人口数量预测模型

2014全国大学生数学建模四川文理学院竞赛选拔赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛的题目是：计划生育政策调整的数学模型

我们的参赛报名号为：

所属二级学院及专业（请填写完整的全名）：数学与财经学院数学与应用数学专业参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

日期：年月日

评阅编号（由数学建模协会评阅前进行编号）：

计划生育政策调整的数学模型

【摘要】

众所周知，人口数量和结构是影响经济社会发展的重要因素，而我国即将面临着严重人口老龄化和劳动力急剧减少的问题。为了解决这一问题,本文以数学建模的方式来模拟实行二胎政策和延迟退休年龄来控制我国人口数量和保持劳动力。当然应该在何时怎样具体的实行二胎政策及延迟退休年龄将是本文的一个重点。

模型一通过建立Logistic模型预测出我国未来20多年的人口总数，同时按年龄阶段得到了人口数量的百分比，根据我国男女劳动参与率，利用线性最小二乘法拟合和matlab数学软件得到各个年龄阶段的人均参与率，再利用Matlab作图得到我国最大劳动力所对应的时间t，根据所建立的数学模型计算得到真正实行二胎政策年数及延迟退休年龄的具体时间。

模型二通过建立灰色系统模型，根据达州市的发展变化规律预测得到该市的人口发展趋势，得到了达州市未来几年的人口数量，再根据模型计算得到的实施政策时间，分析了该政策对达州市未来人口数量、结构、劳动供给等方面的影响。

【关键词】人口预测，劳动力，人口老龄化

一、问题重述

人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。

人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。研究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。

请收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解，并针对达州市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

二、模型基本假设

（1）、把研究的社会人口当作一个整体，当作一个系统考虑；

（2）、所有表征和影响人口变化的因素都是在整个社会人口平均意义下确定的；（3）、在短期内没有外来物种对人类的生存造成影响；

（4）、医疗水平，科学技术在未来相当长的时间内不会对人的死亡率造成影响； （5）、假设每年人口的出生人数、死亡人数都是在年末某个时间点发生，而不考虑时间段，则死亡率为1/75。； （6）、假设在预测期内无战争或自然灾害等引起的大规模伤亡或迁移，即国内人口变化主要取决于生育率、死亡率；

注：这里提出的均为全局意义上的假设，针对每个模型的假设条件文中将在每个模型之前另外列出；

（7）、假设实行二胎1t 年后第3阶段的退休人数等于增加人数，且增加b 人才能达到最大劳动力。

三、 符号说明

符号

含义说明

n

不同的年龄阶段（n=1、2、3）

()t r n

t 时刻在第n 年龄阶段的人口增长率

()t x n

t 时刻第n 年龄阶段的人口数量

n m x

第n 阶段的最大人口数量

n p

第n 年龄阶段人均劳动参与率

()t z

在t 时刻3个年龄阶段总的劳动力

()1z t 、()2z t 、()3z t

表示不同阶段年龄随时间变化的劳动力

()a t

随时间变化的大于20岁能生育女性数量

1t

实行的二胎年数

2t

推迟的退休年数 ()11a t 、()21a t

实行二胎1t 年后第1阶段与第2阶段的人口增加数

A

对中国发展最有利的人口数量

四、 模型分析与建立

模型一：

假设人口增长率()t r n 是t 时刻人口()t x n 的函数，根据分析，()t r n 应是x 的减函数。一个简单的假设是假设()t r n 为x 的线性函数()t r n sx r n -=（s>0）。(()n n r r =0)考虑自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量n m x （称最大人口容量）。当n m x x =时增长率为零（环境饱和），即()

0=n m n x r ，在线性化假设前提下，可以得到

()???

?

?

?-

=n m

n n x x

r x r 1 （1.1） 其中n r 、n m x 通常根据人口统计数据或经验确定。在（1）式的假设下，指数模型可以修改为

()0

01x x x x x r dt dx n m n =??

?

?

?

