高中物理(沪科版)必修一学案：第4章 学案4 共点力的平衡及其应用(两篇)

学案4共点力的平衡及其应用

[学习目标定位] 1.理解共点力作用下物体平衡状态的概念，能推导出共点力作用下物体的平衡条件.2.会用共点力平衡条件解决有关共点力的平衡问题.3.掌握解决共点力平衡的几种常用方法．

一、平衡状态

如果物体保持静止或匀速直线运动状态，就说物体处于平衡状态．

二、平衡状态的条件

1．受二力作用的物体处于平衡状态，物体所受合力为零，即F合＝0.

2．物体受三个共点力平衡时，其中两个力F1、F2的合力F′与第三个力F3等大反向，则F′与F3的合力也为零，即三个力F1、F2、F3的合力为零．

3．物体在多个共点力作用下平衡时，合力总等于零.

一、生活离不开平衡

[问题设计]

桌子上放着的杯子、天花板上吊着的吊灯、在平直铁轨上匀速行驶的火车中的乘客等都处于平衡状态，你能总结“平衡状态”的含义吗？

答案如果物体保持静止或匀速直线运动状态，就说物体处于平衡状态．这里包括速度恒为零的静止状态，它是一种静态的平衡；也包括运动的平衡，即速度不为零，但大小、方向都不变的匀速直线运动状态．

[要点提炼]

1．平衡状态：(1)保持静止状态；(2)保持匀速直线运动状态．

2．对平衡状态的理解

(1)共点力作用下物体处于平衡状态的运动学特征：加速度为零．

(2)“保持”某状态与“瞬时”某状态的区别，例如：做自由落体运动的物体开始运动时，这一瞬间的速度为零，但这一状态不能“保持”，因而不属于平衡状态．

二、从二力平衡到共点力平衡

[问题设计]

二至三人合作，用三个测力计拉住小环O，使小环保持静止，如图1所示，记下三个测力计的拉力的方向及大小，用力的图示法在纸上表示出各个力，请先研究其中某两个力的合力跟第三个力的关系，然后找出三个共点力平衡时满足的条件．

图1

答案 用平行四边形定则作出F 1、F 2的合力F ，如图所示，F 3与F 等大反向．

同理可发现：F 2与F 3的合力与F 1等大反向，F 1与F 3的合力也与F 2等大反向． 所以一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的合力为零． [要点提炼]

1．平衡条件：(1)F 合＝0(或加速度a ＝0) (2)?????

F x 合＝0F y 合＝0

2．平衡条件的四个常用结论

(1)二力作用平衡时，二力等大、反向．

(2)三力作用平衡时，任意两个力的合力与第三个力等大、反向． (3)多力作用平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向． (4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零． [延伸思考]

物体速度为0时，一定处于静止状态吗？

答案 不一定．静止状态是v ＝0，F 合＝0，两者应同时成立．若v ＝0，F 合≠0，处于非平衡状态，不是静止状态．

一、对平衡状态的理解

例1 物体在共点力作用下，下列说法中正确的是( ) A ．物体的速度在某一时刻等于零，物体就一定处于平衡状态 B ．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态 C ．物体所受合力为零，就一定处于平衡状态

D ．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态

解析 处于平衡状态的物体，从运动形式上看是始终处于静止或匀速直线运动状态，从受力上来看是物体所受合力为零． 答案 C

二、共点力平衡条件的简单应用

例2 如图2所示，某个物体在F 1、F 2、F 3、F 4四个力的作用下处于静止状态，若F 4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为( )

图2

A.F 42

B.3F 42 C ．F 4 D.3F 4

解析 由共点力的平衡条件可知，F 1、F 2、F 3的合力应与F 4等大反向，当F 4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变时，F 1、F 2、F 3的合力的大小仍为F 4，但方向与F 4成120°角，由平行四边形定则可得，此时物体所受的合力大小为F 4，所以本题正确的选项应为C. 答案 C

三、利用正交分解法求解共点力的平衡问题

例3 拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图3所示)．设拖把头的质量为m ，拖杆质量可忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g .某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小．

图3

解析 设该同学沿拖杆方向用大小为F 的力推拖把．将拖把受到的力沿竖直和水平方向分解，根据平衡条件有

F cos θ＋mg ＝N F sin θ＝f

式中N 和f 分别为地板对拖把的支持力和摩擦力，又因为 f ＝μN

联立以上三式得

F ＝μmg

sin θ－μcos θ

答案 μmg

sin θ－μcos θ

针对训练 如图4所示，重为500 N 的人用跨过定滑轮的轻绳牵引重200 N 的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止．不计滑轮与绳的摩擦．求地面对人的支持力和摩擦力．

图4

解析 人和物体静止，所受合力皆为零，对物体进行受力分析可得，绳的拉力F ′等于物重200 N ；人受绳的拉力F 大小与F ′相同，则F ＝F ′＝200 N.

