(完整版)简单的三角恒等变换练习题
3.2 简单的三角恒等变换
一、填空题
1．若
25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________
2．已知sin θ=－
53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．
4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=
54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．
5． 设5π＜θ＜6π，cos
2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________
二、解答题
6．化简
θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．
7．求证：2sin （
4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．
8．求证：
α
ααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-?-a ．
9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ?--?，求证：b a b a B A
-+=2tan 2tan 2
2
．
10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．
11． 设－3π＜α＜－
2π5，化简2)πcos(1--α．
12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．
13．
求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．
14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos
2x 的值．
15． 已知sin α=
1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2
β．
参考答案
一、填空题
1． 2
15+． 2．－3 4． 65657 5．－21a - 二、解答题
6．解：原式=θ
θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)
-(+?+)-(-?+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ
θθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+?2+? =)
cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+?)+(? =tan θ．
7．证明：左边=2sin （
4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （
4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2
π－2x ） =cos2x
=右边，原题得证．
8．证明：左边=α
ααα22sin cos cos sin 21-?- =)
sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+?-?-+ =)
sin )(cos sin (cos )sin (cos 2
αααααα+-- =
ααααsin cos sin cos +- =α
αtan 1tan 1+- =右边，原题得证．
9．证明：∵cos A =
B b a b B a cos cos ?--?， ∴1－cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(?--?+， 1+cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(?-+?-． ∴)
cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +?--?+=+-． 而2
tan 2
cos 22sin 2cos 1cos 1222A B A
A A ==+-， 2
tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2tan 2tan 2
2
．
10．解：因为15°是第一象限的角，所以
sin15°=4264)26(434823222312
30cos 12-=-=-=-=-=?-， cos15°=
4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=?+， tan15°=?
+?-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2
α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·2
2cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·
2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．
14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，
所以sin x =25
24或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =
2524，cos x =－257． 又2
x 是第一或第三象限角， 从而cos
2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜
2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2
π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜
2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－5
3． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－
53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜
2π， ∴0＜2
β＜4π． 故cos
656572cos 1=+=2ββ
．