实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案本科

一、题

1．设,A B 为集合，则()

\A B B =A B （用描述集合间关系的符号填写）

2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）

6．设n

E ?

是可数集，则*

m E =0

7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ?∈，()E x f x a ??≥??是可测集，则称()f x 在E 上可测

8．可测函数列的上极限也是可测函数

9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A ?A （用描述集合间关系的符号填写）

12．设{}211,2,A k k =-=，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数）

13．设n

E ?

，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集

14．任意个开集的并是开集

15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ?，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则*

m E =0

17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ?∈，()E x f x a ??

18．可测函数列的下极限也是可测函数

19．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x ?()()f x g x 20．设()n x ?是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()E

f x dx =?()lim n

n x dx ?→∞?

21．设,A B 为集合，则()

\A B B ?B

22．设A 为有理数集，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 23．设n

E ?

，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是开集

24．有限个闭集的交是闭集

25．设n

E ?，则*

m E ≥0

26．设E 是

中的区间，则*

m E =E 的体积

27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ?∈，()E x f x a ??≤??是可测集，则称()f x 在E 上可测

28．可测函数列的极限也是可测函数

29．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?..a e ，则()n f x ?()g x

30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有

()E

f x dx =?()lim n E

n f x dx →∞?

31．设,A B 为集合，则()

\B A B A =A B

32．设A 为无理数集，则A =c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 33．设n

E ?

，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是开集

34．任意个闭集的交是闭集 35．设n

E ?

，称E 是可测集，如果n

T ??

，()**m T m T

E =+()*c m T E

36．设E 是外测度为零的集合，且F E ?，则*

m F =0 37．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1

a ?∈，()E x a f x

b ??≤

（a b ≤）则称()f x 在E 上可测

38．可测函数列的上确界也是可测函数

39．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?..a e ，则()()n n f x g x ?()()f x g x

40．设()()n f x f x ?，那么由黎斯定理，(){}

n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于E 41.设,A B 为两个集合,则__c A B A

B -.（等于）

42.设n

E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是闭.

43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)(a,b)G ? (ii),a G b G ?? 44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 答案：≥ 45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 答案：≥ 46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >是可测集E 上的可测函数.

47.设0x 是E (R ?)的内点,则*

__0m E . 答案>

48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由____黎斯__定理可知得,存在{}()n f x 的子列

{}

()k

n f

x ,使得.()()

()k a e

n f x f x x E →∈.

49.设()f x 为可测集E (n

R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上不一定L 可积. 50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数. 51．设,A B 为集合，则___(\)A

B B A A 答案=

52．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是开集

53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的构成区间 54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数=a (其中a 表示自然数集N 的基数) 55．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 答案 =

56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是可测集 57．若()E R ?是可数集，则__0mE 答案=

58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()

()a e

n f x f x x E →∈，则

()()n f x f x ? x E ∈不一定成立

59．设()f x 为可测集()n

E R ?上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值一定存在

60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =

中无理数，则（ ACD ）

A E 是不可数集

B E 是闭集

C E 中没有内点

D 1m

E =

2．设n

E ?

是无限集，则（ AB ）

A E 可以和自身的某个真子集对等

B E a ≥（a 为自然数集的基数）

C E '≠?

D *0m

E >

3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ABD ）

A 函数()f x 在E 上可测

B ()f x 在E 的可测子集上可测

C ()f x 是有界的

D ()f x 是简单函数的极限

4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ）

A ()f x 在[],a b 上可测

B ()f x 在[],a b 上L 可积

C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续

D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数

5．设n

E ?

，如果E 至少有一个内点，则（ BD ）

A *m E 可以等于0

B *0m E >

C E 可能是可数集

E 不可能是可数集

6．设n

E ?

是无限集，则（ AB ）

A E 含有可数子集

B E 不一定有聚点

C E 含有内点

E 是无界的

7．设()f x 是E 上的可测函数，则（ BD ）

A 函数()f x 在E 上可测

B ()f x 是非负简单函数列的极限

C ()f x 是有界的

D ()f x 在

E 的可测子集上可测

8．设()f x 是[],a b 上的连续函数，则（ ABD ）

A ()f x 在[],a b 上可测

B ()f x 在[],a b 上L 可积，且()

()()()[

]

a a

b R f x dx L f x dx =?? C ()f x 在[],a b 上L 可积，但()()()()[]

,b a

a b R f x dx L f x dx ≠??

