成都市高2015届一诊数学理科试题及评分标准(WORD)

数学一诊试题（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集{|0}

=≥

U x x，集合{1}

=

P，则

U

P=

e

（A）[0,1)(1,)

+∞（B）(,1)

-∞

（C）(,1)(1,)

-∞+∞（D）(1,)

+∞

2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是

（A）（B）（C）（D）3．已知复数z43i

=--（i是虚数单位），则下列说法正确的是

（A）复数z的虚部为3i

-（B）复数z的虚部为3（C）复数z的共轭复数为z43i

=+（D）复数z的模为5

4．函数

31,0

()1

(),0

3

x

x x

f x

x

?+<

?

=?

≥

??

的图象大致为

（A）（B）（C）（D）

5．已知命题p：“若22

≥+

x a b，则2

≥

x ab”，则下列说法正确的是

（A）命题p的逆命题是“若22

<+

x a b，则2

<

x ab”

（B）命题p的逆命题是“若2

<

x ab，则22

<+

x a b”

（C）命题p的否命题是“若22

<+

x a b，则2

<

x ab”

（D）命题p的否命题是“若22

x a b

≥+，则2

<

x ab”

6．若关于x的方程240

+-=

x ax在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是y

x

O

x

y

O

x

y

O x

y

O

G F

E

H

P

A

C

B

D

A 1

B 1

C 1

D 1

（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]

7．已知F 是椭圆22

221+=x y a b

（0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，

⊥PF x 轴.若1

4

=

PF AF ，则该椭圆的离心率是 （A ）

14 （B ）34 （C ）1

2

（D ）32

8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ?β，则下列

叙述正确的是

（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥

9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]2

3,[π

πβ∈，则αβ+的值是 （A ）

74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94

π 10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面

11CDD C 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时， 2

HP 的最小值是

（A ）21

（B ）22 （C ）23 （D ）25

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________． 12．二项式261

()x x

-的展开式中含3

x 的项的系数是__________．（用数字作答）

13．在?ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，

4=b ，1

cos 4

=B ，则?ABC 的面积=S __________．

D

B C A

F

E 14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，

函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．

15．已知曲线C ：2

2y x a =+在点n P (,2)n n a +（0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论： ①1a =；

②当*n ∈N 时，n y 的最小值为5

4

； ③当*n ∈N 时，1

2sin

21

n k n <

+； ④当*

n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则2(11)<+-n S n ．

其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．

（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；

（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．

17．（本小题满分12分）

如图，ABC ?为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，

F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．

（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；

（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值． 18．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，

12n n b b +=+.*n ∈N ．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）

某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ω?ω?π=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．

（Ⅰ）根据图象，求A ，ω，?，B 的值； （Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式

205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内

供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:

20．（本小题满分13分）

已知椭圆Γ：122

22=+b

y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到

其两焦点12,F F 的距离之和为43．

（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；

（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且32AB =．若

点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值． 21．（本小题满分14分）

已知函数2()ln mx f x x =-，2()e

mx mx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828

=为

自然对数的底数．

（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和极小值；

（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明：

10e a b c -<<<<<；

（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ?∈+∞，2(,0)x ?∈-∞，都有12()()f x g x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

t （时）

10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433

2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时）

5

3.5

2

2.75

3.125

2.375

2.563

2.469

数学（理科）参考答案及评分意见

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1．A ； 2．C ； 3．D ；4．A ；5．C ；6．B ；7．B ；8．D ；9．A ；10．B ．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11．90? 12．20- 13．15 14.[2,0]- 15．①③④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A ，则

21

243

641

()205

?===C C P A C ．……………………………………………………………4分

（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则

3

43641

(0)205

====C P X C (2)

分

12243

6123

(1)205

?====C C P X C ………………………………………………………2分

1

(2)()5

===P X P A ………………………………………………………………2分

∴X 的分布列为

∴X 的数学期望131

0121555

=?

