一元一次方程难点

一元一次方程难点

主要困难体现在两个方面：

一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；

二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。

详细说明→

事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。

所以，其实一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。

初一年级涉及的主要有以下几类：

（1）行程问题；

（2）工程问题；

（3）溶液配比问题；

（4）销售问题；

（5）数字问题；

（6）比例问题；

（7）设中间变量的问题。

不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。

行程问题

行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。

等量关系为：①路程=速度×时间；

②速度=路程/时间；

③时间=路程/速度

特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化。

①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；

②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。

由此可得到航行问题中一个重要等量关系：

顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。

典型例题

例1

例2：一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？

此题的等量关系是：列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。

则可设甲乙之间距离为x千米，那么原计划的时间为（x/90）小时。

实际所用时间分三段，第一段用原速度90走了一半的路程所用时间（x/2

90

）小时，第二段是耽

误停留的12分钟（转换成小时为（12/60）小时），第三段为加速后走另一半路程所用的时间（x/2

90+10

）小

时，所以可以列方程为：x

90=（x/2

90

）+12

60

+x/2

90+10

解得：x=360千米。

例3：某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？

解析：这一问题实际上分为两个过程：

①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；

②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。

在第一个过程追及问题中，等量关系是：此人行进的路程-队伍行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为x，则：

3x - 90

60

x = 450

解得x=300s。

在第二个过程相遇问题中，等量关系是：此人行进的路程+队伍行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为y，则：

3y + 90

60

y = 450

解得：y=100s。

所以往返共用时间为x+y=400s。

例4：一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2 km。求甲、乙两地之间的距离。

解析：顺水速度=静水速度+水流速度；

逆水速度=静水速度－水流速度。

此题的等量关系是：静水速度＝顺水速度－水流速度＝逆水速度+水流速度。

设两地之间距离为x千米，则

x 6 -2 = x

8

+2

解得x=96千米。

工程问题

工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。

关系式为：工作量=工作效率×工作时间；

工作时间=工作量/工作效率；

工作效率=工作量/工作时间。

工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。②如果以时间作相等关系，则完成同一工作的时间差=多用的时间。在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。

典型例题

例1：加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？

解析：将全部工作看做整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为1/20，乙的工作效率为1/10。问题是乙需要单独工作几天后甲再工作正好完成任务，可知整个工程分成了两部分，第一部分由乙单独工作，第二部分由甲单独工作，两部分的和是整个工作。所以可知等量关系为：乙工作的工程量+甲工作的工程量=1。

可设乙加工x天，那么因为要12天内完成任务，则甲工作的天数为（12-x）天。因为乙的效率为1/10，则乙的工程量为x/10；甲的工作效率为1/20，则甲的工程量为12?x

12

，

所以可列方程为：x

10 + 12?x

12

=1

解得：x=8天。

例2：收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。收割了2/3后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。因此比预计时间提前1小时完工。求这块麦地有多少亩？

例3：

一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？

解析：可知三个水管的工作效率如下：

甲水管的注水效率为1/10；

乙水管的注水效率为1/6；

丙水管的放水效率为1/15。

那么当三个水管同时开时，可知其等量关系为：一定时间内甲乙的注水工作量-丙的排水工作量=工程整体1。

则可设注水时间为x小时，则甲的注水工作量为x/10，乙的注水工作量为x/6，丙的排水工作量为x/15，则可列方程为：

x 10 + x

6

－x

15

）＝1

解得x=5小时。

溶液配比问题

溶液配比问题中有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。其关系式为：

溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；

浓度=溶质

溶液×100%＝溶质

溶质+溶剂

×100%；

纯度（含量）=纯净物

混合物×100%＝纯净物

纯净物+杂质

×100%。

由①②可得到：溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）。

?例1：

把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，应加入浓度为20％的酒精多少克？

解析：

等量关系是：溶质质量相等。

配比前的溶质质量分两部分，第一部分为80%浓度的酒精的溶质质量，第二部分为浓度为20%浓度的酒精的溶质质量。配比后的溶质质量为60%浓度的酒精的溶质质量。

则设加入溶度为20%的酒精x克，可以列式为：

1000·80% + X·20% =（1000+X）·60%

计算得：x=500克。

?例2：

现有浓度为10%及浓度为20%的两种氯化钠溶液，问各取多少可配制成浓度为14%的溶液100克？

解析：

本题跟上题等量关系一样。

可设需10%浓度的氯化钠溶液x克，那么需20%的氯化钠溶液（100-x）克，可列方程为：

X·10% + (100-X)·20% =100·14%

解得：x=60克，则需要20%浓度的100-60=40克。

销售问题

与生活、生产实际相关的销售类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。销售类问题主要体现为三大类：①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。