D ()f x 在[],a b 上有界

9．设()D x 是狄利克莱函数，即()[][]10,100,1x D x x ??=???为中有理数

为中无理数

，则（ BCD ）

A ()D x 几乎处处等于1

B ()D x 几乎处处等于0

C ()

D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数

10．设n

E ?

，*

0m E =，则（ ABD ）

A E 是可测集

B E 的任何子集是可测集

C E 是可数集

E 不一定是可数集

11．设n

E ?

，()10E c

x E

x x E χ∈?=?

∈?

，则（ AB ） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数 B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集 C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数

D 当()

E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集

12．设()f x 是(),a b 上的连续函数，则（BD ）

A ()f x 在(),a b 上有界

B ()f x 在(),a b 上可测

C ()f x 在(),a b 上L 可积

D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积

13．设()f x 在可测集E 上L 可积，则（AC ）

A ()f x +，()f x -都是E 上的非负可积函数

B ()f x +和()f x -有一个在E 上的非负可积

C ()f x 在E 上L 可积

D ()f x 在

E 上不一定L 可积

14．设n

E ?

是可测集，则（ AD ）

A c E 是可测集

B mE <+∞

C E 的子集是可测集

E 的可数子集是可测集

15．设()()n f x f x ?，则（ CD ）

A ()n f x 几乎处处收敛于()f x

B ()n f x 一致收敛于()f x

C ()n f x 有子列()n f x ，使()()n f x f x →..a e 于E

D ()n f x 可能几乎处处收敛于()f x

16．设()f x 是[],a b 上有界函数，且L 可积，则（BD ）

A ()f x 在[],a b 上黎曼可积

B ()f x 在[],a b 上可测

C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续

D ()f x 在[],a b 上不一定连续

17. 设{[0,1]}E =中的无理点,则(CD)

（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）E 中的每个点均是聚点（D ）0mE > 18. 若E (R ?)至少有一个内点，则（BD ）

（A ）*

m E 可以等于０（B ）*

0m E = （C ）E 可能是可数集（D ）E 不可能是可数集 19．设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E x χ是（ABC ）（A ）[,]a b 上的符号函数（C ）E 上的连续函数

（B ）[,]a b 上的可测函数（D ）[,]a b 上的连续函数 20．设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则（ACD ）

（A ）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数（B ）()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数（C ）()f x 在[,]a b 上几乎处处收敛（D ）()f x 在[,]a b 上几乎处处可导 21．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ AC ）

（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集

（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 22．若()E R ?的外测度为0，则（ AB ）

（A ）E 是可测集（B ）0mE =

（C ）E 一定是可数集（D ）E 一定不是可数集

23．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果

()(),()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结果不一定成立（ ABCD ）

（A ）

()E

f x dx ?

存在（B ）()f x 在E 上L -可积

（C ）.()()

()a e

n f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n E

n f x dx f x dx →∞=??

24．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ AD ）（A ）()()f x L E +

∈与()()f x L E -

∈至少有一个成立（B ）()()f x L E +

∈且()()f x L E -

∈ （C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值（D ）|()|()f x L E ∈

三、单项选择

1．下列集合关系成立的是（ A ）

A ()\

B A A =? B ()

\A B A =? C ()\A B B A = D ()

\B A A B =

2．若n

R E ?是开集，则（ B ）

A E E '?

B 0E E =

C E E =

E E '=

4．设(){}

n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ B ）

A ()()lim lim n n E E

n n f x dx f x dx →∞

→∞≤??

B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞

→∞

≤??

C ()()lim lim n n E E

n n f x dx f x dx →∞

→∞≤??

D ()()lim lim n n

E E n n f x dx f x →∞

→∞

≤??

5．下列集合关系成立的是（ A ）

A c c A A αααα∈Λ∈Λ??=

??? B c

A A αααα∈Λ∈Λ??= ??? C c

A A αααα∈Λ∈Λ??=

??? D c

A A αααα∈Λ∈Λ????= ? ?????

6．若n R E ?是闭集，则（ C ）

A E E '=

B E E '?

C E E '?

