 行分类。其优势在于对分布和方差没有什么限制， 应用范围广泛。 Bayes判别：就是利用经验信息，基本思想是认 为所有D个类别都是空间中互斥的子城，每个观测 都是空间中的一点。其优点在于进行多类别判别， ，根据样品到类之间的“距 离”大小判别，样品到那个类的“距离”最小，判 p个指标 的线性判别函数，把待判样品代入线性判别函数， 公式计算样品到每个 总体（类）的概率，比较概率的大小，样品到那个 总体（类）的概率最大，就判样品属于哪个总体（类）。 将每个 原始变量分解成两部分因素，一部分是由所有变量 共同具有的少数几个公共因子组成的，另一部分是 联系：（ 成分分析的逆问题。（2）二者都是以‘降维’为目的， 都是从协方差矩阵或相关系数矩阵出发。 区别：（1）主成分分析模型是原始变量的线性组 合，是将原始变量加以综合、归纳，仅仅是变量变 换；而因子分析是将原始变量加以分解，描述原始 变量协方差矩阵结构的模型；只有当提取的公因子 个数等于原始变量个数时，因子分析才对应变量变 换。（2）主成分分析，中每个主成分对应的系数是 唯一确定的；因子分析中每个因子的相应系数即因 子载荷不是唯一的。（3 ）因子分析中因子载荷的不 唯一性有利于对公因子进行有效解释；而主成分分 （2）因子提取 （3）因子旋转 概念（思想） 重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来 代替原来指标。同时根据实际需要从中可取几个较 少的综合指标尽可能多地反映原来的指标的信息 几何意义： 主成分分析的过程也就是坐标旋转的过程，各主 成分表达式就是新坐标系与原坐标系的转换关系， 新坐标系中各坐标轴的方向就是原始数据方差最 一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量， 然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的 样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直 到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 首先在 组合之间具有最大的相关系数。然后选取和最初挑 选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对， 并选取相关系数最大的一对，如此继续下去，直到 两组变量之间的相关性被提取完毕为此。被选出的 线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为 典型相关系数。典型相关系数度量了这两组变量之 的统计方法 （2）取每组变量的线性组合，使他们的线性组合 的相关系数达到最大 （3）然后在每组中再取第二对典型相关变量，使 其与第一对不相关 （4）反复取，直到两组变量的相关性提取完为止 * X(α) (α＝1,…,n).检 验 （1）H0: μX＝μ0 (μ0为已知向量),H1: μ≠μ0 （2）取检验统计量 （3）按传统的检验方法,对给定的显著水平α,查临 界值表得λα: （4）由样本值计算X及T20值,若T 20 ＞λα,则否 （2）求典型相关系数及典型变量 2 别抽取n1和n2个样品，每个样品测量p个指标， 计算X到G1、G2总体的距离。X∈G1 D (X1 , G1) ﹤D (X1 , G2)；X∈G2 D (X1 , G1) D (X1 , G2)；待定 D (X1 , G1)= D (X1 , G2)。 （2）多个总体的距离判别法：○1∑（1）=（2……=∑(k)= ∑时当W ji(X)﹥0 对一切j≠I；待判若有一个 W ji=0。当∑（1），∑（2……∑(k)互不相等时：X∈G i， 若有一个W ji=0 0=μ0 H1：μ≠μ0 (2) 检验统计量=n(X--μ0)/∑-1(X--μ0)～X2(P)(在H0 成立时)（3）对给定的检验水平a，查X2分布表使 P〔T02﹥λa〕=a可确定临界值λx再用样本值计算 T02,若T02﹥λa则否定H0，否则相容 第一章： 多元统计分析研究的容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X均值向量： 随机向量X与Y的协方差矩阵： 当X=Y时Cov（X，Y）=D（X）；当Cov（X，Y）=0 ，称X，Y不相关。 随机向量X与Y的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X，Y为随机向量，A，B 为常数矩阵 E（AX）=AE（X）； E（AXB）=AE（X）B; D(AX)=AD(X)A’; )' ,..., , ( ) , , , ( 2 1 2 1P p EX EX EX EXμ μ μ = ' = )' )( ( ) , cov(EY Y EX X E Y X- - = q p ij r Y X ? =) ( ) , (ρ Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。 4、对数变换：对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。它将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。 三、样品间相近性的度量 研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种：距离，它是将每一个样品看作p 维空),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X X )',,,(21p X X X )')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X 1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设H0和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2/21exp 2np n e tr n λ????=-?? ?????S S 00p H =≠ΣΣI ： /2/2**1exp 2np n e tr n λ????=-?? ????? S S 检验12k ===ΣΣΣ012k H ===ΣΣΣ： 统计量/2/2/2/211i i k k n n pn np k i i i i n n λ===∏∏S S 2. 