?-

= （1.2） 该方程为经典的阻滞增长模型（Logistic 模型）。

方程（2）的解为 ()t

r m m n n n n

e x x x t x --+=

)1(

10

（1.3）

n=1时，()t r n 与n m x 分别表示为年龄为0—14岁的人在t 时刻的人口增长率及其相应的最大人口数量；

n=2时，()t r n 与n m x 分别表示为年龄为15—64岁的人在t 时刻的人口增长率及其相应的最大人口数量：

n=3时，()t r n 与n m x 分别表示为年龄为65岁以上的人在t 时刻的人口增长率及其相应的最大人口数量；

由上面的模型可以预测出未来26年的三个年龄段的人口数量占总人口数的百分比（如下图）：

人口总数(十亿) 年龄结构

n=1 n=2 n=3 2014 1.3711 15.2557 75.1292 9.6151

2015 1.3784 14.7588 75.3967 9.8445

2016 1.3858 14.2782 75.6424 10.0794

2017 1.3933 13.8132 75.8670 10.3198

2018 1.4008 13.3633 76.0707 10.5660

2019 1.4083 12.9281 76.2538 10.8181

2020 1.4158 12.5071 76.4167 11.0762

2021 1.4234 12.0997 76.5599 11.3404

2022 1.4311 11.7057 76.6834 11.6109

2023 1.4388 11.3245 76.7876 11.8879

2024 1.4465 10.9557 76.8728 12.1715

2025 1.4542 10.5989 76.9392 12.4619

2026 1.4621 10.2537 76.9871 12.7592

2027 1.4699 9.9197 77.0167 13.0636

2028 1.4778 9.5967 77.0281 13.3752

2029 1.4857 9.2841 77.0216 13.6943

2030 1.4937 8.9818 76.9972 14.0210

2031 1.5017 8.6893 76.9552 14.3555

2032 1.5098 8.4063 76.8957 14.6980

2033 1.5179 8.1325 76.8189 15.0486

2034 1.5260 7.8677 76.7247 15.4076

2035 1.5342 7.6114 76.6134 15.7752

2036 1.5425 7.3635 76.4850 16.1515

2037 1.5507 7.1237 76.3395 16.5368

2038 1.5591 6.8916 76.1771 16.9313

2039 1.5674 6.6673 75.9975 17.3352

2040 1.5759 6.4502 75.8010 17.7488

图1

上表所对应的图形为：

图2

以2010年的统计数据为参考，可知2010年各年龄阶段全国男女人口数与劳动参与率。

2010年全国男女人口数与劳动参与率

年龄段男性人口男性劳动参与率（%）女性人口女性劳动参与率（%）15-19 51904830 25.5 47984284 30.4

20-24 64008573 81.7 63403945 72.2

25-29 50837038 96.4 50176814 82

30-34 49521822 96.9 47616381 84.1

35-39 60391104 96.7 57634855 85.7

40-44 63608678 95.8 61145286 84.6

45-49 53776418 93.8 51818135 76.4

50-54 40363234 88.6 38389937 63.9

55-59 41082938 75.6 40229536 52.1

60-69 46088948 25.5 44318080 15.2

图3

利用线性最小二乘法拟合得到了不同年龄段人均劳动参与率函数图像：

图4

根据上面函数图像得到下表数据（n p 为在n 年龄阶段平均劳动参与率）

图5

()()n n n p t x t z ?=∑=3

1

（1.4）

其中()t z 表示在t 时刻，我国3个年龄阶段总的劳动力。 下图为t 关于()t z 的函数图像：

n

1

2 3 n p

0 76.8

18.3

图6

根据数据建立求解实行开放二胎的年数和延迟退休年数的模型：

()3

11n n n A t a t x ===?+∑ （1.5）

()()()()()()()())(

()()()()()()()()3233

max 1231111122212333

(t)a t p t x t p

z t z t z t z z t x t za t p z t x t a t p z t x t a t p ??=???

?=++??

=+???

=+???=+??? （1.6）

模型二：

近几年达州市的人口数据表

图7

建立人口数据时间序列如下：

{

()()()}

()(0)(0)(0)(0)1,x 2,

,6650.11,655.97,657.56,682,7246,685,39,688.2X x x ==

（2.1） 求出级比()k λ ()()

00

1(k)x k x k λ-=

(k 2,3,4,5,6)= （2.2）

()()()(2,3,6)(0.991,0.997,0.963,1.037,0.957)λλλλ== （2.3）

由于所有的()[]0.957,1.037k λ∈ (k 2,3,4,5,6)= ，故可以用()0x 作满意的GM （1，1）建模。

对原始的数据()0x 做一次累加，即

()()1650.11,1306.08,1963.64,2646.3646,3331.7546,4019.9546x = （2.4） 构造数据矩阵B 及数据向量Y

()()()()()()()()()()(1)(1)

1111(1)(1)(1)(1)

1121212312134121(4)(5)121(5)(6)12x x x x B x x x x x x ????-+????????

??-+?

?????

????=-+??????

??-+??????

????-+?????? (0)(0)(0)(0)

(0)(2)(3)(4)(5)(6)x x Y x x x ????????=?????????? （2.5）

五、 模型求解

模型一求解： 由（1.5）、（1.6）得：

实行二胎的年数()()()()()3

1

1max 1231122

n n

n A x t z x t x t x t a t p a t p ==-=

----?-?∑

延迟退休的年数()()()()()()max 1231122

233

z x t x t x t a t p a t p t x t p ----?-?=

?

模型二求解：

由（2.5）计算可得：^

10.0202(,c)(B )632.2718T T T u a B B Y --??

=== ???

