高等数学中常见的变量替换

引言………………………………………………………………(1) 一极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于

00(或∞

∞

)型极限………………………………………………(2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限x

y n +∞→lim 的求法 (3)

(四) 求数列的极限...............................................................(4) 二不定积分运算中常用的变量替换 .......................................(6) (一) 三角函数代换............................................................(6) (二) 倒数代换..................................................................(7) (三) 指数代换..................................................................(8) (四) 不定积分?dx y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函数.................................................................................(8) 三定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。...................................................(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换..............................(12) 四解微分方程中变量替换的应用技巧.................................(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用........................(14) (二) 求解齐次方程中变量替换的应用 (15)

(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用 (15)

五重积分中变量替换的应用 (16)

(一) 二重积分计算中的变量替换 (16)

(二) 利用直角坐标系计算 (18)

(三) 利用柱面坐标系计算 (19)

(四) 利用球面坐标系计算 (19)

结束语 (19)

参考文献 (20)

高等数学中常见的变量替换

鲁友栋

（数学系辽宁中国）

摘要变量替换是解决高等数学问题的重要手段。深入了解变量替换可以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。本文通过几个实例详细介绍了“

”型，“∞-∞”型，数列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。

关键词变量替换积分极限

引言

在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求达到的目标。以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。

一极限运算中变量替换的应用

(一) 对于00（或∞

∞）型极限

若用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求解，常作的替换是令,...)2,1(,1

k x

t k 例1，求下列极限：

（1）100

lim

x e x

x -→ （2）dt e x

e x x t x

x ?++→101

11arctan lim 解：（1）直接用洛必达法则，得

原式102

109931

lim 5011002lim x e x x e x x x x -→→=?

= 此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！

考虑变量替换2

x u =

，得原式0!

50lim ...50lim lim 4950=====+∞→+∞→+∞→u u u u u u e

e u e u ；（2）解：令x

u 1=，得原式???+=+++=+=+∞→+∞→+∞→u u t u u u u t u u u

t u u ue

dt e ue ue dt e ue u dt

e u e u 0

22222

2lim 211lim arctan lim

2)1(2)21(2lim

242lim

222=++=+++=+∞

→+∞

→u u u u u u u u x e

u e u e

u e

e u e .

(二) 对于∞－∞型极限

此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。（所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于＋∞最快的项）。但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。[1]

例1，求)]11ln([lim 2x

x x x +-+∞→

解：令x

u 1=得

原式u

u u u u u u u

u u u 211

1lim

)1ln(lim )]1ln(1

1[lim 02

020

+-=+-=+-=→→→ 2

)1(21lim )1(2lim

00=+=+=→→u u u u u u . 例2：求)(lim 656656x x x x x --++∞

→ 解：令x

u 1

=得原式3

661)1(61)1(61lim 11lim

6565066

0=1+=??????-++=--+=--→→++

u u u u u x u . (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限x

x +∞

→lim 的求法。解题方法：① 将隐函数0),(=y x F 化为参数式???==)

()

(t y y t x x

② 将x y x ∞

→lim 化为)

()

(lim

t x t y t t →的形式，0t 可由观察法得出。[2] 例：设有方程)0(0333>=-+a axy y x ，求(1) 曲线的渐近线方程 (2)求出与渐近线平行的切线。

解：令tx y =，则t ax t x x 23333=+，进而???????+=+=3231313t at y t at x (1) 1lim 3113lim lim 1

321-==++==-→-→∞→t at t t at x y A t t x []a t t t t at t at t at Ax x f B t t x -=+-++=+++=-=-→-→∞→)1)(1()1(3lim )1313(lim )(lim 213

321 故斜渐近线为：a x B Ax y --=+=，即0=++a y x

(2) 方程033

=-+axy y x 的斜率为：2

ax ay

x y --=' 而渐近线的斜率：1-='y ，因为切线与渐近线平行，所以它们斜率相

等，即122-=--y ax ay

x ，即)())((y x a x y x y -=+-，解得x y =或a x y -=+，将

a x y -=+代入方程得0=a (矛盾)，所以x y =。

将其代入0333=-+axy y x ，得切点)2

3,23(),0,0(a a . 故所求的切线方程：)0)(1(0--=-x y ，即0=+y x . 或者)2

3)(1(23a x a y --=-，即03=-+a y x . (四) 求数列的极限

解题方法：① 先作出与数列同类形的连续变量x 的函数;

②再求该函数当+∞→x 时的极限，该极限即为数列的极

限。

例1求下列数列的极限：

(1)n

n a

b )11(lim -+∞

→，其中0,0>>b a ; (2))1(lim -∞→n n a n ，0>a .

