2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略模型

一、摘要

本文研究嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略模型

我国载入月球探测工程分为“绕、落、回”三个发展阶段，本文研究“落”，即嫦娥三号的软着陆阶段。月球软着陆轨道是登月飞行器下降到月球表面轨道中很重要一段的轨道，为了实现飞行器自主软着陆，需要进行快速轨道优化设计。文中着重对月球软着陆制动段（包括着陆准备阶段、主减速阶段）、快速调整阶段、粗避障阶段、精避障阶段以及缓速下降阶段的飞行动力学模型进行了研究。在减少有限推力作用下月球探测器软着陆所需的燃料消耗的前提下，制动段飞行时间和距离较长，我们采用了均匀球体三维动力学模型；粗避障阶段基于四次多项式制导律[5], 接近段提出了一种改进的多项式制导算法, 在满足多约束的条件下, 可解析计算出制导时间, 不需要迭代,简化了计算, 提高了算法稳定性; 为了保证接近段制导的高可靠性, 提出了制导时间以及高度和速度超差的保护方法.；精避障阶段利用外环加内环制导方式控制着陆器下降到着陆点上方约30 m；缓速下降阶段，采用外环加内环制导方式。

关键字：登月轨道；月球软着陆; 均匀球体三维动力学模型

二、问题重述

在月球软着陆任务中，探测器从环月轨道开始软着陆时，首先进行霍曼变轨，由一个100km高度的近似圆形环月停泊轨道进入一条远月点高度约为100km，近月点高度约为15km的椭圆轨道；然后根据所选定的着陆位置在合适的时间给着陆器一个有限脉冲，使得着陆器转入近月点；当到达近月点时，主发动机提供减速动力，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。距月面3km时，主要是调整探测器姿态，从距离月面3km到 2.4km处将水平速度减为0m/s，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。粗避障段的范围是距离月面2.4km 到100m区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。精细避障段的区间是距离月面100m到30m。要求满足每个阶段在关键点所处的状态，在有限推力作用下，尽量减少软着陆过程的燃料消耗，（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应的速度的大小与方向；（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和6个阶段的最优控制策略；（3）根据我们所设计的着陆轨道和控制策略做出相应的误差分析和敏感性分析。

三、模型假设

（1）忽略月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素；

（2）不考虑月球自传引起的哥氏力和牵引力的影响；

四、符号说明

五、问题分析

从图1可见，CE 3的软着陆过程主要分成6个阶段。阶段主要是反推火箭制动减速，消除探测器较大的水平初速度，调整探测器姿态为垂直向下，并使其在到达预定高度时速度接近于0；悬停避障段主要是根据图像敏感器对着陆区的成像选择安全着陆点；最后一个阶段探测器继续缓慢下降，保证其在离月面还有约4 m时速度为零，进

而关闭发动机，以自由落体方式撞击月表着陆。

六、 模型的建立与求解

(1)制动段飞行动力学建模与制导律设计

该段中, 着陆器距离月面相对较高, 且着陆器走 过的月面距离比较长, 将月球视为平面建立模型会 带来较大的偏差. 因此, 制动段有必要将月球视为球 体来建立均匀球体下的三维软着陆模型. 制动段推 进系统采用常值推力方式, 通过姿态控制来完成制 动力方向的改变.

2.1 均匀球体三维动力学模型

首先 定 义 几 个 坐 标 系 : 1) 参考惯性坐标系 Z Y OX r r r 。原点O 位于月球中心, Z r 轴由月心指向初始 软着陆点, X r 轴位于环月轨道平面内且指向前进方向, Y r 轴与X r , Z r 构成直角坐标系. 该坐标系仅用于软着 陆下降轨迹和制导律设计中; 2)下降轨道参考坐标系 z y ox o o o . 原点o 位于着陆器质心, z o 轴由月心指向着 陆器质心为正, x o 轴位于当地水平面内且指向着陆器 前进方向, y o 轴与x o 和z o 轴构成直角坐标系; 3)着陆器

体坐标系z y ox b b b . 原点o 位于着陆器质心,

x b

轴在制

动推力矢量延长线上, 沿推力方向为正,y b

, z b

轴分别 根据着陆器上仪器设备的安装而定, 并与x b

轴构成

直角坐标系. 坐标系示意图及着陆器位置与推力矢 量关系如图2 所示.

图2 软着陆坐标系定义与推力矢量空间关系

图 2(a)给出了上面各坐标系的示意和着陆器在坐标系中的位置, 图2(b)给出了F 在下降轨道参考坐标系中的位置. 其中, α为在Y X r r 平面内的横向月心角; ?为下降轨道平面内的纵向月心角; 推力F 与坐标系z y ox o o o 之间的2个推力方向角分别为推力方位角ψ和推力仰角θ, 他们定义为: 推力方位角绕正

z

o

轴旋转为正, 推力仰角绕负

y

o

轴旋转为

正.