针对一个总体均值向量的检验而言，在协差阵已知和未知的两种情形下，如何分别构造的统计量？ 3. 作多元线性回归分析时，自变量与因变量之间的影响关系一定是线性形式的吗？多元线性回归分析中的线性关系是指什么变量之间存在线性关系？ 答：作多元线性回归分析时，自变量与因变量之间的影响关系不一定是线性形式。当自变量与因变量是非线性关系时可以通过某种变量代换，将其变为线性关系，然后再做回归分析。 多元线性回归分析的线性关系指的是随机变量间的关系，因变量y 与回归系数βi 间存在线性关系。 多元线性回归的条件是： （1）各自变量间不存在多重共线性； （2）各自变量与残差独立； （3）各残差间相互独立并服从正态分布； （4）Y 与每一自变量X 有线性关系。 4.回归分析的基本思想与步骤 基本思想： 多元统计分析 题型一定义、名词解释 题型二计算（协方差阵、模糊矩阵） 题型三解答题 一、定义 二名词解释 1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广 2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量 三、计算题 解： 答： 答： 题型三解答题 1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 答： 第一，提出待检验的假设和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 2、简述一下聚类分析的思想 答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 3、多元统计分析的内容和方法 答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等 2、分类与判别,对所考察的变量按相似程度进行分类。（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。 、判断题 （对）1X （兀公2丄，X p）的协差阵一定是对称的半正定阵 （对）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （对）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。（错）5X （X-X2，,X p） ~ N p（ , ），X,S分别是样本均值和样本离 S 差阵，则X,—分别是，的无偏估计。 n （对）6X （X「X2， ,X p） ~ N p（ , ），X作为样本均值的估计，是无偏的、有效的、一致的。 （错）7因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （对）8因子载荷阵A （a j）中的a ij表示第i个变量在第j个公因子上的相对重要性。 （对）9判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher判别与距离判别等价。（对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵. 2、设是总体X （X」,X m）的协方差阵，的特征根i（i 1,L ,m）与相应的单 位正交化特征向量i （盼无丄,a m），则第一主成分的表达式是 y1 Q1X1 812X2 L QmX m 方差为1。 3设是总体X （X1,X2,X3, X4）的协方差阵，的特征根和标准正交特征向量分别为： 1 2.920 U；(0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U2(0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U3(0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 0.007U4 （ 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930），则其第二个主成分的表达式是 4 二名词解释 1、 多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理 论和方法，是一元统计学的推广 2、 聚类分析：是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方 法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。 使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、 随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性 （概率）取值的量。它是由于随 机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向 量。类 似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题 ，为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表 总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的 ，就需要对样本进行加工，把样本的信息浓缩 到不包含未知量的样本函数中，这个函数称为统计量 二、计算题 ^16 -4 2 k 设H = 其中启= （1Q —纣眉=-4 4-1 [― 试判断叼+ 2吟与 「花一? [是否独立？ 解: "10 -6 -15 -6 1 a 2U -16 20 40 故不独立口 -r o 2丿 按用片的联合分帚再I -6 lti 20 -1G 20 ) -1V16 -4 0 -4 A 2 丿"-1 2.对某地区农村的百名2周宙男翌的身高、胸圉、上半骨圉进行测虽，得相关数据如下』根据汶往资料，该地区城市2周岁男婴的遠三个指标的均值血二（90Q乩16庆现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男娶是否与城市男婴有相同的均值?