解：(1)显然1=b 时，原极限为1

当1≠b 时，先求x

x a

b )11(lim

1-++∞

→。由于221

11111)1(ln lim 11lim 11lim )1(lim

-+∞→-+∞→-+∞→+∞→--=-=-=-x x b b a x b a x a b a b x x

x x x x

x x

x , 则a

b x x

x b e a

b 1

ln 1)11(lim ==-++∞→，故a n

n b a

b 1

)11(lim =-+

∞→. (2)先求)1(lim 1

-+∞

→x

x a x .

a x x a a x a a x x

x x

x ln )1(ln lim

lim

)1(lim 2

1=--

=-=--+∞→-∞→+∞

→.

故a a n n n ln )1(lim =-∞

→. 例2：设数列{}n x 由下式给出：

),2,1(,,2

1211 =+==

+n x x x x n n n . 试求)1

1111(lim 21++++++∞

→n n x x x . 解：易知{}n x 为正项数列，所以由n n n n n

n x x x x x x >+=+=+)1(2

1 知{}n x 递增，于是02

11≠=≥x x n 且?????

?n x 1递减，?

???n x 1有下界0，从而知?

???n x 1有极限.从)1(1+=+n n n x x x 知 1

1112

111+++++-

=-===+n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ① 于是,有1

111121++++++=

n n x x x S )11()11()11(

3221+-++-+-=n n x x x x x x 1

111211++-=-=

n n x x x ② 设A x n

n =∞

→1

lim ，由①式变形为1

1111+-

n n n

n x x x x ，两边取∞→n 时的极限有

001=?=-=+A A A A

所以由②式得2)12(lim lim 1

=-=+∞

→∞→n n n n x S

例3：设)(21

),(x y f x y x F -=，52),1(2+-=y y y F ，任选 00>x ，作)2,(001x x F x =)2,(112x x F x = ),2,(223x x F x =……,)2,(1n n n x x F x =+，……,

证明：n n x ∞

→lim 存在并求值。

解：)1(2

52),1(2-=+-=y f y y y F ，令u y =-1，则9)(2+=u u f

所以[]

9)(21

),(2+-=

x y x

y x F . 故)9(2

1)2,(0

0001x x x x F x +

==, )9(21)2,(1

1112x x x x F x +=

=, ……

(21)2,(1n

n n n n x x x x F x +=

=+, ……

由题设条件，显见0,>∈?n x N n 且39)9

1=≥+=+n

n n x x x 又

1)99

1(21)91(2121=+≤+=+n

n n x x x ，所以数列{}n x 单调减少有下界，因而该数列必收敛，记A x n n =∞

→lim ，在(1)式中令∞→n ，得)9(21

A A +=，解得3±=A ，取其正值便得3lim =∞

→n n x .

二不定积分运算中常用的变量替换

(一) 三角函数代换

在被积函数中含有222222,,a x x a x a -+-分别作变量代换：

t a x t a x t a x sec ,tan ,sin ===，将根式去掉变成三角函数的积分，最后作变

量还原。

(1) ?

+=dx x

a x I 2

1 (2)?

-=dx x x a I 4

22 (3)?-=dx x a x I 2

解：(1)令t a x tan =;则?

??==??=tdt a

t dt a dt t a t a t a I csc 1

sin 1cos sec tan 12 c x

x a x a

c t t a +-+=+-=22ln 1

cot csc ln 1 (2) 令t a x sin =，则

x x a a c t a t td a tdt a t a t a I +--

=+?-=-=?=??3

244)(31cot 311)(cot cot 1cos sin cos

(3) 令t a x sec = 则

a a x c at t a dt t a tdt a tdt t a t

a t

a I +--=+-=-==??=???

arccos tan )1(sec tan tan sec sec tan 2222

(二) 倒数代换

一般令t

x 1

=.适用于1>-q p 的情形，其中q p ,分别为被积函数的分母和分子关于x 的最高次数。

例：(1) ?-=24x

x dx

I ; (2)?+=)1(24x x dx I ; (3)?-+-=1002)2(3

2x x x I . 解：(1)令t

x 1=，得

???

