数学实验四

实验四医用薄膜渗透率的确定——数据拟合

一、实验目的及意义

[1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；

[2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；

[3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。

[4] 了解各种参数辨识的原理和方法；

[5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析

等求解实际问题的过程；

通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容

1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；

2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；

3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。

三、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据各种数值解法步骤编写M文件

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果(数值或图形)；

5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）

应用实验

1．旧车价格预测

某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中x i表示轿车的使用年数，y i表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5

年后轿车的平均价格大致为多少？

表1

x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y i2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204

实验过程如下：

程序：

x=1:1:10;

y=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204];

plot(x,y,'k+')

图形：

求解如下：

x=1:1:10;

y=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204];

a=polyfit(x,y,4)

z=polyval(a,x);

plot(x,y,'k*',x,z,'b')

y=polyval(a,4.5)

结果如下：

a =

1.0e+03 *

0.0001 -0.0054 0.1002 -0.9082 3.4232

y =

923.0827

由图可知：y=a1+a2*x+a3*x^2+a4*x^3+a5*x^4.

4.5年后轿车的平均价格大致为923.0827.

2．机器人识别定形工具柄问题

机器人在不同层次上应用于工业生产、水下探测、核点开发、军事研究等领域和部门。当一个机器人工作时，经常需要识别那些从外形上看来是圆形或椭圆形的仪器或工具柄等基本设备，以便执行进一步的操作。通常在所需操纵的工具柄上放置适当数量的传感器，这些传感器不断向四周发射电信号，机器人身上安

置有接收电信号的硬件装置，根据这些信号，机器人将估算出各个传感器当时所在的位置，然后，再利用这些数据获得工具柄的位置。由于硬件设备的限制和测量的随机偏差，所获得的传感器位置数据是有误差的。因此，为了增强识别的准确性和可靠性，工具柄上放置的传感器应多于确定该定形曲线所需的最少点数。（能否获得比较准确的工具柄位置，对机器人能否有效抓握、操作该工具柄起着关键的作用。）

现有一个圆形工具柄，其边缘上放置了6个传感器，一机器人在某一个时刻测得这些传感器的位置坐标为：(1,7),(2,6),(5,8),(7,7),(9,5),(3,7),如何确定该圆形工具柄的圆心坐标和半径。

实验过程：

function f=curvefun1(x,t)

f=x(1)+sqrt(x(2)-(t-x(3).^2));

t=[1,2,5,7,9,3];

y=[7,6,8,7,5,7];

x0=[1,2,3];

[x,r]=lsqcurvefit (@curvefun1,x0,t,y)

结果：

x =

3.2864 6.0821 3.1681

r =

4.4231

由上可知：圆心坐标为（3.2864,3.1681),半径Ｒ=6.0821^(1/2).

3．经济增长模型

增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。

用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：

Q(K,L) = aKαLβ， 0<α,β<1 （*）

式中α,β，a要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。

表2

t Q K L t Q K L

1900 1.05 1.04 1.05 1901 1.18 1.06 1.08 1902 1.29 1.16 1.18 1903 1.30 1.22 1.22 1904 1.30 1.27 1.17 1905 1.42 1.37 1.30 1906 1.50 1.44 1.39 1907 1.52 1.53 1.47 1908 1.46 1.57 1.31 1909 1.60 2.05 1.43 1910 1.69 2.51 1.58 1911 1.81 2.63 1.59 1912 1.93 2.74 1.66 1913 1.95 2.82 1.68 1914 2.01 3.24 1.65 1915 2.00 3.24 1.62 1916 2.09 3.61 1.86 1917 1.96 4.10 1.93 1918 2.20 4.36 1.96 1919 2.12 4.77 1.95 1920 2.16 4.75 1.90 1921 2.08 4.54 1.58 1922 2.24 4.54 1.67 1923 2.56 4.58 1.82 1924 2.34 4.58 1.60 1925 2.45 4.58 1.61 1926 2.58 4.54 1.64

提示：由于（*）式对参数α,β，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB软件中的曲线或曲面拟合命令。另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。

第一种方法：

由于产值Q、资金K、劳动力L之间满足著名的Cobb-Douglas生产函数关系：

Q（K，L）=aKαLβ, 0<α,β<1

我们可以用MATLAB软件中的curvefit()程序来作数据拟合:

urvefun.m如下:

function a=curvefun( x, y)

a=x(1)*(y(1,:).^x(2)).*(y(2,:).^x(3));

程序文件a1.m 如下:

a=[1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56

2.34 2.45 2.58];

y=[1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54;1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64];

x0=[0.1,0.1,0.2];

x=curvefit('curvefun',x0, y,a)

运行a1.m可得以下结果

x=

1.2246 0.4612 -0.1277

则可以得到

a=1.2246 b=0.4612 c=-0.1277

于是公式变为

Q(K,L)= 1.2246K0.4612L-0.1277

如果想得到更直观的关系也可以画出他们之间的关系图形。

在a1.m中加如下命令

m=linspace(0,2.7,27);n=linspace(0,2.7,27);

[M,N]=meshgrid(m,n);

a=x(1)*(M.^x(2)).*(N.^x(3));

surf(M,N,a);

xlabel('K'),ylabel('L'),zlabel('Q')

则可以得到图1所示的图形，其中z轴表示产值Q。

第二种方法：

由于产值Q、资金K、劳动力L之间有关系

Q(K,L)=aKαLβ

注意到该等式两边取对数后，lnQ是lnK和lnL的线性函数，即

lnQ=lna+αlnK+βlnL;

于是，可用线性函数拟合的方法确定未知参数x=[lna αβ]。

建立M文件：

Q=[1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.60 1.69 1.81

1.93 1.95

2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56

2.34 2.45 2.58];

O=log([1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54;...

1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64]);

x0=[0.1,0.1,0.2];

x=leastsq('funleast',x0,[],[],O,log(Q));

a=exp(x(1)),

alfa=x(2),

beda=x(3),

得出：a=1.1766, α=0.4153, β=0.0619.

两种方法的比较：

由于两种方法作出的结果不同，我们可以用拟合出来的函数与以给数据点的最小平方误差来评判两结果的优劣。在程序a1.m后面增加几条语句

f1=curvefun(x,y);

e1=sum((a-f1).*(a-f1))

x2=[1.1766,0.4153,0.0619];

f2=curvefun(x2,y)

e2=sum((a-f2).*(a-f2))

输出e1=0.4230,e2=0.4456。可见第一种方法得出的结果好一些。即我们应采用关系式

Q(K,L)=1.2246K0.4612L-0.1277

作为产值Q随资金K、劳动力L的变化规律。