（1）销售利润问题。

利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。

基本关系式有：

①利润＝销售价（收入）-成本（进价）；

②成本（进价）＝销售价（收入）-利润；

；

③利润率＝利润

成本（进价）

④利润＝成本（进价）×利润率。

在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。

（2）优惠（促销）问题。

日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。并以求得的数值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。

（3）存贷问题。

存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。其关系式有：

①利息＝本金×利率×期数；

②利息税＝利息×税率；

③本息和（本利）＝本金+利息-利息税

?例1：

某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？

解析：

设销售价每件x 元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（5×10+40×12.5）元，利润率为12％，则利润为（5×10+40×12.5）×12％。则可列方程为：（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％解得x=14.56元。

?例2：

某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。问这种商品的定价是多少？

解析：

设定价为x元，七五折售价为75％x元，因为赔25元则利润为－25元，进价则为75％x－（－25）=75％x+25；九折销售售价为90％x，利润为20元，进价为90％x－20。

根据等量关系进价一定，可列方程为：

75％x+25=90％x－20

解得x = 300元。

?例3：

小明假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。整存整取，年利息为2.16％。取款时扣除20％利息税。小明共得到本利504.32元。问半年前小明共存入多少元？

解析：

本题中要求的未知数是本金，可设存入的本金为x元，由年利率为2.16％，期数为0.5年，则利息为0.5×2.16％x，利息税为20％×0.5×2.16％x，则可列方程为：

x +0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32 解得x = 500元。

?例4：某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？

解析：

购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。

设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为（200+80％x）元，不买卡花费金额为x元，故有：

200+80％x = x

解得：x = 1000元。

当x ＞1000时，如x=2000 买卡消费的花费为：200+80％×2000=1800（元）。

不买卡花费大于1000元时，买卡购物合算。

当x ＜1000时，如x=800 买卡消费的花费为：

200+80％×800=840（元）。

不买卡花费小于1000元时，买卡不合算。

数字问题

一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：

任何数=∑（数位上的数字×位权）

如两们数ab = 10a + b；三位数abc = 100a + 10b + c

?例1：一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。求这个数。

解析：

设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（x+7），这个三位数则为100（x+7）+10x+3x。

依题意可列方程为：

（x+7）+x+3x=17 。

解得：x=2。

所以这个三位数为：100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926。

?例2：一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。

解析：

这个六位数最高位上的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每个数位上的数字被扩大10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。设除去最高位上数字1后的5位数为x，则原数为100000+x，移动后的数为10x+1，依题意可列方程为：

10x+1=3（100000+x）

解得x = 42857。

则原数为142857。

比例问题

比例问题在生活中比较常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。

比例问题中主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。

调配问题也属于比例问题，其关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”。

?例1：甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相等。问原来每架上各有多少书？

解析：

在调配问题中，调配后数量相等，即将原来多的一方多出的数量进行平分。由题设中“从甲书架拿100本书到乙书架，两架书相等”，可知甲书架原有的书比乙书架上原有的书多200本。故设乙架原有x本书，则甲架原有（x+200）本书。从乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的书为（x－100）本，甲架书变为（x+200）+100本。又甲架的书比乙架多5倍，即是乙架的六倍，可列方程为：

（x+200）+100=6（x－100）

解得x=180，即乙书架原有180本书，则甲书架原有180+200=380本书。

?例2：某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝。每人每天平均生产螺丝120个或螺母200个，一个螺丝要配两个螺母，应分配多少名工人生产螺丝，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？