--=--=-

)2()2(211)2()1(142222

t t d t dt dt t t t I c x x c t t +-+

-=+-+-=14

2ln 211)2(2ln 212

2. (2)令t

x 1=，得

dt t t dt t t dt t t

t I ???++--=+-=-+=)11

1(1)1(11222422

c x x x

c t t t +-+-=++--=1arctan 131)arctan 31(3

3. (3)令t

x 12=-，得

dt t t t dt t

t t t I ??++-=-++-+=)32()1

](3)12(2)12[(98969722100

c x x x c t t t +---+-=+++-=98

9799999798)2(491

)2(971)2(331339749.

(三) 指数代换

当被积函数是由x a 所构成的代数式的积分时，一般采用指数代换即令x a t =来求解。

例：求下列积分

(1)?--=+4

3931x x x dx I (2)dx e e I x

x ?

+=2

解：(1)令t x =3，则3

ln ln t

x =

有， dt t t t

dt t t t dx I x x x )11

41(513ln 13ln 1434)3(3)3(322+--=??--=--=??? c c t t x x ++--=++--=|]13|ln |43|[ln 3

ln 1

5|]1|ln |4|[ln 3ln 15

; (2)令t e x =2

，则t x ln 2=，有

dt t t t dt t

t t I ??

++-=?+=)11

11(22122 c e x e c t t t

+++--=+++--=--)1ln(22)]1ln(ln 1[222

(四) 不定积分?dx y f )(的计算，其中y 是由方程),(y x F =0所确定的x 的函数。

解题方法：

①将方程0),(=y x F ，代为参数方程??

?ψ==)

()

(t y t x ?

②将参数方程代入?=dx y f I )(，即dt t t f dx y f I )())(()(?'?ψ==??. ③变量还原将积分结果化为y x ,的关系式. 例：求下列积分 (1)设x y x y =-2)(，求?

-dx y x 31

，(2)设33)(x y x y =+，求?3y

dx . 解(1)令t y x =-，则t x y -=代入x y x y =-2)(，得

dt t t t dx t t

y t t x 2

222223)

1()3(,1,1--=-=-= 于是：dt t t

dt t t t t t t t dx y x ???-=--?--

-=-1

)1()3(1

3113122222223 c y x c t +--=+-=|1)(|ln 2

1|1|ln 21

22; (2)令tx y =，代入方程中，得333)(x tx x x t =+,则有

dt t t t dx t t y t t x 2

423)

1(3

4,)1(1,)1(1++-=+=+=

. 于是dt t t t dt t t t t t y dx ???++-=+++-=)473()

1()34()1(4

3224363 c x

y x y x y c t t t +++-=+++-=)5447()5447(55

4433543

三定积分运算中常用的变量替换

(一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法，解题方法：

①作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式)(u f ，其中u 为中间变量，此时积分变为变上限(下限)积分；

②利用变上限(下限)积分的微分法求解。

例1：设)(x f 为(-∞，+∞)上的连续函数，且,cos )()(tdt t x f x g b

a ?+=求

)('x g .

解：令t x u +=则

+++++=-=x b x

a x

b x

a du x u x u u f du x u u f x g )sin sin cos )(cos ()cos()()(

??+++++=x

b x a x

b x a udu u f x udu u f x sin )(sin cos )(cos ,

而?++++-+++-=x

b x a x a x a f x b x b f x udu u f x x g )]cos()()cos()([cos cos )(sin )('

?++++-++++x

b x a x a x a f x b x b f x udu u f x )]sin()()sin()([sin sin )(cos

x a f b x b f tdt t x f a

x a f b x b f du x u u f a

x a f b x b f du x u x u u f b

a x

b x a x b x a cos )(cos )(sin )(cos )(cos )()sin()(cos )(cos )()sin cos cos )(sin (+-+++=+-++-=+-++-=???++++

例2：求下列函数的导数

(1)?--=1

0)()(2

dt te f e x F x x ，求)('x F ，(2)dt t x xf x F x

?-=sin 0)()(，求)('x F ，解：(1)令?-=1

0)()(2dt te f x f x ，令2

x te u -=有

?--?

