图论中的概念及重要算法
图论中的概念及重要算法
常州一中林厚从
chi、图论中的基本概念
一、图的概念
简单讲，一个图是由一些点和这些点之间的连线组成的。严格意义讲，图是一种数据结构，定义为：graph= （V，E）, V是点（称为"顶点”）的非空有限集合，E是线（称为"边”）的集合，边一般用（V x，V y）表示，其中V x，V y属于V。
图（A）共有 4 个顶点、5 条边，表示为：V={v i, V2, V3, V4}，E={（V i，V2），（V i，V3），
（V i，V4），（V2，V3），（V2，V4）}
二、无向图和有向图
如果边是没有方向的，称此图为“无向图” ，如图（A）和图（C）,用一对圆括号表示无向边，如图（A）中的边（V i，V2），显然（V x，▼『）和（V y，V x）是两条等价的边，所以在上面E 的集合中没有再出现边（V2，V i）。
如果边是有方向（带箭头）的，则称此图为“有向图”，如图（B），用一对尖括号表示有向边，如图（B）中的边＜V i，V2＞。把边＜v x，v y＞中V称为起点，v y称为终点。显然此时边w，V y＞与边＜V y，V x＞是不同的两条边。有向图中的边又称为弧，起点称为弧头，终点称为弧尾。
图（B）表示为：V={V i，V2，V3}，E={＜V i，V2＞，＜V i，V3＞，＜
V2，V3＞，＜V3，V2＞}
如果两个顶点U V之间有一条边相连，则称U V这两个顶点是关联的。
三、带权图
一个图中的两顶点间不仅是关联的，而且在边上还标明了数量关系，如图（C），这种数量关系可能是距离、费用、时间、电阻等等，这些数值称为相应边的权。边上带有权的图称为带权图，也称为网（络）。
四、阶
图中顶点的个数称为图的阶。图（A）、图（B）、图（C）的阶分别为4、3、5。
五、度
图中与某个顶点相关联的边的数目，称为该顶点的度。度为奇数的顶点称为奇点，度为偶数的顶点称为偶点。图（A）中顶点V i，V2是奇点，V3，V4是偶点。
在有向图中，把以顶点V为终点的边的数目称为顶点V的入度，把以顶点U为起点的边
的数目称为顶点U的出度，出度为0的顶点称为终端顶点。如图（B）中顶点V i的入度是0、出度是2, V2的入度是2、出度是1, V3的入度是2、出度是1,没有终端顶点。
定理1:无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍，有向图中的所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。
定理2:任意一个无向图一定有偶数个（或0个）奇点。
六、完全图
若无向图中的任意两个顶点之间都存在着一条边，有向图中的任意两个顶点之间都存在
着方向相反的两条边，则称此图为完全图。n阶完全有向图含有n*（n-1）条边，n阶完全无向
图含有n*（n-1）/2 条边，当一个图接近完全图时，称为稠密图；相反，当一个图的边很少时，称为稀疏图。
七、子图
设有两个图G = （V, E）和G' =（V, E'），若V是V的子集，E'是E的子集，则称G为G 的子图。
八、路（径）
在一个G =（V，E）的图中，从顶点v到顶点v '的一条路径是一个顶点序列V io，V i1 , V i2 , ....... , V im,其中V io = V , V im = v '，若此图是无向图，贝U （V j-1 , V j ）€ E, 1< j w m 若
此图是有向图，贝y
顶点不重复出现的路径称为简单路径，顶点V和顶点V’相同的路径称为回路（或环）。除了
第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路（或简单环）。
九、连通图
在无向图G中，如果从顶点U到顶点V有路径，则称U和V是连通的。如果对于图G中的任意两个顶点U和V都是连通的，则称图G是连通图，否则称为非连通图。
在有向图G中，如果对于任意两个顶点U和V,从U到V和从V到U都存在路径，则称
图G是强连通图。
Ch2、图的存储结构
邻接矩阵表示法
邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵，设G={V, E}是一个度为n的图（顶点序号分
别用1, 2, n表示），则G的邻接矩阵是一个n阶方阵，G[i,j]的值定义如下：
1或权值当V i与V j之间有边或弧时，取值为1或权值G[ i , j ]= Y
0当V i与V j之间无边或弧时，取值为0或无穷大）上面3个图对应的邻接矩阵分别如下:
0 1 1 10 1 1g 5 8 m3
G (A)= 1 0 1 1G ( B)=0 0 1G (C)= 5 8 2 g 6
1 10 00 1 08
2 g 10 4
1 10 0g g 10 g 11
3 6
4 11 g
米用邻接矩阵表示图，直观方便，很容易查找图中任两个顶点i和j之间有无边（或弧）, 以及边上的权值，只要看A[i,j]的值即可，因为可以根据i,j的值随机查找存取，所以时间
复杂性为0( 1 )。也很容易计算一个顶点的度(或入度、出度)和邻接点，其时间复杂性均
为0(n)。但是，邻接矩阵表示法的空间复杂性为0(n*n)，如果用来表示稀疏图，则会造成
很大的空间浪费。
二、边集数组表示法