+?+?=EX ．…………………………………2分

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．

在?AEC 中，//=

FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12

EC ． ∴//=

FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． X 0 1 2 P 15 35 15

D

F

E

y

z

∴//DF OB ，又?DF 平面ABC ，?OB 平面ABC ． ∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．

在正?ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图． 则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E ，(0,3,1)D ． ∴(2,0,2)=-AE ，(1,3,1)=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，

则110

??=???=??AE AD n n ，即22030-+=???-++=??x z x y z ，令1=x ，则1,0==z y ．

∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ． ∴12121212

,22

?>=

==

cos

2

．…………………………8分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ①

当2≥n 时，1122--=-n n S a ②

①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．

∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，

∴数列{}n a 的通项公式为1222-=?=n n n a ．………………………………………4分

又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，

∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-?=-n b n n ． (2)

分

（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n ………………………………………………1分

∴231123252(23)2(21)2-=?+?+?++-?+-?n n n T n n ③

231121232(25)2(23)2(21)2-+=?+?+

+-?+-?+-?n n n n T n n n ④

由③-④得

2311222222222(21)2-+-=+?+?++?+?--?n n n n T n (1)

分

23112(12222)(21)2-+-=+++

+--?n n n n T n

∴1222

2(21)212

+-?-=?

--?-n n n T n …………………………………………………1分

∴111224222+++-=?--?+n n n n T n 即1(32)24+-=-?-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n

∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………………3分

19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知12T =，6

π

ω=．………………………………………………………1分

2125.15.22m i n m a x =-=-=

y y A ，22

5

.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分 ∴0.5sin(

)26

y x π

?=++．

又函数0.5sin()26

y x π

?=++过点(0,2.5)．

代入，得22

k π

?π=

+，又0?π<<，∴2

π

?=

．…………………………………2分

综上，21=A ，6πω=，2π?=，2

1

=B ． ………………………………………1分

即2)2

6sin(21)(++=

π

πt t f ． （Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ．

又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．

又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分 ∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （

也

可

直

接

由

)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，

0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625

—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产） 20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）由已知243=a 得23=a ，又22=c ． ∴2

2

2

4=-=b a c ．

∴椭圆Γ的方程为14

122

2=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由?????=+

+=,14

12,22y x m x y 得0123642

2=-++m mx x ① ………………………1分

∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(16362

2>--=m m ， 得2

16

设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，

则2321m

x x -=+， 2123124

-?=m x x ．

∴2

2221293

12(312)21244

=+-=?

--=?-+AB k

x x m m m ． 又由32AB =，得2

31294

-

+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．

设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，4

00m

m x y =+=， ①当2m =时，31

(,)22

E -

∴此时，线段AB 的中垂线方程为13

()22

y x -

=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分 ②当2m =-时，3

1(,)22

E -

∴此时，线段AB 的中垂线方程为13

()22

y x +

=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分 综上所述，0x 的值为3-或1-． 21.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）2

22

2)

(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1

ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x m

x f -?=-=?

--='（0>x 且1≠x ）． ∴由0)(>'x f ，得2

1

e x >；由0)(<'x

f ，得2

1

0e x <<，且1≠x ．……………………1分

∴函数)(x f 的单调递减区间是(0,1),(1,e)，单调递增区间是),(+∞e ．………………2分

∴me e f x f 2)()(-==极小值.………………………………………………………………1分

（Ⅱ）222(2)

(),(0)mx mx mx mx

mxe mx e m mx mx g x m e e --'=-

=>． ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2

(0,)m

上单调递减，2(,)m +∞上单调递增．

∵函数()g x 存在三个零点．

∴20

(0)02402

()00>?>??????<

m g m e g m m m e ． ∴02<

m

g m me m e ．

∴22

()(1)0=-=-

．……………………………………………………1分

综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-

结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．

即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max ()()>f x g x ∵2

(12ln )

()(ln )-'=

mx x f x x

由0

(1,)e 上单调递减，在12

(,)e +∞上单调递增．

∴12

min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分 ∵(2)

()-'=

mx

mx mx g x e

由0

(,0)m

上单调递减． ∴max 224

()(

)==-g x g m m e m ．……………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22

242-<-m e m e

．

∴2

2

4(21)e m e

+>

，即2

24(21)m e e >+． 由0

e m e e +<-

+．

综上所述，存在这样的负数221

(,)(21)

+∈-∞-+e m e e 满足题意．……………………………1分