01)()(x

e x du e

u f x f ，则

??-==--2

)()()(x

e x x du u

f dt te

f e

x F .

于是)(2)2()('))(()(22222

0x x x x x e e f xe x e e f du u f dx

x dF x -----=-??==?-. (2)??-=-=x x

dt t x f x dt t x xf x F sin 0sin 0

,)()()(令t x u -=，则

???--=-=-x

x x

x x du u f du u f dt t x f sin 0

sin sin ,)())(()(则?-=x

x x du u f x x F sin )()(

于是??---?--+==x

x x x x

x x x x x f x f x du u f du u f x x F sin sin )]cos 1()sin ()([)()')(()('

?-+---=x

x x du u f x x f x x x xf sin )()sin ()cos 1()(. (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算

解题方法：

①作变量替换，使被积函数或其主要部分为简单形式)(u f ，其中u 为中间变量

②然后再积分或作判断

例1：设)(x f 连续，证明???++=+'

00)(ln )

()1(ln )(ln dt t f dt t f t f dt t x f x

证明：

???

?++++==++1

0'0

)()(ln )(ln )(ln )(ln x x

x du u f du u f du u f du u f u

t x dt

t x f 令

???++++-=x

x dt t f dt t f dt t f 0'

1)1(ln )(ln )(ln ①

??++=++=110

)1(ln )1(ln 1)(ln x x x

dt t f du u f u t dt t f , ②

将②式代入①式，得

??+++-=+'0

)1(ln )(ln )(ln )(ln x

dt t f dt t f dt t f dt t x f

??++='

00)(ln )

()

1(ln

dt t f dt t f t f x

即证。

例2：设?????<+≥=-0

,10

,)(2

x x x e x f x 求?-20)1(dx x f . 解：?????----++==-=-1

021

0)1()()(1)1(dx e dx x dx x f du u f x u dx x f x

e e e

x x x

137)1(3

40110)31(13-=--=--+=--. (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。

解题分法：若积分限为

①[]π2,0时,则令x +=πμ②],0[π时，则令x u -=π

③?

????2,0π时，则令x -=2πμ④]4,0[π时，则令x u -=4

π 例1：求下列积分 (1)?

+-=4

sin 12sin 1π

dx x x I (2)?+-=20cos sin 1sin cos π

dx x

x x

x I

解：(1)令x u -=

则

????-=-=-==+-=-?-+--=04

4022404041|)(tan cos cos 1cos 2sin 22cos 12cos 1)()4

(2sin 1)4(2sin 1πππ

ππ

πππ

x x dx x x dx

x x du u u du u u I (2) 令x u -=

，得

???-=+--=+-=-?--+---=202002

cos sin 1sin cos cos sin 1cos sin )()

cos()2sin(1)2sin()2cos(π

πππππ

πI

dx x x x x du u u u u du u u u u I 故0=I ，即?=+-2

00cos sin 1sin cos π

dx x

x x

例2．证明：??-=2020sin 2cos sin π

xdx xdx x n n

，n 为正整数。证明：???-----=

=2022

20)2(cos 2222sin 2cos sin ππ

ππ

du u x u xdx

xdx x n n n

令 ???-------==?=222002

))(2(cos 22cos 2cos 212πππ

ππ

dt t u t udu udu n n n n n n

--==20

sin 2

xdx tdt n n

n n

(四) 定积分等式的证明中所作的变量替换。

解题方法：任何变量替换，主要是通过考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定。例如一端的被积函数或其主要部分为)(x f ，

另一端为[])(u f φ，则令)(u x φ=。若一端为)(x f ，另一端为)(u f 则所作的变换通过分析等式两端的积分上、下限去确定。[1]

例1．证明??=-x

t x t xt dt e e dt e 004

222

分析：???---==x

u x x

t x t xt du e

dt e dt e 00

422222

比较2

t xt e -与4

2u x e -，可知，应令)(4

1222u x t xt -=-，则0)(4422=-+-u x xt t ，

进而2u x t +=

或2

x t -= 证明：??