解析：

产品配套（工人调配）问题，要根据产品的配套关系（比例关系）正确地找到它们间得数量关系，并依此作相等关系列出方程。

本题中，设有x名工人生产螺母，生产螺母的个数为200x个，则有（22－x）人生产螺丝，生产螺丝的个数为120（22－x）个。由“一个螺丝要配两个螺母”即“螺母的个数是螺丝个数的2倍”，可列方程为：

200x=2×120（22－x）

解得x=12。

即生产螺母的工人12名，生产螺丝的工人10名。

?例3：地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制搅拌而成。现已将前三种料称好，共5600千克，应加多少千克的水搅拌？前三种料各称了多少千克？

解析：

解决比例问题的一般方法是：按比例设未知数，并根据题设中的相等关系列出方程进行求解。本题中，由四种坯料比例25∶2∶1∶6，设四种坯料分别为25x、2x、x、6x千克，由前三种坯料共5600千克，则可列方程为：

25x+2x+x=5600

?例4：教室内共有灯管和吊扇总数为13个。已知每条拉线管3个灯管或2个吊扇，共有这样的拉线5条，求室内灯管有多少个？

解析：

这是一道对开关拉线的分配问题。

设灯管有x支，则吊扇有（13-x）个，灯管拉线为x

3条，吊扇拉线为13?x

2

条，依题意“共有5

条拉线”，则可列方程为：

x 3 + 13?x

2

＝5

解得x=9

?例5：出口1吨猪肉可以换5吨钢材，7吨猪肉价格与4吨砂糖的价格相等，现有288吨砂糖，把这些砂糖出口，可换回多少吨钢材？

解析：

本题可转换成一个比例问题。由猪肉∶钢材=1∶5，猪肉∶砂糖=7∶4，得猪肉∶钢材∶砂糖=7∶35∶4。

则设可换回钢材x吨，可列方程为：

x∶288=35∶4

解得x=2520

设中间变量的问题

一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。

?例1：甲、乙、丙、丁四个数的和是43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4，得到的4个数却相等。求甲、乙、丙、丁四个数。

?例2：某中学生足球联赛共赛10轮（即每队均需比赛10场），其中胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分。胜利中学足球队在这次联赛中所负场数比平场数少3场，结果公得19分。胜利中学在这次联赛中胜了多少场？

解析：

本题中若直接将胜的场次设为未知数，无法用未知数的式子表示出负的场数和平的场数，但设平或负的场数，则可表示出胜的场数。故设平x场，则负x－3场，胜10－（ｘ+ｘ－３）场，依题意可列方程为：

3[10－（x+x－3）]+x=19

解得x=4，所以10－（ｘ+ｘ－３）=5。

还有一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。这时，我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问题本质的理解。

?例3：一艘轮船从重庆到上海要5昼夜，从上海驶向重庆要7昼夜，问从重庆放竹排到上海要几昼夜？（竹排的速度为水的流速）

解析：

航行问题要抓住路程、速度、时间三个基本量，一般有两种已知量才能求出第三种未各量。本题中已知时间量，所求也是时间量，帮需在路程和速度两个量中设一个中间参数才能列出方程。

本题中考虑到路程量不变，故设两地路程为a公里，则顺水速度为a

5，逆水速度为a

7

，设水流速度为

x，则可列方程为：a

5– X ＝a

7

+ X

解得X= a

35，又设竹排从重庆到上海的时间为y昼夜，可列方程a

35

·y=a

解得y＝35

此类问题为了使变量简单可直接设两地路程为1。

?例4：某校两名教师带若干名学生去旅游，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是：1名教师全部收费，其余7．5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8折优惠。

（1）学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？

（2）若核算结果，甲旅行社的优惠价相对乙旅行社的优惠价要便宜1/32，问学生人数是多少？

解析：

在本题中两家旅行社的标价和学生人数都是未知量，又都是列方程时不可少的基本量，但标价不需求解。

（1）可设标价为a元，学生人数x人，甲旅行社的收费为：a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收费为：0.8a（x+2）元，则可列方程为：

a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2）

解得x=3。

（2）设学生人数为y人，甲旅行社收费为a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收费为0.8a （x+2）元，则可列方程为：

0.8a(x+2)-[a+0.75a9x+10]=1

32

×0.8a(x+2)

解得：x=8。