分别用U , V , W 表示着陆器下降速度在坐标系z y ox o o o 三 轴上的分量, 于是有

r W ?

= ， β?

=r U ，βαsin ?

=r V 。

若不考虑摄动影响且忽略月球自转, 同时引入质量方程, 可利用球坐标系与直角坐标系的关系最终得到下降轨道参考坐标系下的软着陆动力学模型

(

)

??

????

?????????-=++-=

--=+-====?

???

???

g I F m

r V U r W V V U r e sp m m F r UV r VW m F r r UW m F r U r V W /,sin ,tan sin cos ,tan cos cos ,

/,sin /,2

222μβαθβψθβψθβ （2） (2)式表示的制动段动力学模型也是软着陆全过程的动力学

仿真模型.

2.2 月心惯性系下软着陆动力学模型

为了同环月运动的参考系一致, 同时便于对软着陆下降窗口进行分析, 需要将着陆器的运动表示在月心赤道惯性坐标系下.

首先给出月心赤道惯性系OXYZ 的定义: 原点O 位于月球中心, XY 平面在月球赤道平面内, 其中, X 轴指向J2000平春分点在月球赤道上的投影, Z 轴指向月球北极, Y 轴与X 和Z 轴构成直角坐标系.

要考察着陆器在月心赤道惯性坐标系下的运动规律, 需要得到月心赤道惯性系与月心惯性参考系之间的变换关系. 以降轨着陆为例, 两坐标系的关系如图3 所示.

图3 月心赤道惯性系与月心惯性参考系之关系(降轨着陆)

可以看出, 由月心赤道惯性系OXYZ 变换到月心惯性参考系Z Y OX r r r 需经过4 次旋转:

()

()()()901800

X

Z X Z i →→→-+Ωρ 。

由此可以得出他们之间的坐标变换矩阵C

r

I 为

()()()()180900+Ω-= C i C C C C Z X Z X r I ρ , (3) 其中, i

0 为环月停泊轨道的轨道倾角, 软着陆下降轨 道位于环月轨道平面内; ∧为环月停泊轨道的升交点

赤经; 旋转角ρ可利用图3(b)中的球面三角形LMN '求得, 其中L 为着陆点位置, N '为环月轨道降交点.

()i sin sin sin

9090

1

δρβτβ---=--=

，(4)

式中, δ为着陆点赤经, 事先给定; β为着陆器经过的月心角, 可通过仿真得出.

于是, 月心赤道惯性系下的位置可表示为

[]()

[]Z Y X C Z Y X r r r r I T T T = ， （5）

其中, 月心惯性参考系下的位置表示由图2 和(2)式给

出, 如下

αβcos sin r X r = ，αβsin sin r Y r = ，βcos r Z r = 初始下降位置确定

首先需要获得软着陆过程赤经赤纬的变化. 这

里需要利用软着陆下降轨迹设计的一个结论: 软着 陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内.

月心赤道惯性系下的着陆器位置可表示如下

αβcos sin L L r X = ,αβsin sin L L r Y = , βcos r Z L = , (6) 其中, r 为着陆器矢径; αL 为着陆器的赤经; 着陆器的 赤纬等于β-90L 。

于是, 容易得出αL , βL 的表达式

()()()??

???<>+<+>>=---0,0,2/0

,/0,0,/tan tan tan 11

1

Y X X Y X X Y Y X X Y L ππα

()r Z L

/cos

1

-=β

（7）

由(7)式即可求得赤经和赤纬的变化量:

αα

α0L Lf

L

-=? ,

β

β

β

L Lf

L -=? 。于是, 由下式即得软着陆初始下 降点的经纬度

λ

L 和

?

L , 如下

???

???+-=+=??t m

L Lf L L Lf L ωαλλβ??00 (8) 其中,α?L 和β?L 由(8)式给出; L ?为软着陆过程所需时间。

外环制导

1) 高度方向控制

高度方向采用PID 控制方式, 指令加速度为

()()g

a a c r r c a

m

r

c

Px

c

x

r

cmd +-+-=I _（6）式中,

c

Px

,

c

x

1 和

c

Dx 为高度方向PID

参数,

r

c

为制导目标

高度, r 为导航高度,

v rc

和v r

分别为高度方向的指令速度

和导航速度, a c

和a r

分别为高度方向的指令和导航加速

度,

g

m

为月球引力加速度。

高度方向控制也可仅控制速度和加速度而不控制高度, 只需令0=c

Lx 。 因此, 该控制能适应悬停、避障和缓速下降段制导的需要。 2) 水平方向控制

水平方向控制只在着陆器水平速度出现超差(如大于1.5 m/s)的情况下引入. 只控制速度及加速度,而不控制位置, 这是为了尽可能快地消除水平速度,减小不安全着陆因素. 水平方向加速度指令为

()()

a c v c a h Dh h m Ph h cmd ___I I =-+- ，（7）式中,

c

Ph

和c Dh 为水平方向PD 参数,

v

h

m _I 和 a h _I 分别为着

陆器相对月面的水平速度和加速度.