?-------=-

u x x

x u x u x x x

t xt du e du e

u x t dt

e 4

()2(

)2(2

令

dt e e

dt e

t x

x t x ??-

-==04

4222

例2．设)(x f 连续，试证??++-+=++--4

42)

3()9()

3()3()9()9(dx x f x f x f dx x f x f x f ；

并求?++--4

)

3()9()

9(dx x f x f x f 的值。

分析：du u f u f u f dx x f x f x f ??++-+=++--424

)

3()9()

3()3()9()9(

比较两边的被积函数

)

3()9()

3(,)3()9()9(u f u f u f x f x f x f ++-+++--,可知只要

u x +=-39，即x u -=6命题即可得证。

证明：

dx x f x f x f du u f u f u f x u dx x f x f x f ???-+++=--+++-=++--2

442

)

9()3()3()()9()3()3(6)3()9()9(令利用上式可得

])

3()9()

3()3()9()9([21)3()9()9(42424

???++-++++--=++--dx x f x f x f dx x f x f x f dx x f x f x f

?=?=?=

42122

121dx .

四解微分方程中变量替换的应用技巧

(一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用

解题方法：方程中出现)(),(),(),(22x

f y x f y x f xy f ±±等形式的项时，通常要使用相应的变量替换：...,,,22x

y y x y x xy u ±±=等。[3]

例1：求解下列微分方程

(1)x

xy y x y -=)sin(1'2 (2)x y y x y y 2tan 212'+= (3)0]1)[ln('=--xy y xy (4)2

22)(

21'x

y x x yy +=+ 解：(1)令dx

x y dx du xy u +==,

，代入方程得 u

u dx du sin 1

，即,sin dx udu u =则c x u u u +=+-sin cos 故原方程的通解为：c x xy xy xy +=-)cos()sin(,

(2)令dx

x u dx dy y ux y x y u +===2,,22，代入方程，得

u u dx du x

u tan +=+，即x

udu =

cot ，则,ln ln sin ln c x u += 即cx u =sin

故原方程的通解：cx x

y =2

sin ,

(3)令dx

x y dx du xy u +==,

，代入方程，得 0ln =+--y u y y dx du ，即u x u dx du ln =，亦即x

dx u u du =ln ，进而,ln ln ln ln c x u +=则cx u =ln ，即cx e u = 故原方程的通解：cx e xy =,

(4)令dx dy y x dx du y x u 22,

22+=+=，代入原方程，得2)(x

dx du = 即22x

dx u du =，解得c x u +-=-11，即c x u ~11+=.

故原方程的通解：

c x y

x ~

112

2+=+. (二) 求解齐次方程)('x

y y ?=中变量替换的应用解题方法：令'',,xu u y ux y u x

y +===代入原方程，得

)('u x u u ?=+，则c x u

u du

+=-?

ln )(?

例：求解下列微分方程

(1)x x

y y xy =-arctan )'(； (2)22'y x y xy -+=. 解：(1)由原方程得x

y arctg

y y 1'=

令'',,xu u y ux y x

y u +===，代入方程，得

u xu u arctan 1

-+ 所以x dx udu =arctan ，即??=x dx

u arctan ，

解得：c x u u u ln ln )1ln(2

arctan 2+=+-

即u u e u cx arctan 21=+，因此x

y x y e c y x arctan ~

22=+

(2)2)(1'x

x y y -+=

，令'',,xu u y ux y x y u +===代入原方程，得

21'u u xu u -+=+，所以

u du =-2

1，解得c x u +=ln arcsin ，即c x x

y +=ln arcsin (三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用例：求解下列方程 (1)y y

y tan cos '-=

， (2)02')1(322=+-xy y y x

解：(1)由,cos sin cos 'y

y x y -=

知y x y y sin 'cos -=?，即y x y sin )'(sin -=，令u y =sin ，则原方程变为 x u u +-=' ①

特征方程：01=+λ 即1-=λ，特解1)1(1

*-=-=+=

x x D x D u 于是方程①的通解为：1-+=-x ce u x ，故原方程的通解为1sin -+=-x ce y x

(2)令2)(x y u =，于是x y y u 2')('=?，原方程变为

21)(y y x y y u ?-

=- 即32)('1)(y y u y y u -=-，则31

)(1)('y

y u y

y u =

+ ② 则方程②的齐次方程：0)(1)('=+y u y

y u .则

y dy u du -=，解得c y u ln ln ln +-=，即y

c u =. 令方程②的解为y

y c u )