伽厂43107-14.62108.946^1 ]丼中乂=60.2x^)-1=(115.6924)-1-14.6210 3.172-37 3760 、8.9464-37 376035.S936」= 0.01, (3,2) = 99.2, 03) =293 隔亠4) =16.7) 答: 2、假设检验问题：比、# =险用‘//H地 r-8.o> 经计算可得：X-^A 22 厂 「3107 -14.6210 ST1=(23J3848)-1 -14.6210 3.172 8 9464 -37 3760 E9464 -37.3760 35.5936 构造检验统计量：尸=旳（丟-間）〃丿（巫-角） = 6x70.0741=420.445 由题目已知热“（3,）= 295由是 ^I =^W3,3）^147.5 所以在显著性水平ff=0.01下，拒绝原设尽即认 为农村和城市的2周岁男婴上述三个指标的均 值有显著性差异 （］ 4、设盂=（耳兀.昂工/ ~M（（XE）,协方差阵龙=P P （1）试从匸出发求X的第一总体主成分; 答: （2）试|可当卩取多大时才链主成分册贡蕭率达阳滋以上. 应用多元统计分析 课程报告 班级专业:_ 市调0901 _ 学号: 2009***** __ 姓名:__ CYQ _____ 成绩:______________ 2010年10月7日 我国部分城市主要经济指标统计 ——官方与民间数据差异分析 一、引言 经济指标是反映一定社会经济现象数量方面的名称及其数值。本题主要经济指标包括人均GDP 1x （元）、人均工业产值2x （元）、客运总量3x （万人）、货运总量4x （万吨）、5x （亿元）、固定资产投资总额6x （亿元）、在岗职工占总人口的比例7x （％）、在岗职工人均工资额8x （元）、城乡居民年底储蓄余额9x （亿元）。所以我们借助这一指标体系对我国部分城市的主要经济指标进行分析。 二、数据分析 过程 1. 在SPSS 窗口中选择Analyze→Classify→Hierachical Cluster ，调出系统聚类分析主界面，并将变量X 1～X 5移入Variables 框中。在Cluster 栏中选择Cases 单选按钮，即对样品进行聚类（若选择Variables ，则对变量进行聚类）。在Display 栏中选择Statistics 和Plots 复选框，这样在结果输出窗口中可以同时得到聚类结果统计量和统计图。 2. 点击Statistics按钮，设置在结果输出窗口中给出的聚类分析统计 量。这里我们选择系统默认值，点击Continue按钮，返回主界面。 3. 点击Plots按钮，设置结果输出窗口中给出的聚类分析统计图。选 中Dendrogram复选框和Icicle栏中的None单选按钮，即只给出聚类树形图，而不给出冰柱图。单击Continue按钮，返回主界面。 4. 点击Method按钮，设置系统聚类的方法选项。这里我们仍然均沿 用系统默认选项。单击Continue按钮，返回主界面。 5. 点击Save按钮，指定保存在数据文件中的用于表明聚类结果的新 变量。None表示不保存任何新变量；Single solution表示生成一 2.试写出因子分析的数学模型（R 型与Q 型任写一种）. （一）、R 型因子分析的数学模型就是把变量（指标） 分解为公因子和特殊因子的线性组合，即 ???????++++=++++=++++=p m pm p p p m m m m F a F a F a X F a F a F a X F a F a F a X εεε 2211222221212112121111 令T p X X X X ),,(21 =，T m F F F F ),,(21 =， m P ij a A ?=)(T p ),,(21εεεε = 则ε+=AF X 且满足： （1）p m ≤ （2）0),(=εF Cov （3）??????? ? ??=1111)( F D （4）???????? ? ? ?=22221)(p D σσσε （二）、Q 型因子分析的数学模型就是把样本分解为公因子 和特殊因子的线性组合，即 ???????++++=++++=++++=n m nm n n n m m m m F a F a F a X F a F a F a X F a F a F a X εεε 2211)(22222121)2(11212111)1( 令T n X X X X ),,()()2()1( =，T m F F F F ),,(21 =， m n ij a A ?=)(T n ),,(21εεεε = 则ε+=AF X 且满足： （1）n m ≤ （2）0),(=εF Cov （3）??????? ? ??=1111)( F D （4）??????? ? ? ?=22221)(n D σσσε 3. 试写出多重多元回归的数学模型. 设有m 个自变量m x x x ,,21，对应p 个因变量p y y y ,,21 则多重多元回归的数学模型. ???????+++++=+++++=+++++=p m mp p p p p m m m m x x x y F x x y x x x y εββββεββββεββββ 221102222211202211221111011 其中),0(~),,(21∑p T n N εεε 6．简述主成分分析的计算步骤。 第一步：对原始数据进行标准化处理； 第二步：计算样本相关系数矩阵； 第三步：用雅克比方法求相关系数矩阵R 的特征值 （p λλλ 21,）和相应的特征向量() p i a a a a ip i i i 2,1,,,21==； 第四步：选择重要的主成分，并写出主成分表达式； 应用多元统计分析课后答案 第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 （一）夹角余弦 （二）相关系数 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别选择距离公式应遵循哪些原则 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法 ,min i k j r kr ij X G X G D d ∈∈= min{,}kp kq D D = （2）最长距离法 ,max i p j q pq ij X G X G D d ∈∈= 21 ()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ cos p ik jk ij X X θ= ∑ ()() p ik i jk j ij X X X X r --= ∑ ij G X G X ij d D j j i i ∈∈= ,min多元统计分析期末试题及答案
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