暨南大学高等数学期末考试题

一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

1． 已知()y x y x f 23,+=，.则2(,)f xy x 2 32 xy x =+.

2．因为0)(=C d ，所以?

dx 0= C ．

3． 设z=z(x,y) 是由方程

0z e xyz -=所确定的隐函数，

则x

z

??=z

yz

e xy

- 4． 若函数22(,)f x y x y =+则在点（0，0）取得极值，

5．

2()3sin f x dx x C =+?

, 则

()f x =2 6cos x x

6．计算广义积分2

1

ln e

dx x x

+∞

=?

1 7．函数x y

e =的差分=?x y (1) x e e -

8．微分方程 4

3

()59y y xy '''''++=的阶数是 2 阶。

9.函数

)

1ln(42222-+--=y x y x z 定义域为： {}

22 (,)|14 D x y x y =<+≤

10．已知z xy =当2,1,0.02,0.01x y x y ==-?=?=-时，则dz = 0.04 -

二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）

A 1；

B 2x ； C

2

2

1x ； D C x +221

2．已知边际成本为 ()0.42C x x '=+，且固定成本为20，则成本函数是（ A ）

A. 2

0.2220x x ++ B. 2

0.420x + C. 20.42x x +

D. 2

0.4220x x ++

3．若?

=

2

sin )(x tdt x f ，则)('x f =( A )。

A ．2

sin 2x x ， B.2

sin x x C.

22cos x x D. 2sin x

4． 设积分区域D:221,0,0x y y x +≤≥≥，则二重积分

??

+D

dxdy y x f )(22= ( D ) 。

A. 1

20

2

()d f r dr π

θ?

? B. 1

20

2()d f r rdr πθ??

C.

1

20

()d f r dr π

θ?

? D. 1

20

()d f r rdr πθ??

5．微分方程2y x '=的通解是（ B ）

A. 2y x c =+

B. 2

y x c =+ C. 2

1y x =+

D. 2

y x =

三、计算题（共6小题，每小题5分，共30分）

1．计算不定积分cos x

e xdx ?

.

解：

cos x e xdx ?

cos x xde =?

cos sin x x e x e xdx =+? cos sin x x e x xde =+?

cos sin cos x x x e x e x e xdx =+-?

移项

2cos cos sin x x x e xdx e x e x =+?

于是

1cos [cos sin ]2

x x x e xdx e x e x c =++? 2．计算定积分

dx x x

e

?+1ln 1。

解：1111ln 1ln e

e e x

x dx dx dx x x x

+=+???

11

ln ln (ln )e

e x xd x =+?

21

11ln ln 2e e

x x =+

13122

=+

= 3． 若y

x

y x y x f sin

ln )1(),(-+=，求(,)x f x y '. 解

(,)x f x y '：

[(x x y '=+-

1(x y '=++

11(2y =++

11(2y =++4求函数y x e z =的全微分及)

,(21d z

。

解：()xy dz

e ydx xdy =+

2(1,2)(1,2)()|(2)xy dz e ydx xdy e dx dy =+=+

5．求微分方程2x

y y e '-=的通解。 解：()2, ()x

p x q x e =-=

由()()[()]p x dx p x dx

y e q x e dx c -?

?=+?

(2)(2)[]dx

dx x

y e e e dx c ---?

?=+?

22[]

x x x y e e e dx c -∴=+?

2[]x x e e dx c -=+?

2[]x x e e c -=-+ 2 =x x ce e -

6．设z uv =而t

u e =,cos v t =求

dt

dz 解(),(),z z uv v uv u u v ??====??

(), (cos )sin t t du dv

e e t t dt dt ''====- dz z du z dv

dt u dt v dt

??∴=+

?? (sin )t ve u t =+- (sin )cos sin t t

t

ve u t e t e t

=+-=-

方法二：将t u

e =,cos v t =代入z uv =得：

cos t z uv e t ==

(cos )cos sin t t t dz

e t e t e t dt

'∴

==- 判别级数

∑∞

=1!

n n

n

n 是否收敛： 解： n

n n a a 1

lim

+∞→

四、判断题（共1小题，每小题5，共5）

= n

n n n n n n !

)1()!1(lim 1

+∞→++ =n n n n )1

(

lim +∞

→=1e 1

<-, ∴

原级数收敛.