D 0

E E =

7．设E 为无理数集，则（ C ）

A E 为闭集

B E 是不可测集

C mE =+∞

D 0m

E = 9．下列集合关系成立的是（B ）

A c c A A αααα∈Λ∈Λ??=

??? B c

A A αααα∈Λ∈Λ??= ??? C c

A A αααα∈Λ∈Λ????= ? ????? D c

c c

A A αααα∈Λ∈Λ

??=

??? 10．设n R E ?，则( A )

A E E ?

B E E '?

C E E '?

E E =

11．设P 为康托集，则（ B ）

A P 是可数集

B 0mP =

C P 是不可数集

D P 是开集 13．下列集合关系成立的是（ A ）

A 若A

B ?则c c B A ? B 若A B ?则c c A B ?

C 若A B ?则A B B =

D 若A B ?则A B B =

14．设n

R E ?，则（ A ）

A ()

E E = B 0E E ? C E E '? D E E '?

15．设(){},001E x x =

≤≤，则（ B ）

A 1mE =

B 0mE =

C E 是2R 中闭集

E 是2R 中完备集

16．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ B ）

A ()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集

B ()()E x f x g x ??≠??是可测集

C ()()E x f x g x ??≤??是不可测集

D ()()

E x f x g x ??=??不一定是可测集

１7．下列集合关系成立的是（A ）

（A ）(\)A B B A B = （B ）(\)A B B A =

（C ）(\)B A A A ? （D ）\B A A ?

18. 若(

E R

?是开集，则（ B ）

（A ）E 的导集E ? （B ）E 的开核E =

（C ）E E = （D ）E 的导集E = 19. 设P 的康托集，则(C)

（A ）P 为可数集（B ）P 为开集（C ）0mP = （D ）1mP =

20、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 21．下列集合关系成立的是（ A ）（A ）()()()A

B C A B A C = （B ）(\)A B A =?

（C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ?

22. 若()

n E R ?是闭集，则（ B ）

（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 23. 设Q 的有理数集，则（ C ）

（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集（C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集

24.设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()0E

f x dx =?，则（ A ）

（A ）在E 上，()f x 不一定恒为零（B ）在E 上，()0f x ≥ （C ）在E 上，()0f x ≡ （D ）在E 上，()0f x ≠ 四、判断题

1. 可数个闭集的并是闭集. （ × ）

2. 可数个可测集的并是可测集. （ √ ）

3. 相等的集合是对等的. （ √ ）

4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ √ ）

5. 可数个F σ集的交是F σ集. （ × ）

6. 可数个可测函数的和使可测函数. （ √ ）

7. 对等的集合是相等的. (× )

8. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x =的x 全体是零测集. （ × ）

9. 可数个G σ集的并是G σ集. （ √ ）

10. 零测集上的函数是可测函数. （ √ ） 11. 对等的集合不一定相等. （ √ ） 12. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是零测集.（ √ ） 13. 可数个开集的交是开集（ × ） 14. 可测函数不一定是连续函数. （ √ ） 15. 对等的集合有相同的基数. （ √ ）

16. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体的测度大于0 （ × ） 17. 可列个闭集的并集仍为闭集（ × ） 18. 任何无限集均含有一个可列子集（ √ ） 19. 设E 为可测集，则一定存在G σ集G ，使E G ?，且()\0m G E =. （ √ ） 20. 设E 为零测集，()f x 为E 上的实函数，则()f x 不一定是E 上的可测函数（ × ） 21. 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈ （ × ） 22. 可列个开集的交集仍为开集（× ） 23. 任何无限集均是可列集（ × ） 24. 设E 为可测集，则一定存在F σ集F ，使F E ?，且()\0m E F =. （ √ ） 25. 设E 为零测集，则()f x 为E 上的可测函数的充要条件是：?实数a 都有()E x f x a ?≥???是可测集

（ √ ）

26. 设()f x 为可测集E 上的可测函数，则

()E

f x dx ?一定存在. （ × ）

五、简答题

1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.

答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A

的基数大于A 的基数.

2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.

答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？

答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？

答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 5. 简述集合对等的基本性质.

答：A A ；若A B ，则B A ；若A B ，且B C ，则A C . 6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.

答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成.

7. 可测集与开集、G σ集有什么关系？

答：设E 是可测集，则0ε?>，?开集G ，使G E ?，使()\m G E ε<，或? G σ集G ，使G E ?，且()\0m G E =. 8. [],a b 上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？

答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数. 9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理. 答：若A

B B *?，又B A A *?，则A B

10. 简述1R 中开集的结构.