，将其代入②，并整理得 231)('1)('y

y c y y y c =?=解得c y y c ~

1)(+-= 故方程②的通解为：y c y y c y u ~11)~1(2+-=+-=

故原方程的通解为：1~22-=y c

y x . 五重积分中变量替换的应用

(一) 二重积分计算中的变量替换

设被积函数),(y x f 在区域D 上连续，若变换),(),,(v u y y v u x x ==，满足

如下条件

(1)将uov 平面上的区域*D 上的点一对一地变为D 上的点； (2)),(),,(v u y v u x 在*D 上有连续的一阶编导数，且雅可比行列式

0,,

),(),(≠????????=??=v

u y v x u x v u y x J 则dudv J v u y v u x f dxdy y x f D

D ||)],(),,([),(*

????=

同样，作什么变换主要取决于积分域D 的形状，有时也兼顾被积函数),(y x f 的形状，基本想法是定限简便，求积容易。

例1：计算dxdy xy I D

??=，其中D 是由曲线6)32(4xy

=+在第一象限中

所围成的区域。[4]

解：6

(4xy

y x

+是一个四次方程，要解出x (或y )相当难。因此不宜在直角坐标系中计算。为此，令θρθρ22sin 3,cos 2==y x 则曲线方程变为

θθρρ2224cos sin =，即θθρ222cos sin =，又因所研究的是曲线在第一象限中

围成的区域，于是2

0π

θ≤

≤

因而,cos sin θθρ=令0=ρ，得0=θ，2

θ=

θθρθ

θρθ

θθρθθρcos sin 12cos sin 6sin 3sin cos 4cos 2),(),(22=-=

??=y x J

故15

6cos sin 612||cos sin 6220cos sin 0

222

==????ρθρθθθρθθρπ

θd d d d J I Dx

例2：设)(t f 为连续函数，证明：dt t a t f dxdy y x f a

a D

|)|()()(-=-???-. 其中D 为矩形域，2

||,2

||a y a x ≤≤(常数0>a )如图(1)，证明：令y x v y x u +=-=,，则

a v u a a v u a D D x ≤-≤-≤+≤-?,:如图(2)

)

,(),(1),(),(=??=??=

y x v u v u y x J

故：dudv u f dxdy y x f x

D D

????=-2

1)()(

??????---+---++=+=

000)()()()(21)(21a a

a u

a a u u a a u a du

u f du u f u a dv u f dv du u f

du u f u a du u f u a a

a )(|)|()(|)|(00??-+-=- dt t a t f a

a |)|()(-=?-. (二) 利用直角坐标系计算

例1，???Ω

-=dxdydz x y I 21，其中Ω为1,1,12222==+---=y z x z x y 之间。

解：如图

??????---

Ω-=-Dxz

dy x y dxdz dxdydz x y 1122

11???------

--=22

2111

1x x z x ydy dz dx x

dz Z x dx x x x 2

2111

+-=??---

- x

(1)

(2)

高等数学等价替换公式泰勒公式资料讲解

应用高等数学等价替换公式 1、无穷小量：设0）x （g lim ）x （f lim 0 x x x x ==→→ *1）若0） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的高阶无穷小 *2）若∞=→） x （g ） x （f lim x x ，f （x ）是g （x ）的低阶无穷小 *3）若c ） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的同阶无穷小 *4）若1） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的等价无穷小 *5）若0） x （g ） x （f lim k x x 0 =→，f （x ）是g （x ）的 k 阶无穷小 2、等价替换：若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ）则=→）x （g ） x （f lim x x ） x （g ）x （f lim 11x x 0→ 6、常用等价形式：当f （x ）→0时 *1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ）