五、计算题（共1小题，每小题5分，共5分）

求由曲线

所围成的图形的面积A 解： 两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为[0,1]

所求面积为

分 13

=分

六、计算题（共1小题，每小题6分，共6分）

设D 是

xoy

平面上由曲线

2x y =,直线2y =及0x =所围成的区域，试求

x D

I ye dxdy =??。

解：依题意作积分区域如图，选择先积x

此时积分区域为2{(,)|0,02}f D x y x y y =≤≤≤≤

x D

I ye dxdy =??

2

2

y x ydy e dx =??

?=??1

20d S x x

331

2

2[]33

x x =-2y x y ==，

2

2

x y ye

dy =?

2

2

[1]y y e dy =-?

2222

012y e dy ydy =-??

2224

011[][3]222

y y e e =-=-

七．计算题（共1小题，每小题5分，共5分）

设(,,)z f x y xy =+，函数f 具有二阶连续偏导数。试求2,

z z x x y

?????。 解：

''u v z

f yf x

?=+? 2''uu z

f x y

?=??+'''''()uv vv v x y f xyf f +++ 方法二记：

22'

111122, , z z z f f f x x x y

???''''===???? 则

''12z

f yf x

?=+? 2''11z

f x y

?=??+'''''12222()x y f xyf f ++

+ 八、计算题（共1小题，每小题6，共6分）

求幂级数

(1)n

n n x ∞

=+∑的收敛区间及和函数. 解：由11(1)lim

lim 11n n n n a n a n

+→∞

→∞++==+ 得1R =

∵当1x =时级数为

0(1)n n ∞

=+∑发散（lim(1)0n n →∞

+≠ ）

当1x =-时级数为

(1)(1)n

n n ∞

=-+∑发散（lim(1)(1)0n

n n →∞

-+≠ ）

∴幂级数

(1)n

n n x ∞

=+∑的收敛区间为（-1，1） 设和函数为()S x =

(1)n

n n x

∞

=+∑

两端关于x 求积分得：

1

()(1)(1), (-1,1)1x

x x

n

n

n n n n n n S x dx n x dx n x dx x x

x x x x

∞

∞

∞

+===∞

==+=+===

∈-∑∑∑

?

?

?∑

两端求导数得：

2

1

()(1)

S x x =

- 即

2

1

(1), (1)

n n n x x x ∞

=+=

-∑∈（-1，1）

九、应用题（共1小题，每小题8分，共8分）

.根据统计资料,销售收入R 与报纸广告费用

x (百万元)和电视广告费用 y (百万元)之间有如下

关系: 2

2

1514328210R x y xy x y =++--- 若可供使用的广告费为150万元,求相应的最佳广告策略

(百万元)，电视广告费用为 y (百万元)．如果限定

解：已知报纸广告费用为 广告支出为

150

万元即

1.5

百万元，则问题转化为求函数

22(,)1513318210R x y x y xy x y =++---在条件1.5x y += 即

1.50x y +-= 限制下的条件极值问题

构造拉格朗日函数

2

2

(,,)1513318210( 1.5)F x y x y xy x y x y λλ=++---+?+-

求偏导数,建立方程组得

138403182001.50x y F y x F x y x y λλ'=--+=??

'=+--+=??+-=?

解之得

0, 1.5x y ==

答：根据该问题的实际意义知,此时将广告费全部用于电视广告,可使得该公司获得最大的纯销售收入.

十、证明题（共1题，每小题5分，共5）

证明

2

3

20

1()() (0)2a

a x f x dx xf x dx a =>?

?

证：由左边设2

x t =则122

xdx dt xdx dt =?=，当0x =时0t =，当x a =时2

t a =

于是左边2

3

2

2

2

00

1()()()2a

a

a x f x dx x f x xdx tf t dt

=

==?

??

2

1()2a xf x dx =?= 右边 即

2

3

2

1()() (0)2a

a x f x dx xf x dx a =>?

?

*******************************

2007 - 2008 学年度第 二

学期

一、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。每小题2分）

1. 3cos x dx =?（ B ）

( A ) 3cos x c + ( B ) 3sin x c + ( C ) 3cos x c -+ ( D ) 3sin x c -+ 2. 经过点（1，0），且其切线的斜率为23x 的曲线方程是（ A ）

( A ) 31y x =- ( B ) 3y x = ( C ) 31y x =+ ( D ) 33y x =- 3.

x e dx +∞-=?

