2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(理)模拟试题有答案

成都市高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q =I （ ） A ．1(1,)2

- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)

2.已知向量(2,1)a =r ，(3,4)b =r ，(,2)c k =r .若(3)//a b c -r r r

，则实数的值为（ ）

A ．8-

B ．6-

C ．1-

D ． 3.若复数满足3

(1)12i z i +=-，则z 等于（ ） A ．

102 B ．32 C ．22 D ．12

4.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．32

5.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α?，则m β⊥ B ．若m α?，n β?，则m n ⊥ C ．若m α?，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥

6.若6

()x x

-的展开式中含3

2x 项的系数为160，则实数的值为（ ） A ． B ．2- C ．22 D ．22- 7.已知函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,)2

A π

ω?>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所

有点向右平移

4

π

个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）

A ．()2sin(2)4

g x x π

=+

B ．3()2sin(2)4

g x x π=+

C ．()2cos 2g x x =

D ．()2sin(2)4

g x x π

=-

8.若为实数，则“

2

222x ≤≤”是“22223x x

+≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A ．

86

3

π B ．86π C ．6π D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）

A ．7?n ≤

B ．7?n >

C ．6?n ≤

D ．6?n > 11.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则

2

1

n m ++的取值范围为（ ） A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++

C ．2[

,1]1e + D ．[1,1]2

e

+ 12.已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线

分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12

AP PB =u u u r u u u r

时，AOB ?的

面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．

329 B ．169 C ．89 D ．49

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.已知1

3

2a =，2

31()2

b =，则2log ()ab = ．

14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．

15.已知抛物线C ：2

2(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ． 16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数3

21()3

n n f x x a x =

-2(1)n a x +-，*n N ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满

足条件的数列{}n a 的个数为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数()3cos 22x x f x =21

cos 22

x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；

（2）若ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1

()2

f A =

，3a =sin 2sin B C =，求. 18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22?列联表如下：

对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计

对车辆状况好评 100 30 130 对车辆状况不满意

40 30 70 合计

140

60

200

（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是

12，1

5

，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为

X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.

参考数据：

2()P K k ≥

0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

参考公式：2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=o ，AB BC ⊥，

2AB BC ==.

（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.

20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为22，点B 是

椭圆上的动点，1ABF ?的面积的最大值为21

2

. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相

交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ

MN

的最小值.

21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.

（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：

223ln 2ln 242n n <++21ln 1

n n

n n ++???+<

+. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y α

α

?=??

=??，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原

点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4

π

，直线的极坐标方程为

sin()04

π

ρθ-+=.

（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；

（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≥；

（2）记函数()f x 的最小值为m ，若，，均为正实数，且

1

22

a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.

成都市高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5: DBADC 6-10: BDBCD 11、12：AA

二、填空题

13. 13

- 14. 24 15. 1176

三、解答题

17.解：（1）1()cos 22f x x x =-sin()6

x π

=-. 由

22

6

k x π

π

π+≤-

322

k π

π≤

+，k Z ∈， 得

223k x ππ+≤523

k ππ≤+，k Z ∈. ∴函数()f x 的单调递减区间为25[2,2]33

k k ππ

ππ++，k Z ∈. （2）∵1()sin()6

2f A A π

=-

=

，(0,)A π∈，∴3

A π=. ∵sin 2sin

B

C =，∴由正弦定理

sin sin b c

B C

=

，得2b c =.

又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，a =

得2221

3442

c c c =+-?. 解得1c =.

18.解：（1）由22?列联表的数据，有

2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2

200(30001200)1406070130-=???

220018146713?=???54008.4810.828637

=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为3

10

.X 的所有可能取值分别为，，，，. ∵239(0)(

)10100P X ===，12(1)P X C ==13321010

?=， 1

2

(2)P X C ==213137()5102100?+=，12(3)P X C ==111255

?=，

211

(4)()525

P X ===

， ∴X 的分布列为：

X

P

9

100 310 37100 15 125

X 的数学期望为1210100EX =?

+?34 1.8525

+?+?=（元）. 19.解：（1）连接MD ，FD .

∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=o ， ∴DBF ?为等边三角形.

∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥. ∵AB BC ⊥，2AB BC ==，又D 是AC 的中点，

∴BD AC ⊥.

∵平面BDEF I 平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ?平面ABC ， ∴AC ⊥平面BDEF .

又BF ?平面BDEF ，∴AC BF ⊥.

由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =I ， ∴BF ⊥平面AMC .

（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为轴，y 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,1,0)A -，13(2E -

，13

(2F ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C .

∴13(,1,

22AE =-u u u r ，(1,0,0)EF =u u u r ，13

(,0,)22

BF =-u u u r ，(1,1,0)BC =-u u u r . 设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为111(,,)m x y z =u r ，222(,,)n x y z =r

.