如图所示，以人为研究对象，将绳的拉力分解得 水平分力F x ＝F cos 60°

＝200×1

2 N ＝100 N

竖直分力F y ＝F sin 60°

＝200×3

2 N ＝100

3 N

在x 轴上，f 与F x 二力平衡， 所以静摩擦力f ＝F x ＝100 N ，

在y 轴上，三力平衡得地面对人的支持力 N ＝G －F y ＝(500－1003) N ＝100(5－3) N. 答案 100(5－3) N 100 N

共点力作用下物体的平衡

??

?

?

?

??平衡状态

?

?

?静止或做匀速直线运动

特点：

??

?

??v不变(v＝0或v＝常数)

a＝0

平衡条件

??

?

??

F合＝0

正交分解法

?

?

?

??F x合＝0

F y合＝0

其它推论

1．(对平衡状态的理解)下列物体中处于平衡状态的是()

A．静止在粗糙斜面上的物体

B．沿光滑斜面下滑的物体

C．在平直路面上匀速行驶的汽车

D．做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间

答案AC

解析在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动状态，加速度为零；从受力情况来说，合力为零．物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果物体所受的合力不为零，它的运动状态就要发生变化，在下一个瞬间就不是静止的了，所以物体是否处于平衡状态要由物体所受的合力和加速度判断，而不能认为物体某一时刻速度为零，就是处于平衡状态，本题的正确选项应为A、C.

2．(共点力平衡条件的简单应用)人站在自动扶梯上随扶梯匀速上升，如图5所示，下列说法正确的是()

图5

A．人所受合力方向同图中速度的方向

B．人在水平方向受到向右的摩擦力的作用

C．人只在竖直方向受力且合力为零

D．人在竖直方向所受合力不为零

答案 C

3．(利用正交分解法处理共点力的平衡问题)如图6所示，质量为m的物体在恒力F作用下沿

水平地面做匀速直线运动，物体与地面间的动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力的大小为()

图6

A．F sin θB．F cos θ

C．μ(F sin θ＋mg) D．μ(mg－F sin θ)

答案BC

解析先对物体进行受力分析，如图所示，然后把力F进行正交分解，F产生两个效果：使物体水平向前F1＝F cos θ，同时使物体压紧水平地面F2＝F sin θ.由力的平衡可得F1＝f，F2＋G＝N，又滑动摩擦力f＝μN，则f＝F cos θ＝μ(F sin θ＋mg)，故选B、C.

4．(利用正交分解法处理共点力的平衡问题)物体A在水平力F1＝400 N的作用下，沿倾角θ＝60°的斜面匀速下滑(如图7所示)．物体A受到的重力mg＝400 N，求物体A与斜面间的动摩擦因数μ.

图7

解析取物体A为研究对象，它在四个力的作用下处于平衡状态，根据受力情况，建立直角坐标系如图所示．

根据平衡条件可得：

f＋F1cos θ－mg sin θ＝0，

N－F1sin θ－mg cos θ＝0.

又f＝μN，

联立以上各式，代入数据解得：

μ≈0.27.

答案0.27

题组一对平衡状态和共点力平衡条件的理解

1．关于物体的平衡，下列说法正确的是()

A．如果物体所受合力等于零，则一定处于静止状态

B．如果物体所受合力等于零，则一定处于匀速直线运动状态

C．只要物体速度等于零，物体就处于平衡状态

D．如果物体受到共点力作用而处于平衡状态，则合力一定为零

答案 D

解析物体所受合力等于零，则物体处于静止状态或匀速直线运动状态，因此，A、B均错；物体速度为零时，合力可能不为零，如竖直上抛物体到达最高点的瞬间，故C错．

2．一个物体在三个力的作用下处于平衡状态，则()