综合高度和水平方向的加速度, 就可以确定外环合加速度制导指令.

5.2.2 内环制导

考虑到水平机动发动机推力为常值, 参考姿态相平面控制[6]的思想, 水平方向采用了位置和速度的相平面控制方式, 具体算法如下.

1) 计算着陆点相对着陆器的位置矢量 ()()

r r S L ERR q A I I -= , (8)式中,

r

L 1 为精障碍识别和安全着陆区选取算法确定的安全着陆

点(惯性系）, q 为着陆器的惯性姿态四元数, A 为从惯性系到本体系的转换矩阵.

2) 计算着陆器相对当前着陆点的速度(表示在本体系下, 即着陆器相对月面的速度)

()()r v S

m

ERR

q

A I

I I

?

?-=ω , (9)

式中, ω

m I 为月球自转角速度(惯性系）, v

I 为着陆器 在惯性坐标系下的速度.

3) 对本体系y 方向和z 方向分别进行位置和速

度相平面控制. 以),(z y i i =分量为例, 对应的位置和速

度误差分量为S i E R R ,和i ERR S ,?

, 相平面控制算法具体结

构如图6 所示. 该方法也可用于仅控制水平速度而不 控制水平位置, 只需要令0,=S i ERR . 因此, 该算法可以 适应悬停、避障以及缓速下降段水平制导的需要.

(2)粗避障制导

接近段的主要任务是对着陆区成像并进行粗避障, 终端相对月面速度接近于零. 接近段需要保证光学成像敏感器能够对着陆区成像并完成粗避障, 因此接近段制导必须能够满足制导目标的位置、速度、姿态以及初始高度和速度等多项约束. 为了能够满足上述诸多约束条件, 基于四次多项式制导律[5], 接近段提出了一种改进的多项式制导算法, 在满足多约束的条件下, 可解析计算出制导时间, 不需要迭代,简化了计算, 提高了算法稳定性; 为了保证接近段制导的高可靠性, 提出了制导时间以及高度和速度超差的保护方法. 通过设计每个方向的约束条件, 保证了光学成像敏感器始终能够观测到着陆区. 通过重置安全着陆点, 可实现大范围的机动, 完成粗避障.为实现粗避障轨迹接近与水平面夹角45°的直线下降方式, 着陆器合加速度和速度方向必须相反. 因此, 推力、月球引力加速度和速度需要满足一定的几何关系, 如图5 所示. 图中, x 表示从月心指向着陆器(径向), z 表示为航向(速度方向).经过推导, 确定推力加速度大小aF 和月球引力加速度大小存在如下关系:

cos tan sin m

F g a αβα

=

- （1）

式中α为推力方向与引力方向的夹角; β为速度方向和水平方向的夹角.于是, 合加速度在径向和航向的分量分别为： cos x F m a a g α=-，sin z F a a α=-.

如果保持径向和航向的加速度不变, 则可确定下降高度和航程为

2

2

2xf

x x x

s a v v -=,2

2

2zf

x z

sz a v v -= (2)

式中, vx f 和vz f 分别为接近段终端的径向和航向速度,vx 0 和vx 0 分别为接近段入口的径向和航向速度. 于是,标称的接近段时间为：

()/xf xo x Ta v v a =- (3)

图5 加速度和速度几何关系

由于采用下降轨迹接近与

水平面夹角45°的直线下降方式, 因此β=45°. 综合考虑光学成像敏感器视场、推力大小、下降

高度和接近段时间等约束, 可以取α=9°. 于是, 根据推力、月球引力加速度和速度等约束以及接近段入口高度条件, 就可以计算出接近段的入口速度和全程加速度等约束. 制导位置和速度目标则根据终端状态约束确定.由于设计的接近制导目标加速度全程保持不变,则制导加加速度为零, 于是制导剩余时间go t 的约束方程可以简化为:

2(3)4()0tGz Gz tGz

go

tGz Gz go a t

v v t r r -++-= (4)

式中, rt G z , v G z 和at G z 分别为制导系的航向位置、速度和加速度制导目标, r G z 和v G z 分别为制导系的航向位置和速度. 由于该式为二次方程, 可以得到制导剩余时间go t 的解析表达式, 这避免了原多项式制导求解go t 时的迭代计算.设计的制导加速度指令表达为

2

12()/6()/tG G cG go tG G go tG a t v v t a r r =--++ (5)

式中,

tG

r

,

tG

v

和tG a 分别为制导系的位置、速度和加速度制导目

标, G r 和G v 分别为制导系的位置和速度.可见, 一旦确定了安全着陆点, 只需将安全着陆点置为制导目标中的着陆点, 就可通过姿态机动实现推力指向变化, 进而实现粗避障, 即着陆器进入悬停段时就在安全着陆点上方.

在每个制导周期, 标称的接近段时间减制导周期得到期望的制导剩余时间; 利用设计的标称制导参数, 计算了期望的高度和速度; 并与制导算法给出的制导剩余时间、导航算法确定的高度和速度相比,如果两者之差超过设定的阈值, 则停止接近制导, 切换到悬停制导,避免了多约束条件下接近制导无法转出等问题, 提高了制导的容错能力.

(3)避障段制导主要任务是精确避障和下降. 将悬停段选取的安全着陆点置为制导目标点, 利用外环加内环制导方式控制着陆器下降到着陆点上方约30 m

图6 水平方向控制的相平面开关线

处, 相对月面下降速度为1.5 m/s, 终端水平速度为零.水平方向控制速度和位置, 垂直方向控制高度、速度和加速度. 对于外环制导, 在避障段初始化时, 需要根据完成安全着陆点平移机动所需要的最大时间t m ax , 在轨自主规划了垂向的加速度a

c , 速度v

rc 和高度r c 等目标制导指令, 避障下降过程中实时跟踪目标指令, 可更好地控制避障段的终端状态.

根据主发动机最小推力(F m in 考虑一定余量)计算 着陆器能实现的最大下降加速度a d max ()mass F g

mass a m

d /min

max -=

?, (10)式中,

mass 为着陆器质量, 根据下降时间()t max 和高度(h )约束确定加速和减速2 段加速度()a a 21,与最大下降速度

v

m 之

间的关系

t a

v v a

v v m

m max 2

11

=-+

- ,

h a

v v a

v v m

t

m =-+-222

2

2

1

2

02 , (11)

如果加速和减速两段的加速度大小相等( 即a a 12-=), 则可得到如下关系:

()0max max 02

202242=??

? ?

?+-++-t v v v v h hv v t t t m m ， (12)

由此可解得最大下降速度

v

m

, 于是加速度大小可得到

t

v v v a m t max

02-

+= (13)

如果a a d >max , 则取

a a d -=max

1

,由(11)式可解算出

()()h

a v v t a v h

a v a v t a a a t

t

2221

2

1

2

2

1

21

max

11

--+--+= ，

(14)

否则, 取a a -=1,a a =2。

根据加速和减速2 段的加速度取值, 确定最大下 降速度

a a v a v a t

a a v

t

m

1

2102max

2

1

--+= ， （15）

进而可以确定上下2 段的切换时间

a

v v t m

1

-=λ ， （16） 于是, 根据初始高度、垂向速度, 利用确定的加 速度和切换时间, 就可以规划出当前时刻的目标速 度和高度制导指令.

对于内环制导, 如果着陆器相对着陆点距离较远, 避障需要的水平位置机动就较大. 为了加快相平面控制过程的速度, 增加了速度机动逻辑, 即如果机动距离大于设定值, 则就以较大的机动速度平移, 保证避障平移速度, 可节省推进剂的消耗.

(4)缓速下降

缓速下降也采用外环加内环制导方式, 水平方向速度控制目标为零, 位置控制目标为进入缓速下降段时的着陆器位置. 垂直方向, 高度20 m 以上控制速度和加速度; 高度低于20 m 时, 只控加速度且指令加速度稍小于当地月球引力加速度, 提高了着陆器安全下降的可靠性. 为了确保着陆后主发动机的关闭, 不但设计了利用伽马敏感器和触地敏感器测量信号的关机策略, 还设计了基于加速度测量信息的关机备份策略 求解

（1）设在远月点的速度为v 远，在近月点的速度为v 近，以近月点的速度v 近的方向为正方向；嫦娥三号在椭圆轨道的质量为m 。

由万有引力定理和牛顿定律有： r mv

r

m GM 远

远

远

月22=

? r

GM v 远

月

远=

………①

嫦娥三号在近月点和远月点只受心力作用，角动量守恒，则： r mv r

mv 近近远

远

=

? r

v v v 近

远远近= ………②

带入符号注表中各符号对应数据，

①式得： 890.1637=v 远 (m/s) 方向：负方向

②式得：

352.1717=v

近

(m/s) 方向：正方向

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，

八、参考文献

九、附录