答: 设G 为1R 中开集，则G 可表示成1R 中至多可数个互不相交的开区间的并. 11. 可测集与闭集、

F σ

集有什么关系？

答：设E 是可测集，则0ε?>，?闭集F E ?，使()\m E F ε<或? F σ集F E ?，使()\0

m E F =.

12. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？

答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.

13. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.

答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数. 14. 简述n

R 中开集的结构.

答：n

R 中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并 15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？答：设()(),n f x f x 是可测集E 上的一列可测函数，那

当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，必有()()n f x f x ?.

反之不成立，但不论mE <+∞还是mE =+∞，(){}

n f x 存在子列(){}

k n f x ，使()(),.k n f x f x a e →于E .

当mE <+∞时，()(),.n f x f x a e →于E ，由Egoroff 定理可得()n f x 近一致收敛于()f x ，反之，无需条件

mE <+∞，结论也成立.

16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？

答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.

17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定，如

[]1111,11,1n n n +∞

=??---+=- ???

18. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？

答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式. 19. [],a b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？

答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差. 20. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定如

()1111,11,1n n n +∞

=??---+=-???

? 21. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？

答：E 上连续函数必为可测函数但E 上的可测函数不一定时连续函数，E 上可测函数在E 上是“基本上”连续的函数 22. [],a b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？

答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数

六、计算题

1. 设()[]23

0,1\x

x E f x x

x E

?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求

()[]

0,1f x dx ?.

解：因为0mE =，所以()3

,.f x x a e =于[]0,1，于是

()[]

[]

30,10,1f x dx x dx =

，

而3

x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，

[]

()41

1000,11

|44x x dx R x dx ===?? 因此

()[]

0,11

f x dx =

. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121

,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?

∈??，求()[]

0,1lim n n f x dx →∞

解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以

()[]

[]

0,10,100n

f x dx dx ==??

因此()[]

0,1lim

n f x dx →∞

=?.

3. 设()[]2sin 0,1\x

x P f x x x P ∈?=?∈?，P 为康托集，求()[]

0,1f x dx ?.

解：因为0mP =，所以()2

,.f x x a e =于[]0,1

于是

()[]

[]

20,10,1f x dx x dx =

而2

x 在[]0,1上连续，所以

[]

()31

1000,11

|33x x dx R x dx ===?? 因此()[]

0,11

f x dx =?

4. 设()()

[]22

sin ,0,11n nx nx f x x n x =

∈+，求()[]

0,1lim n n f x dx →∞?. 解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =

又()()[]2222

sin 1

,0,1,1,2,1122

n nx nx nx nx f x x n n x n x nx

=≤≤=∈=++

而22

lim

01n nx

n x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.

因此由有界控制收敛定理

()[]

[]

0,10,10,1lim

lim 00n

n n f x dx f x dx dx →∞

→∞

===???

5. 设()3

cos 0,\2x x E f x x x E π?∈?

??∈?????

，E 为0,

2π??

????中有理数集，求()0,2f x dx π??

?. 解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是

()0,0,22cos f x dx xdx ππ

??????

=??

而cos x 在0,

2π??

????

上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []

()22

0,1cos cos sin |1xdx R xdx x π

===??

因此

()0,21f x dx π??????

6. 设()()

[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =

∈+，求()[]

0,1lim n n f x dx →∞?. 解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =

又()()[]2222

cos 1,0,1,1,2,1122

n nx nx nx nx f x x n n x n x nx

=≤≤=∈=++

而22

lim

01n nx

n x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.

因此由有界控制收敛定理

()[]

[]

0,10,10,1lim

lim 00n

n n f x dx f x dx dx →∞

→∞

===???

7. 设()[]3

sin 0,1\x

x P f x x

x P

?∈?=?

∈??，P 为康托集，求

()[]

0,1f x dx ?.

解：因为0mP =，所以(),.f x x a e =于[]0,1 于是

()[]

[]

0,10,1f x dx xdx =??

而x 在[]0,1上连续，所以

[]

()21

1000,11

|22x xdx R x dx ===?? 因此

()[]

0,11

f x dx =

. 8. 求()()

0,ln lim

cos x

n n x n e xdx n -→∞+?.

解：令()()()

()0,ln cos x

n n x n f x x e x n

χ-+= 显然()n f x 在()0,+∞上可测，且

()()()()

0,0,ln cos x

n n x n e xdx f x dx n -+∞+=?? 因为()()()

()ln ln cos ,0,,1,2,x n x n x n f x e x x n n n

-++≤

≤?∈+∞=

不难验证()()

ln n x n g x n

，当n 足够大时，是单调递减非负函数，且 ()lim 0n n g x →∞

=，所以

()()()()()()

0,0,0,ln lim lim lim n n n n n x n dx g x dx g x n →∞→∞→∞+∞+∞+∞+==???()0,00dx +∞==? 由勒贝格控制收敛定理

()()

0,lim

0n n f x dx →∞

+∞=?

故()()

0,ln lim cos 0x n n x n e xdx n -→∞+=?. 9. 设()[][]101001x D x x ??=?

??为，上的有理点

为，上的无理点，求()[]01D x dx ?，

证明记1E 是[]0,1中有理数集，2E 是[]0,1中无理数集，则

[]1

20,1,E E E E ==?，120,1mE mE ==，且()1210E E D x χχ=+，

所以

()[]

0,1100D x dx mE mE =+=?.

10 求()0

ln lim

cos x

n x n e xdx n

+∞

-→∞+?

. 证明易知()ln lim

cos 0x

n x n e x n

-→∞+=

对任意0,1x n ≥≥，

()()

ln ln cos x x n x n e x n n

-++≤

设()ln ()x y f y y +=，0y >，则()2

ln ()y

x y x y

f y y -++'=，

当3y ≥时，

()1ln y

x y x y

<<++，()0f y '<. 则()

ln ()x n f n n

是单调减函数且非负（3n ≥）；

又()ln 1

lim

lim 0n n x n n x n

→∞→∞+==+，由Levi 单调收敛定理得

()()

00ln ln lim lim 00n n x n x n dx dx dx n n

+∞

+∞+∞→∞→∞++===?

??，即

()ln ()x n L E n +∈，再由Lebsgue 控制收敛定理得

()()0

00ln ln lim cos lim cos 00x x

n n x n x n e xdx e xdx dx n n

+∞

+∞+∞--→∞→∞++===?

11. 设()[]23

0,1x x P

f x x

x P ?∈?

=?∈-??，其中P 为康托集，求()[]01f x dx ?，

解：因为P 为康托集，故0mP =，[]()

0,1\1m P = 所以()[]320,1P P f x x x χχ-=+ 所以

()[]

[]()2330,10,1f x dx x mP x m P x =+-=?

12. 求()[]22,0,11n nx

f x E n x =

=+，求()lim n n E

f x dx →∞?. 解：易知：[]()22

lim

00,11n nx

x n x →∞=∈+

令()()22

,1n nx f x g x n x x

==+，则()()()2

22322222

2222

1110111n nx n x nx n x nx g x f x nx nx x n x x x n x n x

+-+--=-

==≥+++ 所以()()[]()

00,1,1n f x g x x n ≤≤∈≥ 又因为()g x 在[]0,1上Lebesgue 可积，所以由控制收敛定理，得 22

lim 001n E E

dx dx n x →∞==+??

七、证明题

1．证明集合等式：(\)A B B A B =

证明

(\)

()c A B B A B B =()()

()

c c A B A B B A B

B B A B ===

2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =

证明设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*

0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又

[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于E F =?，所以

1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+，故1mF =

3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集证明设{}n r 为全体有理数所成之集，则

()1

[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞

∞

==>=

≥>=

≥<

因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测

集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集

4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1

[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a

≥≤

? 证明因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，

[|()|]

|()||()|E x f x a E x f x a E

adx f x dx f x dx ≥≥≤≤?

而

[|()|]

[|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=?≥?

，所以

[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a

≥≤

? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞

=，则

lim ()0n

E n f x dx →∞=?

证明因为lim 0n n mE →∞

=，所以0,1N δ?>?≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝

对连续性，0,0,εδ?>?>当,e E me δ?<时|

()|e

f x dx ε

于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|n

E f x dx ε

，即lim ()0n

E n f x dx →∞=?

6．证明集合等式：\(\)A A B A B =

证明 \(\)()(())()c c c

c c c

A A

B A

A B A A B A A B ===

()()c A A A B A B ==

7．设12,A A 是[0,1]的可测子集，且121mA mA +>，则12()0m A A >

证明因为12[0,1],[0,1]A A ??，所以1

2[0,1]A A ?，于是12()[0,1]1m A A m ≤=

另一方面，1

21122[\()]

A A A A A A =，所以

()1

2112211

221122

()[\()][\()]()m A A m A A A A m A A A mA mA m A A mA ==+=-+ 于是

2121

2()()0m A A mA mA m A A =+->

8．设()f x 是定义在可测集n

E R ?上的实函数，n E 为E 的可测子集（1,2,n =），且1

n n E E ∞

，则()f x 在E 上

可测的充要条件是()f x 在每个n E 上可测证明对任何实数a ，因为

[|()][|()]([|()])n n

n n E x f x a E x f x a E E x f x a ∞

∞

==>=

所以()f x 在E 上可测的充要条件是对每个1,2,

n =，()f x 在每个n E 上可测

9．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有()[|()]a

f x E

mE x f x a e e dx -≥≤?

证明因为()f x 在E 上可测，所以()

f x e

是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，

()()[|()]

[|()]

a f x f x E x f x a E x f x a E

e dx e dx e dx ≥≥≤≤?

而

[|()]

[|()]a a E x f x a e dx e mE x f x a ≥=?≥?

，

所以 ()[|()]a

f x E

mE x f x a e

e dx -≥≤?

10．设()f x 是E 上的可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞

= 则lim

()()n

E E

n f x dx f x dx →∞=??

证明因()f x 在E 上L -可积，由积分的绝对连续性知，对任意0ε>，存在0δ>，对任何A E ?，当mA δ<时有|

()|A

f x dx ε

，由于lim n n mE mE →∞

=<+∞，故对上述的0δ>，存在0k ，当0n k >时n E E ?，且有

()n n mE mE m E E δ-=-<，于是

()()||()|n

E E E f x dx f x dx f x dx ε--=

，

即 lim ()()n

E E

n f x dx f x dx →∞=??

11．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =

证明 ()\()()()(\)(\)c c c A

B C A B C A C B C A C B C ===

12．设n E R ?是零测集，则E 的任何子集F 是可测集，且0mF =

证明设F E ?，*

0m E =，由外测度的单调性和非负性，*

00m F mE ≤≤=，所以 *

0m F =，于是由卡氏条件易知F 是可测集

13．设(),(),(),()n n f x g x f x g x 是E 上几乎处处有限的可测函数，且()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则

()()()()n n f x g x f x g x +?+

.证明对任何正数0σ>，由于

|(()())(()())||()()||()()|n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x +-+≤-+- 所以[|(()())(()())|]n n E x f x g x f x g x σ+-+≥ [|()()|][|()()|]2

n n E x f x f x E x g x g x σ

?-≥

-≥

于是[|(()())(()())|]n n mE x f x g x f x g x σ+-+≥ [|()()|][|()()|]2

n n mE x f x f x mE x g x g x σ

≤-≥

+-≥

0()n →→∞

故()()()()n n f x g x f x g x +?+ 14．设(),()f x g x 是E 上L -22()()f x g x +E 上也是L -可积的

证明因(),()f x g x 是E 上L -可积，所以|()|,|()|f x g x 在E 上L -可积，从而 |()||()|f x g x +L -可积，

222()()(|()||()|)|()||()|f x g x f x g x f x g x +≤+=+ 22()()f x g x +E 上L -可积

15．设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果

()0E

f x dx =?

，则()0.f x a e =于E

证明反证，令[|()0]A E x f x =>，则由()f x 的可测性知，A 是可测集.下证0mA =，若不然，则0mA >

由于1

[|()0][|()]n A E x f x E x f x n ∞

==>=

≥，所以存在1N ≥，使

[|()]0mE x f x d N

≥

=> 于是

[|()][|()]111()()[|()]0E

E x f x E x f x N

d f x dx f x dx dx mE x f x N N N N ≥

≥≥≥=≥=>?

因此

()0E

f x dx >?

，矛盾，故()0

.f x a e =于E

16．证明等式：\()(\)(\)A B C A B A C =

证明 \()()()()()(\)(\)c c

c c c A B

C A B C A B C A B A C A B A C ====

17．设n E R ?是有界集，则*

m E <+∞