A．三个力的合力可能不为零

B．三个力的合力一定为零

C．三个力一定是共点力

D．三个力可以不是共点力

答案BC

3．某物体受四个力的作用而处于静止状态，保持其他三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力的方向转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为多少的力()

A．F B.2F C．2F D．3F

答案 B

题组二共点力平衡条件的简单应用

4．如图1所示，一重为10 N的球固定在支杆AB的上端，今用一段绳子水平拉球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为7.5 N，则AB杆对球的作用力()

图1

A．大小为7.5 N

B．大小为10 N

C．方向与水平方向成53°角斜向右下方

D．方向与水平方向成53°角斜向左上方答案 D

解析小球受力如图所示，则F2sin α＝G，F2cos α＝F1，tan α＝G

F1＝4

3，α＝53°，F2＝

G

sin α＝

10

0.8N＝12.5 N.

5．如图2所示，物体M放在水平面上受到两个水平力的作用，F1＝4 N，F2＝8 N，物体处于静止状态．如果将水平力F1增加5 N，则()

图2

A．物体M仍处于静止

B．物体M受到的合力方向向左

C．物体M受到的合力方向向右

D．物体M受到的摩擦力等于5 N

答案 A

解析据题意可知，当F1＝4 N，F2＝8 N时，物体处于静止状态，即物体所受最大静摩擦力的最小值应为F2－F1＝(8－4) N＝4 N．如果将F1增加5 N，则F1′＝(4＋5) N＝9 N．显然F1′－F2＝(9－8) N＝1 N，小于最大静摩擦力，故物体仍处于静止状态，所受静摩擦力为1 N，方向与F1′的方向相反，物体所受合力为零，故A选项正确．

6．如图3所示，物体M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向()

图3

A．竖直向下B．竖直向上

C．斜向下偏左D．斜向下偏右

答案 A

解析物体M受四个力作用(如图所示)，

支持力N和重力G的合力一定在竖直方向上，由平衡条件知，摩擦力f和推力F的合力与支

持力N和重力G的合力必定等大反向，故f与F的合力方向竖直向下．

题组三利用正交分解法处理共点力的平衡问题

7.如图4所示，一物体放在水平地面上，对物体施加一个倾角为θ的斜向右上方的力F，当这个力从零开始逐渐增大时，物体受到的摩擦力将()

图4

A．逐渐增大B．逐渐减小

C．先逐渐增大，后又减小D．先逐渐减小，后又增大

答案 C

解析

对物体进行受力分析，如图所示，将F进行正交分解，可得F1＝F cos θ，F2＝F sin θ.在F较小时，物体不运动，摩擦力f是静摩擦力，其大小应为f＝F1＝F cos θ.所以F增大时，f也增大．在F较大时，物体发生了运动，静摩擦力变为滑动摩擦力，其大小应为f′＝μN，又由竖直方向受力平衡，有N＋F2＝G，所以N＝G－F2＝G－F sin θ.滑动摩擦力的大小f′＝μ(G －F sin θ)，所以当F增大时，f′减小．

8.小船用绳索拉向岸边，如图5所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是()

图5

A．绳子的拉力T不断增大

B．绳子的拉力T不变

C．船的浮力减小

D．船的浮力增大

答案AC

解析如图所示，小船受四个力的作用而匀速前进，水平方向：f＝T cos θ，

竖直方向：T sin θ＋F浮＝mg

当θ角增大时，由于f 不变，则拉力T 增大，浮力F 浮减小．

9.如图6所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，质量为m 的物体受外力F 1和F 2的作用，F 1方向水平向右，F 2的方向竖直向上．若物体静止在斜面上，则下列关系正确的是( )

图6

A ．F 1sin θ＋F 2cos θ＝mg sin θ，F 2≤mg

B ．F 1cos θ＋F 2sin θ＝mg sin θ，F 2≤mg

C ．F 1sin θ－F 2cos θ＝mg sin θ，F 2≤mg

D ．F 1cos θ－F 2sin θ＝mg sin θ，F 2≤mg 答案 B

解析 物体静止在斜面上应有F 2≤mg ，受力如图所示，x 方向：F 2sin θ＋F 1cos θ＝mg sin θ，故B 对，D 错．y 方向：F 2cos θ＋N ＝F 1sin θ＋mg cos θ，因N ≥0，则F 2cos θ≤F 1sin θ＋mg cos θ，故A 、C 都错． 题组四 综合应用