（2.6） 其为：()1

1dx ax t c dt

+= （2.7） 由（2.6）、(2.7)可得(1)

^0.0202(1)31950.694231300.5842k x k e +=- （2.8） 求生成数列预测值(1)^(1)x k +及模型还原值(0)

^(1)x k +： 令k=1,2,3,4,5,由上面的时间响应函数可算得(1)

^x ，其中取

(1)

^(1)x =(0)

^(1)x =(0)(1)x =650.11 （2.9）

(0)^()x k =(1)

^(1)()(1)x k x k --取k=2,3,4,5,6，

可得：{()()()}

()(0)(0)(0)(0)1,x 2,

,6650.11,655.97,657.56,682,7246,685,39,688.2X x x ==

六．模型评价与改进

6.1 灰色系统模型的评价： 优点：

1. 此方程建立在控制论基础上，对实际情况有较为周全的考虑，而且对于人口的实际控制有着很强的理论指导价值。

2. 精度较高，误差基本都在5‰以内，适合短期预测。

缺点：灰色系统模型不能找出数据本质上的关联，且此方法过于依赖数据，不能进行长

期预测。

6.2 Logistic 预测模型的评价与改进：

Logistic 模型有较高的精度，对中长期预测较好, 能很好的处理人口转折时期的变化，适合中长期预测。改进的Logistic 模型能在Logistic 的基础上，进一步提高预测精度。但对于长期预测，所有模型都很难克服数据的缺失带来的误差，以及长期的发展还与诸多非自然因素有关，这样就很难其的预测准确度。于是我们提出与线性回归结合的

Logistic 模型。首先运用Logistic 模型到人口的发展趋势，由此按曲线的变化将其分段，然后再用线性回归拟合得到更精确的估算。

七、 模型的推广与简要评价

模型的优点：

1、 对于本文提出的计量模型（模型一）与模型二，本文的模型在处理问题上简洁、清晰、合理，操作简单易懂，且具有可信度，基本符合事实规律。

2、 采用Excel 和Matlab 软件对附录中的数据进行恰当处理，降低运算量，加快运算速

度，同时可操作性强；

3、采用不同的多种模型，全面分析、运行；

4、结合实际情况，全面考虑各种因素对退休年龄的影响情况，同时又结合数学公式将

实际问题显得更加形象化。

5、文中使用了的大量数据并非猜想取得，使结果更加准确清晰；

6、文中给出大量的图像表格，使读者对文章清晰易懂；

模型的缺点：未考虑到以下因素对结果的影响:

1、在运用该模型一进行预测时，由于考虑因素比较单一，该模型不能完全符合现实生

活中推迟的年龄变化，但有一定指导意义；

2、背景值的筛选方法不太合理，导致有些数据与国家标准不太相符，降低了模型的准

确性；

3、对某些数据处理过于理想化；

4、对结果误差考虑较少。

八、参考文献

[1] 中国统计年鉴：人口相关数据

https://www.360docs.net/doc/d613184452.html,/tjsj/zbjs/201310/t20131029_449552.html

[2] 汪小勤，汪红梅.“人口红利”效应与中国经济增长[J].华中科技大学出版社，2007：104-105.

[3] 刘静.基于人口学理论的中国放开生育二胎政策研究[J].四川省社会科学院出版社，2010：2-3.

[4] 韩晓庆.基于LesLie模型中国未来人口策略模拟研究[M].东北财经大学，2012年

[5] 邓聚龙.灰色系统理论教程[M] .武汉：华中理工大学出版社,1990

[6] 达州市统计年鉴：2007~2012年相关数据

https://www.360docs.net/doc/d613184452.html,/Article/ShowClass.asp?ClassID=3

九、附录

最小二乘法拟合程序：

t=[23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33];

r=[11.82,11.71,11.6,11.5,11.41,11.32,11.23,11.14,11.06,10.99,10.91];

aa=polyfit(t,r,2);

a=aa(1)

b=aa(2)

c=aa(3)

y=polyval(aa,t);

plot(t,r,'k+',t,y,'r')

xlabel('t'),ylabel('R')

劳动总量预估测图像程序：

t=[1:1:50];

a=1600000000/1300000000-1;

y=1600000000./[(1.+a.*(2.718281828459.^(-0.3*t)))];

n2=0.73*y;

n3=0.09*y;

x=0.768*n2+0.183*n3;

plot(t,x)

(PS:1.6x10^9为中国预测的最大人口容纳量，1.3x10^9为2003中国人口估值)

达州市人口灰色预测模型程序：

x0=[71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]';

n=length(x0);

lamada=x0(1:n-1)/x0(2:n)

range=minmax(lamda')

x1=cumsum(x0);

B=[-0.5*(x1(1:n-1)+x1(2:n)),ones(n-1,1)];

Y=x0(2:n);

u=B\Y

x=dsolve('dx+a*x=b','x(0)=x0');

x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});

yucel=subs(x,{x,'t',[0:n-1]);

y=vpa(x,6)

yuce=[x0(1),diff(yucel)]

epsilon=x0'-yuce

delta=abs(epsilon./x0')

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda'