第9讲等腰三角形的重难点

等腰三角形的重难点

重点：

1. 等腰三角形的概念与性质：

1.1 有两条边相等的三角形称为等腰三角形；

1.2 等腰三角形的两个底角相等，简称为“等边对等角”；

1.3 若一个等腰三角形的顶角为α，则其底角为1802α?-，也可表示为902α???- ??

?； 1.4 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线重合，简称为“三线合一”，这条线所在的直线也是等腰三角形的对称轴．

2. 等腰三角形的判定：

在同一个三角形中，相等两个角所对的两条边也相等，简称为“等角对等边”．

例：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且AB =AD =DC ，∠BAD =40°，则∠C 为（ ）

A ．35°

B ．25°

C ．40°

D ．50°

解析：法一：在△ABD 中，由AB =AD ，故有∠ABD =∠ADB =902BAD ∠?-

=70°；

在△ACD 中，由DA =DC ，故有∠C =∠CAD ，又由∠C +∠CAD =∠ADB ， 故有∠C =

12∠ADB =35°．故答案选A ．

法二：在△ACD 中，由DC =DA ，可设∠C =∠CAD =α，则有∠ADB =∠C +∠CAD =2α；

在△ABD 中，由AB =AD ，故有∠ABD =∠ADB =2α；

在△ABC 中，由三角形内角和可知：∠BAC +∠ABC +∠C =180°，

即40°+α+α+2α=180°，解得α=35°．故答案选A ．

难点：

1. 等腰三角形的分类讨论：

等腰三角形中的底角和顶角，底边和腰要分清楚，题目不清楚时需分类讨论，同时注意到等腰三角形需满足三角形的三边关系；

2. 三线合一的结论反过来也是成立的，即一个三角形中若一边上的高线、中线以及其对角的角平分线中有“两线合一”，那么这个三角形一定是等腰三角形。此结论成立，但做解答题时需要给出证明才行．

例：等腰三角形的两边长分别是3和6 则此三角形的周长是（ ）

A ．12或15

B ．12

C ．15

D ．18 解析：由于此题并没有明确给出哪条边长是腰，因此需分情况讨论：

①若边长为3的边是腰，那么此等腰三角形的三边长分别是3，3，6，但是这三条线段不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故此情况舍去；

②若边长为6的边是腰，那么此等腰三角形的三边长分别是3，6，6，此三条线段符合D C B A

三角形的三边关系，因此可求得其周长为15；

综上，此等腰三角形的周长是15，答案选C．

课堂内容：

1. 理解等腰三角形中边和角的的概念，能解决一些简单的线段及角度计算问题；

2. 运用好“等边对等角”以及“等角对等边”这两个结论，在证明题中要证边相等往往找角相等，要证角相等往往找边相等；

3. 等腰三角形中有一条非常重要的辅助线：“三线合一”的线，这条线所在的直线也是等腰三角形的对称轴，当我们处理等腰三角的题目没有思路时，作出这条辅助线往往有意想不到的结果；

4. 分类讨论是数学的一种重要思想与方法，能很好地锻炼我们的逻辑思维能力，同学们要好好掌握并熟练运用．