10．用轻弹簧竖直悬挂质量为m 的物体，静止时弹簧伸长量为L .现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m 的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L .斜面倾角为30°，如图7所示．则物体所受摩擦力( )

图7

A ．等于零

B ．大小为1

2mg ，方向沿斜面向下

C ．大小为3

2mg ，方向沿斜面向上

D ．大小为mg ，方向沿斜面向上 答案 A

解析 设弹簧的劲度系数为k ，竖直悬挂时 kL ＝mg ，①

将物体放在斜面上时，设摩擦力为f ，根据物体的平衡条件得

kL ＋f ＝2mg sin 30°＝mg .②

由①②两式得：f ＝0，选项A 正确．

11．如图8所示，物体的质量m ＝4.4 kg ，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g ＝10 N/kg ，求推力F 的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图8

答案 88 N 或40 N

解析 若物体向上做匀速直线运动，则受力如图甲所示． F cos θ＝mg ＋f F sin θ＝N f ＝μN

故推力F ＝mg cos θ－μsin θ＝ 4.4×100.8－0.5×0.6

N ＝88 N

若物体向下做匀速直线运动，受力如图乙所示． F cos θ＋f ＝mg F sin θ＝N f ＝μN

故推力F ＝mg

cos θ＋μsin θ＝ 4.4×100.8＋0.5×0.6

N ＝40 N

12．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和物体B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上(如图9所示)．已知物体A 的质量为m ，物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ(μ

图9

答案 m (sin θ－μcos θ)≤m B ≤m (sin θ＋μcos θ)

解析先选物体B为研究对象，它受到重力m B g和拉力T的作用，根据平衡条件有T＝m B g①再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和静摩擦力f作用．假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的向下的静摩擦力最大，设最大静摩擦力为f max，这时A的受力情况如图所示，根据平衡条件有

N－mg cos θ＝0②

T－f max－mg sin θ＝0③

由摩擦力公式知f max＝μN④

①②③④四式联立，解得m B＝m(sin θ＋μcos θ)

再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的向上的静摩擦力最大，根据平衡条件有

N－mg cos θ＝0⑤

T＋f max′－mg sin θ＝0⑥

由摩擦力公式知f max′＝μN⑦

①⑤⑥⑦四式联立，解得m B＝m(sin θ－μcos θ)

综上所述，物体B的质量的取值范围是

m(sin θ－μcos θ)≤m B≤m(sin θ＋μcos θ)

学案5习题课：共点力平衡条件的应用

[学习目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题．

1．共点力作用的平衡状态：物体在共点力作用下，保持静止或匀速直线运动状态．

2．共点力作用下的平衡条件是合力为零，即F合＝0，用正交分解法表示的平衡条件：F x合＝0，F y合＝0.

3．平衡条件的四个常用推论：

(1)二力平衡时，二力等大、反向．

(2)三力平衡时，任意两力的合力与第三个力等大、反向．

(3)多力平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向．

(4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零.

一、矢量三角形法(合成法)求解共点力平衡问题

物体受多力作用处于平衡状态时，可用正交分解法求解，但当物体受三个力作用而平衡时，可用矢量三角形法，即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形，通过解三角形求解相应力的大小和方向，当这个三个力组成含有特殊角(60°、53°、45°)的直角三角形时尤为简单．

例1在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解)

图1

答案F＝mg tan θ

解析

甲

取金属球为研究对象，有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T，如图甲所示．这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解．

解法一矢量三角形法

如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：F＝mg tan θ.

解法二正交分解法

以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由水平方向的合力F x合和竖直方向的合力F y合分别等于零，即

F x合＝T sin θ－F＝0，F y合＝T cos θ－mg＝0，

解得F＝mg tan θ.由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．

针对训练如图2所示，一质量为1 kg、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝30°，物块BC边紧靠光滑竖直墙面，用一推力垂直作用在AB边上使物块处于静止状态，则推力F 及物块受墙的弹力为多少？(g＝10 m/s2)

图2

答案20 N10 3 N

解析物块受重力G，推力F和墙的弹力N作用，如图所示，由平衡条件知，F和N的合力与重力等大反向．

故有F ＝G

sin 30°＝1×10 N 1

2＝20 N

N ＝G tan 60°＝1×10× 3 N ＝10 3 N 二、动态平衡问题

所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法． 1．图解法

(1)特征：物体受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，大小、方向均不变化，另两个是变力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均变化的力．