（ D ）

( A ) 4 ( B ) 3 ( C ) 2 ( D ) 1

4. 设 x z y =，则 z

x ?=?（ B ） ( A ) 1x x y - ( B ) ln x y y ( C ) x xy ( D ) ln x y x 5.

11

1

1

2dy dx --=?

?（ C ）

( A ) 10 ( B ) 9 ( C ) 8 ( D ) 7 6. 微分方程 3457()5()0y y y x '''+-+=是（ B ）阶微分方程。 ( A ) 一 ( B ) 二 ( C ) 三 ( D ) 四 7. 二元函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是（ A ）

( A )（1，1） ( B )（0，0） ( C )（1，0） ( D ) （0，1） 8. 差分方程 2123x x x y y y ++--=是（ B ）阶的差分方程。 ( A ) 一 ( B ) 二 ( C ) 三 ( D ) 四

二、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。共8小题，每小题2分，）

1. 函数x

的全体原函数是

ln x C

+

2.某产品产量为x 的边际成本()20.2,C x x '=+且固定成本为２，则总成本函数

()C x =

220.12

x x ++

3.

151

x dx -=

?

4. 若()f x =1

dt ?

，则 ()f x '=

5. 函数z =+{

}22(,)14

x y x y ≤+≤

6. 已知函数 z x y = ，则 d z =ydx xdy

+

7. 差分(2)x ?=

2

8. 微分方程 2dy

x dx

= 的通解是3

13

y x c

=+

三、计算题（共4小题，每小题7分，共28分）

1. 计算定积分20

x x e dx ?

解：2

2

x x xe dx x de =??

2

20

0x

x xe e dx =-?

220

2x e e =-

21e =+ 2. 求不定积分2

2

1(2sin 1x x x dx x +++

+? 解：2

21(2sin 1x x x dx x +++

-+?

3112cos tan 3ln 2

x

x x arc x c =+-+-

注：错一项扣1分。

3. 计算定积分8

?

t =，则3x t =，23dx t dt =，于是

8

0?2

2031t dt t =+? 2

1

3(1)1t dt t

=-+

+? 22013[ln |1|]|3ln 32

t t t =-++=

4. 用定积分计算由曲线 2y x = 与直线 2y x =所围成的平面图形的面积。 解：如图

由2

2y x y x

=??=?， 得交点（0，0）和（2，4）。

2

20

(2)S x x dx =-?

232

01()3x x =-

4

3

= 注：仅画图给1分。

四、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）

1. 设 2

x y

z e yx =+，求z

x ??和2z x y ???。

解：

z

x

??()2x y x e xy yx '=+ 2xy ye xy =+

2z x y ???(2)xy ye xy y

?

=+? ()2xy xy y e ye xy x '=++ (1)2xy xy e x =++

2.由方程 2222x y z z ++= 确定函数(,)z f x y =可导。求z

x ??和z y

??及dz 。 解：令222(,,)2F x y z x y z z =++-，则有

2x F x '=，2y F y '=，22z F z '=-

1x z F z x

x F z

'?=-=

'?- 1y z F z y

y F z

'?=-=

'?-

11x y dz dx dy z z

=

+--

五、计算题（7分）

求方程

2xy x dx

+= 的通解及在初始条件0

1

2

x y ==-

下的特解。 解：()2p x x =，()q x x =，

则方程的通解为：()()[()]p x dx p x dx

y e q x e dx c -??=+?

22[]xdx xdx

e xe dx c -??=+?

2

2

()x x e

xe dx c -=+?

22

1()2x x e e c -=+

21

2x ce -=+ 由初始条件1

(0)2

y =-，则1c =-，特解为：

21

2

x y e -=-

六、计算题（6分）

计算二重积分(22)D

x y d σ+??，其中D 是由直线0x =，0y =与1y x =-围成的图形.

解：积分区域如图。

(22)D

x y d σ+??1

10

(22)x

dx x y dy -=+?

?

1210

(2)

x xy y dx -=+?

120

(1)x dx =-?

2

3

=

得分 评阅人

七、应用题（11分）

设生产某种产品的数量(,)Q x y 与所用两种原料A 和B 的数量x ，y 之间有关系式：0.80.2(,)2Q x y x y = 。现用300元购买两种原料，已知A 和B 两种原料的价格都是1元，问应购买两种原料各多少单位，才能使生产该种产品的数量最多？（本题要求用拉格朗日乘数法求解）。 解：设购买A 原料x 单位和购买B 原料y 单位，则该种产品的数量为

0.80.2(,)2Q x y x y =，且300x y += 令 0.80.2(,,)2(300)F x y x y x y λλ=++-，

由0.20.20.80.81.60

0.403000

x y F x y F x y F x y λ

λλ--'?=+=?

'=+=??'=+-=?，得24060x y =??=?

根据实际问题可知(,)Q x y 一定存在最大值，故（240，60）是使(,)Q x y 取得最大值的点。

答：购买A 原料240单位和购买B 原料60单位，才能使生产该种产品的数量最多。

**********************************************************

一、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号

码填在题干的括号内。共8小题，每小题2分，共16分）

1. 2sin x dx =?（ c ）

(a) 2cos x c + (b) 2sin x c + (c) 2cos x c -+ (d) 2sin x c -+ 2. 经过点（1，3），且其切线的斜率为2x 的曲线方程是（ a ） (a) 22y x =+ (b) 22y x =- (c) 21y x =+ (d) 23y x =+ 3.

(5)

(4)

Γ=Γ（ b ） (a) 3 (b) 4 (c) 2 (d) 1

4. 设 2x y

z e

=，则

z

x

?=?（ d ） (a) 22x y xe (b) 2

2x y x e (c) 2

x y e (d) 2

2x y xye 5.

21

3dy dx =?

?（ c ）

(a) 3 (b) 5 (c) 6 (d) 4

6. 微分方程 2dy

y dx

= 的通解是（ d ），其中c 为任意常数。 (a) 2x y e = (b) 2x y c e =+ (c) 2x y c e =- (d) 2x y ce = 7. 二元函数22(,)4()f x y x y x y =---的极值点是（ a ）

(a) （2，-2） (b) （-2，2） (c) （-2，3） (d) （3，-2） 8. 差分2()x ?=（ b ）

(a) 2x (b) 21x + (c) 21x - (d) 21x +

二、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。共8小题，每小题2分，共16分） 1. 函数cos x 的全体原函数是 sin x c +

2. 5x dx =?15ln 5x

c +

3.

1991

x dx -=

?

4. 若()f x =2

x

t e dt -? ，则 ()f x '= 2

x

e -

5. 函数 z =}

{2

2(,)4

x y x

y +≤

6. 已知函数 z 22x y = ，则 d z =

2()xy ydx xdy +

7. 差分方程 211222x x x x y y y y ++--+=+是 三 阶的差分方程。 8. 微分方程 34()20x y yy x '''-+=是 二 阶微分方程。 三、计算题（共4小题，每小题7分，共28分） 1. 求不定积分ln x x dx ? 解：ln x x dx ?=2

ln 2

x x d ?

=21

ln 22x x xdx -? =221

ln 24

x x x c -+

2. 求不定积分2

11x

dx x ++?

解：22211111x x

dx dx dx x x x

+=++++??? 21

arctan ln(1)2

x x c =+++

3. 计算定积分2

1

?

t =，则21x t =+，2dx tdt =，于是

2

1

?

=1021t dt t +? =1

1

2

(1)1dt t

-

+?

=102[ln |1|]|2(1ln 2)t t -+=-

4. 用定积分计算由曲线2y x =及直线y x =所围成的平面图形的面积。 解：如图

由2

y x

y x

=??=?， 得交点（0，0）和（1，1）。

1

20

()S x x dx =-?

231011

()23x x =- 1

6

= 四、计算题（共2小题，每小题6分，共12分）

1. 设 ln()z x xy =，求z

x ??和2z x y ???。

解：

z

x ??1ln()xy x y xy

=+

ln ln 1x y =++

2z x y ???(ln ln 1)x y y

?

=++? 1

y

=

2. 已知22x y z xz -+=，求隐函数(,)z z x y =的偏导数 z

x ??和z y

?? 。 解：令22(,,)F x y z x y z xz =-+-，则有

1x F z '=-，2y F y '=-，2z F z x '=-

1

2x z F z z x F z x

'?-=-=

'?- 22y z F z y

y F z x

'?=-=

'?- 五、计算题（共1小题，每小题7分，共7分） 求方程

1

2dy y x dx x

-= 的通解及在初始条件10x y ==下的特解。 解：1

()p x x

=-，()2q x x =，

则方程的通解为：})({)()(c dx e x q e y dx

x p dx x p +??=?-

11

{2}dx dx x

x e xe dx c -??=+?

(2)x dx c =+?

(2)x x c =+

由初始条件(1)0y =，则2c =-， 特解为：(22)y x x =-

六、计算题（共1小题，每小题5分，共5分）

计算二重积分2D

xy d σ??，其中D 是由直线0x =，0y =与1y x =-围成的图形.

解：积分区域如图。

2D

xy d σ??110

2x

dx xydy -=??

1

2

10

0x xy dx -=?

1230

(2)x x x dx =-+?

1

12

=

七、应用题（共2小题，第1小题10分，第2小题6分，共16分）

1.某公司的两家工厂生产同样的产品，但成本不同。第一家工厂生产x 单位产品和第二家工厂生产y 单位产品时的总成本是22(,)315C x y x y x y =++++。若公司生产的任务是1000单位，问如何在这两家工厂之间分配任务才能使公司的总成本最低?（本题要求用拉格朗日乘数法求解）。 解：设第一家工厂生产x 单位产品和第二家工厂生产y 单位产品，则

总成本22(,)315C x y x y x y =++++，且1000x y += 令 22(,,)315(1000)F x y x y x y x y λλ=++++++-，

由210

61010000

x y x y λλ++=??

++=??+-=?

，得750250x y =??=?

根据实际问题可知(,)C x y 一定存在最小值，故（750，250）是使(,)C x y 取得最小值的点。

答：第一家工厂生产750单位产品，而第二家工厂生产250单位产品时公司的总成本最低。

2.某商品的需求量Q 对价格P 的弹性为ln 2P ,已知该商品的最大需求量为1000（即当0P =时，1000Q =），求该商品的需求量Q 对价格P 的函数关系。

解：解:依题意,得 ln 2P dQ

P Q dP

-

= 分离变量：

1

(ln 2)dQ dP Q

=- 两边积分：1

(ln 2)dQ dP Q

=-?

?， 即1ln ln 2Q P c =-+，从而2P Q c -=，

由初始条件(0)1000Q =，则1000c =， 所求的需求函数为10002P Q -=?。

得分 评阅人

一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。共10小题，每小题2分，共20分）

1.(3)

33()x x

d x c e

e =+?

经过点（1，3），且其切线的斜率为2x 的曲线方程为

22y x =+.

2. 若c

x dx x f +?=2)(则

()f x =2x .

3.2

109

2x dx -?=0。

4.

20

((1))x

d t dt dx +?=2(1)x +. 5. 设23(,)5f x y x y z =则(1,1)y

f '-=15. 6. 微分方程0xdy ydx +=在初始条件1|2x y ==下的特解是2

y x

=

. 7. 函数z x y

=

-(){(,)|}D f x y x y => 。

8. 函数224()z x y x y =---的驻点为：(2, 2)-

9. 设某产品在时刻t 总产量的变化率是()25f t t =+ (0)t ≥，则从2t =到

4t =这两小时的总产量是22。

10. 差分2()(21)x x =+V

二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。共10小题，每小题2分，共20分）

1. 已知2y x ￠=且1x =是2y =,则y =

( )C

(A)

2

x

(B)

2

x c +

(C) 2

1x + (D)

22x +

2. 设()sin f x x '=，则下列选项中()f x =（D ） (A)

1sin x + (B) 1sin x -

(C) 1cos x + (D)

1cos x -

3.4x dx =ò（ D ）

(A) 14x x - (B)

1

141

x x ++ (C) 4ln x x (D) 4ln 4x 4.

1

2400()dx A -=?

(A) 1200 (B) -1200 (C) 400 (D) -400

5. 设曲线1y =在[0,2]上连续，则曲线1y =，2x =，及x 轴和y 轴所围成的图

形的面积是（ A ）

(A) 2

0dx ? (B) 2

dx -?

(C)

2

dx ?

(D)

2

2dx ?

6. 函数 2

2

z x y =, 则2

(2)z xy x

?=? (A)22x y (B) 22xy （C ）2222xy x y + (D)4xy 7. 函数

z xy =在点（1，1）处的全微分是（ C ）

(A) dx dy + (B) dx (C) dy (D) 0 8.

1

()x xe dx D =?

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

9.

2

1

4dy dx ?

?=（ A ）

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

10．下列差分方程中，是二阶差分方程的是（ D ） (A) 32132x x x y y y +++--= (B) 3232x x x y y y ++--=

(C) 30x x y y ?++= (D) 10x x y y -+=

三、计算题（共3小题,每题

7分,共21分）

1． 求不定积分

?