由

0 AE m EF m

??=?

?

?=

??

u u u r u r

u u u r u r

111

1

13

2

1

2

x y z

x

?

-++=

??

??

?=

??

.

解得

11

3

y z

=-.

取

1

2

z=-，∴(0,3,2)

m=-

u r

.

又由

BC n

BF n

??=

?

?

?=

??

u u u r r

u u u r r

22

22

13

2

x y

x z

-+=

?

?

??

-+=

?

?

解得

22

3

y z

=.

取

2

1

z=，∴(3,3,1)

n=

r

.

∵cos,

m n

<>

u r r m n

m n

?

=

u r r

u r r

1

7

77

==

?

.

∴平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为

1

7

.

20.解：（1）由已知，有

2

2

c

a

=，即22

2

a c

=.

∵222

a b c

=+，∴b c

=.

设B点的纵坐标为

00

(0)

y y≠.

则

1

1

()

2

ABF

S a c y

?

=-?

1

()

2

a c b

≤-

21

2

=，

即2)21

b b b

-=.

∴1

b=，2

a=

∴椭圆C的方程为

2

21

2

x

y

+=.

（2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：1

x my

=-.

设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)P P P x y ，(2,)Q Q y .

联立22221

x y x my ?+=?=-?，消去，得22

(2)210m y my +--=.

此时2

8(1)0m ?=+>. ∴12222m y y m +=

+，12

21

2

y y m =-+.

由弦长公式，得MN =

12y y -=

整理，得221

2

m MN m +=+.

又122

22P y y m y m +=

=+，∴1P P x my =-22

2

m -=+.

∴2P PQ =

-2226

2

m m +=+.

∴2PQ =

22=

22=≥，

=

1m =±时等号成立.

∴当1m =±，即直线的斜率为1±时，

PQ

MN

取得最小值. 21.解：（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥(0)x >. 整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1

(ln )a x x

-≤+. 令1()ln F x x x =+

.则22111'()x F x x x x

-=-=. ∴函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ∴函数1

()ln F x x x

=+

的最小值为(1)1F =. ∴1a -≤，即1a ≥-. ∴的取值范围是[1,)-+∞. （2）∵

24n n +为数列1(1)(2)n n ????++??的前项和，1n n +为数列1(1)n n ????+??

的前项和.

∴只需证明

211ln (1)(2)n n n n +<++1

(1)

n n <+即可.

由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1

ln x x x

≥-. 令11n x n +=>，即得1ln 11n n n n +>-+1

1

n =

+. ∴2

211ln ()1

n n n +>+1(1)(2)n n >++11

12n n =-

++. 现证明2

11

ln

(1)

n n n n +<+，

即

==. (*) 现证明1

2ln (1)x x x x

<-

>. 构造函数1

()2ln G x x x x

=-

-(1)x ≥， 则212'()1G x x x

=+-22

21

0x x x -+=≥. ∴函数()G x 在[1,)-+∞上是增函数，即()(1)0G x G ≥=. ∴当1x >时，有()0G x >，即1

2ln x x x

<-

成立.

令x =

(*)式成立. 综上，得

211ln (1)(2)n n n n +<++1

(1)

n n <+.

对数列1

(1)(2)n n ?

??

?++??，21ln n n +?????

?，1(1)n n ????+??分别求前项和，得 223ln 2ln 242n n <++21ln 1

n n

n n ++???+<

+.

22.解：（1）∵直线的极坐标方程为sin()04

π

ρθ-

+=，即sin cos 100ρθρθ-+=.

由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为100x y --=.

将曲线C 的参数方程2sin x y α

α

?=??=??消去参数α，得曲线C 的普通方程为

221(0)124x y y +=>.

（2）设,2sin )Q αα(0)απ<<.

点P 的极坐标)4

π

化为直角坐标为(4,4).

则2,sin 2)M αα++.

∴点M

到直线的距离d

=

=≤当sin()13

π

α-

=，即56

π

α=

时，等号成立. ∴点M

到直线的距离的最大值为.

23.解：（1）()211f x x x =++-13,212,123,1x x x x x x ?

-≤-??

?

=+-<

≥???

.

∴()3f x ≥等价于1233x x ?≤-???-≥?或112

23

x x ?-<

33x x ≥??≥?. 解得1x ≤-或1x ≥.

∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞U . （2）由（1），可知当12x =-时，()f x 取最小值32，即3

2

m =. ∴

13

222

a b c ++=. 由柯西不等式，有2222221

()[()12]2a b c ++++21(2)2

a b c ≥++. ∴22237

a b c ++≥

. 当且仅当22c a b ==

，即17a =，27b =，4

7

c =时，等号成立. ∴222a b c ++的最小值为3

7

.