*4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）e f （x ）-1~ f （x ） *7）1-cosf （x ）~ 2 ） x （f 2 *8）（1+f （x ））α -1~ αf （x ）二、函数的连续： 1、间断点： *1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均存在的间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0） *2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个不存在的间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个振荡不存在三、导数： 1、定义：）x （f '= x △） x （f -）x △x （f lim 000 x △+→ 2、导数的常见形式： *1） 0 0x x 0x -x ） x （f -）x （f lim ）x （f 0 →=' *2） h ） x （f -）h x （f lim ）x （f 000 h +='→

高等数学常用公式大全

高数常用公式平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -

(完整word)高等数学等价替换公式

无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大 1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

大一高数公式

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高等数学积分公式大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+

14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++

三角函数极限等价无穷小公式

三角函数公式整合：两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB- cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB- cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα

大学高等数学等价无穷小教学总结

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。

高数知识点公式大全

高等数学公式平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

大学高数常用公式大全

高等数学公式导数公式：基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

高等数学一常用公式表

常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系：（1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式：（1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式：（1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式：（1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = +

高等数学等价无穷小替换_极限的计算

讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大 1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时，、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim () ()(),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α ).()(x A x f α+=∴

高等数学积分公式大全

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++

9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +

小学到大学所有数学公式

小学到大学所有数学公式.txt真正的好朋友并不是在一起有说不完的话题，而是在一起就算不说话也不会觉得尴尬。你在看别人的同时，你也是别人眼中的风景。要走好明天的路，必须记住昨天走过的路，思索今天正在走着的路。1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形

考研数学等价无穷小代换

考研数学等价无穷小代换更多技巧尽在考研数学（https://www.360docs.net/doc/d63235787.html,/u/2461250915）每周至少更新两次众所周知，考研数学里面一部分题目需要求极限，大多数同学处理这类问题的方法是洛必达法则，但是，运用洛必达法则运算量大，运算步骤繁琐，因而也就容易出错，稍有不慎，则会算错，尤其对于选择填空题，一旦算错，一分也没有，而且，洛必达法则需要的时间也较多，如果一味的使用洛必达法则，则有可能浪费大量的时间，得不偿失。这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧，基本上可以涵盖所有的求极限题目，因为，我们所学的初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0 常见代换：x~sin x~tan x~arctan x~arcsin x 幂函数代换：(1+x)λ~λx+1 λ可以取整数也可以取分数指数函数代换：e x ~x + 1 a x ~ lna·x + 1 对数代换：ln(1+x) ~ x log a(1+x) ~ x/lna 差代换：1.二次的：1－cos x ~ x2/2 x－ln(1+x) ~ x2/2 2三次的：(1)三角的：x －sin x ~ x3/6 tan x －x ~ x3/3 tan x －sin x ~ x3/2 (2)反三角的：arcsin x －x ~ x3/6 x －arctan x ~ x3/3 arcsin x －arctan x ~x3/2 下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用例如：求：当x→0时，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。当求这个极限的值的时候，如果用洛必达法则，计算量则会很大，这里不再赘述运用洛必达法则如何求解，只介绍如何使用上述技巧。 lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2 大家可以自己做一下洛必达法则的方法，对比一下两者之间的差别。需要注意的是，等价无穷小的运用往往不止一次，只要发现运用洛必达法则运算困难，则可以尝试等价无穷小代换。

高等数学常用积分公式查询表

导数公式：基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='

31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32．＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C

高等数学等价无穷小替换

无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大 1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

高等数学等价替换公式

根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小代换。∵x～sinx～tanx(x →0) ∴原式=limx→0+xx=1而得解。

大学高数公式大全

高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x)，= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx)，= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C

三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u

高数公式大全

高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式： sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1 cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ αβ αβαβαβαββα αβαβαβαβαβαβ ±=±±=±±= ??±= ±±=±±=±m m m 和差角公式： sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()]21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 2222222 222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα αααααααα ==-=-=-= --= ==+= =-=+ 倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1 sin 2 cos 2 1cos sin tan 2 sin 1cos 1cos sin cot 2 sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα ααααα αα +=+=+=-===-===++=== -半角公式：