初中考试数学专题讲解：二次函数与圆结合的压轴题

二次函数和圆

【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k

y x

=

(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次

函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为

D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．

【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32

y x =?+

与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；

（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；

（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．

（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x

轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；

（3）试判断点C是否在抛物线上？

（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC相似？直接写出两组这样的点．

【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

．

【例题5】（南充市）25.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已

知抛物线2

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y x bx c =

++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

（2）点Q （8，m ）在抛物线2

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y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的

最小值．

（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【例题6】(山西省临汾市)26.如图所示，在平面直角坐标系中，M 经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于(60)(08)

A B

??

，，，两点．

（1）请求出直线AB的函数表达式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在M

上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；

（3）设（2）中的抛物线交x轴于D E

，两点，在抛物线上是否存在点P，使得

1

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PDE ABC

S S

=

△△

？若存在，请求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

x

【例题7】在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC

交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求

x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

【例题8】如图，点P 在y 轴上，半径为3的⊙P 分别交x 轴于A 、B 两点，AB=4，交y 轴负半轴于点C ，连

接AP 并延长交⊙P 于点D ，过D 作⊙P 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ； （1）求直线FG 的解析式；

（2）连接CD 交AB 于点E ，求PCD ∠tan 的值；

（3）设M 是劣弧BC 上的一个动点，连接DM 交x 轴于点N ，问：是否存在这样的一个常数k ，始终满足AN·AB+DN·DM=K ，如果存在，请求出K 的值，如果不存在，请说明理由；

B D

B 图 1

图 3