边集数组是利用一维数组存储图中所有边的一种图的表示方法。每个数组元素存储一条边的起点、终点和权值(如果有的话)。在边集数组中查找一条边或一个顶点的度都需要扫描整个数组，所以其时间复杂性为0( e),e为边数。这种表示方法适合那些对边依次进行处理的运算，而不适合对顶点的运算和对任意一条边的运算。从空间复杂性上讲，边集数组适合于存储稀疏图。
三、邻接表表示法(链式存储法)
邻接表表示法是指对图中的每个顶点V i (1 < i w n)建立一个邻接关系的单链表，并把
它们的表头指针用一维向量数组存储起来的一种图的表示方法。为每个顶点V (1w i w n)
建立的单链表，是表示以该顶点为起点的所有边的信息(包括一个终点(邻接点)序号、一个权值和一个链接域)。一维向量数组除了存储每个顶点的表头指针外，还要存储该顶点的编号i。图(C的邻接表表示为:
-I屮|?| [纠技|』一〉| 5丨3】nil
5引2[■i^n 丨「I 皿1丨
引1皿牛2 !，日~4丨训斗—>1 5 I 4 I nil| 今| 3|10 扌| 11 [ nil]
刿 1 丨 3 2 6 3 丨 4 ]国_R 5 I 11 I 圧亍|
图的邻接表表示法便于查找任一顶点的关联边及邻接点，只要从表头向量中取出对应的
表头指针，然后进行查找即可。由于无向图的每个顶点的单链表平均长度为2e/n，所以查找运算的时间复杂性为0(e/n)。对于有向图来说，想要查找一个顶点的后继顶点和以该顶点为起点的边、包括求该顶点的出度都很容易；但要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点为终点的边、以及该顶点的入度就不方便了，需要扫描整个表，时间复杂度为0(n+e)。所以，对
于经常查找顶点入度或以该顶点为终点的关联边的运算时，可以建立一个逆邻接表，该表中每个顶点的单链表存储的是所有以该点为终点的关联边信息。甚至还可以把邻接表和逆邻接表结合起来，构造出“十字邻接表”，此时，每个边结点的数据信息包含五个域：起点、终点、权、以该顶点为终点的关联边的链接、以该顶点为起点的关联边的链接。表头向量的结点也包括三个域：顶点编号、以该点为终点的表头指针域、以该点为起点的表头指针域。
Ch3图的遍历
一、概念
从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好被访问一次，这种运算
操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访
问时值为false，访问一次后就改为true。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。后面的函授将专门讲解。这儿我们先作个介绍。
二、深度优先遍历
从图中某个顶点V出发，访问此顶点并作已访问标记，然后从V的一个未被访问过的邻接点V出发再进行深度优先遍历，当V的所有邻接点都被访问过时，则退回到上一个顶点V k,再从V k的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍历，直至图中所有顶点都被访问到为止。如下面的左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，
f ；右图从V出发进行深度优先遍历的结果为：V i，V2，V4，V8，V5，V3，V V7。
三、广度（宽度）优先遍历
从图中某个顶点V）出发，访问此顶点，然后依次访问与V o邻接的、未被访问过的所有顶
点，然后再分别从这些顶点出发进行广度优先遍历，直到图中所有被访问过的顶点的相邻顶点都被访问到。若此时图中还有顶点尚未被访问，则另选图中一个未被访问过的顶点作为起点，重复上述过程，直到图中所有顶点都被访问到为止。如上面的左图从顶点a出发，进行
广度优先遍历的结果为：a，b，d，e，f，c，g;右图从顶点M出发，进行广度优先遍历的结果为：V，V2，V3，V4，V5，V6，V7，V8。
两种遍历方法相比，深度优先遍历实际上是尽可能地走“顶点表”；而广度优先遍历是
尽可能沿顶点的“边表”进行访问，然后再沿边表对应顶点的边表进行访问，因此，有关边表的顶点需要保存（用队列，先进先出），以便进一步进行广度优先遍历。
ch4、图的重要算法
一、求图的最小生成树算法
如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E'构成一个
子图G，即G =（V，E'），且边集E'能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G 是图G的一棵生成树。同一个图可以有不同的生成树，但可以证明：n个顶点的连通图的生
成树必定含有n-1条边。对于加权连通图（连通网），生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。
求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如要在若干个城市之间建一个交通网，
要求各个城市都能到达且造价最低，这就是一个典型的最小生成树问题。那么如何求（最小）生成树呢？求（最小）生成树可以从某个顶点采用深度优先遍历的方法，也可采用广度优先遍历的方法，分别称为深度优先生成树和广度优先生成树。
