高考知识点幂函数与二次函数

第4节 幂函数与二次函数

最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x

3

，y ＝x 1

2，y ＝

1x 的

图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知 识 梳 理

1.幂函数 (1)幂函数的定义

一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).

顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质

[常用结论与微点提醒]

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向及给定区间的范围有关.

2.若f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，则当???a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当???a <0，

Δ<0

时，恒有f (x )<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 1

3是幂函数.( )

(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数.( )

(4)二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 2

4a .( )

解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 1

3不是幂函数，(1)错. (3)由于当b ＝0时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋c 为偶函数，故(3)错.

(4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b

2a 小于a 或大于b 时，最值不是4ac －b 2

4a ，故(4)错. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α

的图象过点? ??

??12，22，则k ＋α＝( )

A.12

B.1

C.32

D.2

解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1.又f (x )的图象过点? ????12，22，所以? ???

?12α＝22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝3

2. 答案 C

3.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝24

3，b ＝32

3，c ＝251

3，则( ) A.b

D.c

解析 因为a ＝24

3＝42

3，b ＝32

3，c ＝52

3又y ＝x 2

3在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . 答案 A

4.(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关

解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .

∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关.

答案 B

5.若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范

围是________.

解析二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.答案(－∞，－2]

考点一 幂函数的图象和性质

【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )

(2)已知幂函数f (x )＝(n 2

＋2n －2)x

n 2

－3n

(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，

＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A.－3 B.1 C.2

D.1或2

解析 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝1

2.

所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0

2

＋2n －2)x n 2－3n

在(0，＋∞)上是减函数，

∴?????n 2＋2n －2＝1，

n 2－3n <0，

∴n ＝1，

又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1. 答案 (1)C (2)B

规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

【训练1】 (1)(2018·渭南模拟)若a ＜0，则0.5a ，5a ，5－a

的大小关系是( )

A.5－a ＜5a ＜0.5a

B.5a ＜0.5a ＜5－a

C.0.5a ＜5－a ＜5a

D.5a ＜5－a ＜0.5a

(2)(2018·北京东城区一模)已知函数f (x )＝?????2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )

＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 解析

(1)5－a ＝?

?

?

??15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5

a ＜0.5a ＜5－a .

(2)在同一坐标系中，作y ＝f (x )的图象与直线y ＝k ，如图所示，则当0

答案 (1)B (2)(0，1) 考点二 二次函数的解析式

【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 解 法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).

由题意得?????4a ＋2b ＋c ＝－1，

a －

b ＋

c ＝－1，

4ac －b

2

4a ＝8，解得???a ＝－4，b ＝4，c ＝7. ∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线的对称轴为x ＝

2＋（－1）2＝12，∴m ＝12.

又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ? ??

??x －122

＋8.

∵f (2)＝－1，∴a ? ?

???2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，

∴f (x )＝－4? ????x －122

＋8＝－4x 2＋4x ＋7.

法三 (利用“零点式”解题)

由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.

又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 2

4a ＝8.

解得a ＝－4或a ＝0(舍).

∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

【训练2】 (1)(2018·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 解析 由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.

答案－2x2＋4

(2)若将例2条件变为：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足①不等式f(x)＋2x>0的解集为{x|1

解因为f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，

设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，

所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.

由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.

因为方程有两个相等的实数根，

所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，

解得a＝1或a＝－1

5.由于a<0，舍去a＝1.

所以f(x)＝－1

5x

2－

6

5x－

3

5.

考点三二次函数的图象与性质的应用(多维探究)

命题角度1二次函数的单调性与最值

【例3－1】(2018·兰州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.

解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，

∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，

∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，

又f(－4)＝35，f(6)＝15，

故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，

故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).

命题角度2二次函数的图象应用

【例3－2】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝

|x 2

－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1

m

x i ＝( )

A.0

B.m

C.2m

D.4m

解析 由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称.

不妨设x 1

2＝1，即x 1＋x m ＝2， 同理有x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，

又∑m

i ＝1x i ＝x m ＋x m －1＋…＋x 1，所以2∑m

i ＝1x i ＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑m

i ＝1x i ＝m . 答案 B

命题角度3 二次函数的恒成立问题

【例3－3】 (2018·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[1，2] C.[2，3]

D.[1，2]

解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以，t ≥1. 则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，

要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2， 只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2. 又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.

答案 B

规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.

2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立?a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立?a ≤f (x )min .

【训练3】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .

(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围. 解 (1)由题意知?????－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得???a ＝1，b ＝2.

所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，

由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为 (－∞，－1].

(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k

令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，

由g (x )＝? ????x ＋122＋3

4知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，

所以k <1，

故k 的取值范围是(－∞，1).

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