上图中的图（B ）和图（C 所示两棵生成树，是对图（
A ）分别进行深度优先遍历和广
度优先遍历得到的一棵生成树。也可以综合应用深度优先遍历和广度优先遍历的特定算法， 如：Prim 算法和Kruskal 算法，下面我们将分别介绍。 1、用Prim 算法求最小生成树的思想如下：
（设图G 的度为n ，G=（ V, E ））
① 设置一个顶点的集合 S 和一个边的集合TE , S 和TE 的初始状态均为空集; ② 选定图中的一个顶点 K ，从K 开始生成最小生成树，将 K 加入到集合S ； ③ 重复下列操作，直到选取了 n-1条边：
选取一条权值最小的边（X , Y ,其中X € S , not （Y € S ）; 将顶点Y 加入集合$,边（X , Y ）加入集合TE; ④ 得到最小生成树 T = （S , TE ）
下面给出Prim 算法构造图的最小生成树的具体算法框架。 ① 从文件中读入图的邻接矩阵 g ; ② 边集数组elist 初始化； For i:=1 To n-1 Do Begin
elist[i].fromv:=1 ； elist[i].endv:=i+1 ； elist[i].weight:=g[1,i+1]
En d ；
③ 求出最小生成树的n-1条边；
For k:=1 To n-1 Do Begi n min:=maxint ； m:=k ；
For j:=k To n-1 Do {
查找权值最小的一条边 }
If elist[j].weight End ; ｛把权值最小的边调到第 k 个单元｝ End End ④ 输出; If m<>k Then Begi n t:=elist[k] ;elist[k]:=elist[m] ;elist[m]:=t ; End ; j:=elist[k].e ndv ;｛j 为新加入的顶点｝ For i:=k+1 To n-1 Do { Beg in s:=elist[i].e ndv If w 修改未加入的边集｝ ；w:=g[j,s]; Then Beg in elist[i].weight:=w ;elist[i].fromv:=j ; End ; 图(A) 图(O 2、用Kruskal 算法求最小生成树的思想如下： (设图G 的度为n , G=(V , E)) 设最小生成树为T= (V, TE ,设置边的集合 TE 的初始状态为空集。将图 G 中的边按权 值从小到大排好序，然后从小的开始依次选取，若选取的边使生成树 T 不形成回路，则把它 并入TE 中，保留作为T 的一条边；若选取的边使生成树形成回路， 则将其舍弃；如此进行下 去，直到TE 中包含n-1条边为止。最后的 T 即为最小生成树。 Kruskal 算法在实现过程中的关键和难点在于：如何判断欲加入的一条边是否与生成树 中已保留的边形成回路？我们可以将顶点划分到不同的集合中，每个集合中的顶点表示一个 无回路的连通分量，很明显算法开始时，把所有 n 个顶点划分到n 个集合中，每个集合只有 一个顶点，表明顶点之间互不相通。当选取一条边时，若它的两个顶点分属于不同的集合， 则表明此边连通了两个不同的连通分量，因每个连通分量无回路，所以连通后得到的连通分 量仍不会产生回路，因此这条边应该保留，且把它们作为一个连通分量，即把它的两个顶点 所在集合合并成一个集合。 如果选取的一条边的两个顶点属于同一个集合， 则此边应该舍弃， 因为同一个集合中的顶点是连通无回路的，若再加入一条边则必然产生回路。 下面给出利用 Kruskal 算法构造图的最小生成树的具体算法框架。 将图的存储结构转换成边集数组表示的形式 elist ，并按照权值从小到大排好序； 设数组 C[1..n-1] 用来存储最小生成树的所有边， C[i] 是第 i 次选取的可行边在排好 序的 elist 中的下标； 设一个数组 S[1..n] ， S[i] 都是集合，初始时 i:=1 ； {获取的第 i 条最小生成树的边 } j:=1 ； {边集数组的下标 } While i<=n-1 Do j:=j+1 End ； 输出最小生成树的各边： elist[C[i]] 二、求图的最短路径算法 在带权图G=(V, E )中，若顶点 Vi,Vj 是图G 的两个顶点，从顶点 Vi 到Vj 的路径长 度定义为路径上各条边的权值之和。从顶点 Vi 到 Vj 可能有多条路径，其中路径长度最小的 一条路径称为顶点 Vi 到Vj 的最短路径。求最短路径具有很高的实用价值，在各种竞赛中经 常遇到。一般有两类最短路径问题：一类是求从某个顶点（源点）到其它顶点（终点）的最 短路径；另一类是求图中每一对顶点间的最短路径。 S[i]= [ i ] 。 Begin For k:=1 To n Do Begin { 取出第 If elist[j].fromv in s[k] Then m1:=k If elist[j].endv in s[k] Then m2:=k End ； If m1<>m2Then Begin { 找到的 C[i]:=j i:=i+1 条边，记下两个顶点分属的集合序号 } elist 第j 条边满足条件，作为第i 条边保留} s[m1]:=s[m1]+s[m2] s[m2]:=[ ] End ； { 合并两个集合 } 另一集合置空 } ； { 取下条边，继续判断