(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．

2．相似三角形法

(1)特征：物体一般也受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，另两个是大小、方向都变化的力．

(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，找到题目情景中的结构三角形，这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似．利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况．

例2 如图3所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中( )

图3

A ．小球对薄板的压力增大

B ．小球对墙的压力减小

C ．小球对墙的压力先减小后增大

D ．小球对薄板的压力不可能小于球的重力

解析 根据小球重力的作用效果，可以将重力G 分解为使球压板的力F 1和

使球压墙的力F 2，作出平行四边形如图所示，当θ增大时，F 1、F 2均变小，而且在θ＝90°时，F 1有最小值，等于G ，所以B 、D 项均正确． 答案 BD

例3如图4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮．今缓慢拉绳使小球从A 点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是()

图4

A．N变大，F变大B．N变小，F变大

C．N不变，F变小D．N变大，F变小

解析小球受力如图甲所示，F、N、G构成一封闭三角形

由图乙可知F/AB＝N/OA＝G/OB

F＝G·AB/OB N＝G·OA/OB

AB变短，OB不变，OA不变，

故F变小，N不变．

答案 C

三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题

1．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．

2．整体法：当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．

注意隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快．

例4如图5所示，A、B两个物体的质量都是1 kg，现在它们在拉力F的作用下相对静止一起向右做匀速直线运动．已知A、B之间的动摩擦因数μAB＝0.1，B与地面间的动摩擦因数μB地＝0.2.g＝10 m/s2.则两个物体在匀速运动的过程中，

图5

(1)对A、B分别画出完整的受力分析．

(2)A、B之间的摩擦力大小为多少．

(3)拉力F的大小为多少．

解析(1)以A为研究对象，A受到重力、支持力作用；以B为研究对象，B受到重力、支持力、压力、拉力、地面对B的滑动摩擦力作用，如图所示．

(2)对A：由二力平衡可知A、B之间的摩擦力为0.

(3)以A、B整体为研究对象，

由于两物体一起做匀速直线运动，

所以受力如图．

水平方向上由二力平衡得拉力等于滑动摩擦力，

即F＝f＝μB地N B，

而N B＝G B＋G A，

所以F＝0.2×(1×10＋1×10) N＝4 N

答案(1)见解析图(2)0(3)4 N

1.矢量三角形法(合成法).

2.动态平衡问题：(1)图解法；(2)相似三角形法.

3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.

1．(矢量三角形法)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图6所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为()

图6

A.

3

2mg，

1

2mg B.

1

2mg，

3

2mg

C.

3

4mg，

1

2mg D.

1

2mg，

3

4mg

答案 A

解析

分析结点c的受力情况如图，设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得

F1＝F cos 30°＝

3

2mg

F2＝F sin 30°＝1

2mg

选项A正确．

2．(动态平衡问题)用细绳OA、OB悬挂一重物，OB水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A 和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图7所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况为()

图7

A．OA绳中的拉力逐渐减小

B．OA绳中的拉力逐渐增大

C．OB绳中的拉力逐渐减小

D．OB绳中的拉力先减小后增大

答案AD

解析如图所示，在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，

OA、OB中的拉力分别为T A1、T A2、T A3和T B1、T B2、T B3，从图中可以直观地看出，T A逐渐变小，且方向不变；而T B先变小后变大，且方向不断改变；当T B与T A垂直时，T B最小，然后T B又逐渐增大．故A、D正确．

3.(整体法与隔离法)如图8所示，吊车m和磅秤N共重500 N，物体G重300 N，当装置平衡时，磅秤的示数是()

图8

A．500 N B．400 N

C．300 N D．100 N

答案 D

解析先用整体法分析，所有物体总重为800 N，则与定滑轮相连的绳子的拉力都是400 N，所以下面两股绳子的拉力都是200 N，最后以G为研究对象可知磅秤对G的支持力为100 N，D正确．

4．(矢量三角形法)如图9所示，电灯的重力为20 N，绳AO与天花板间的夹角为45°，绳BO 水平，求绳AO、BO上的拉力的大小．(请分别用两种方法求解)

图9

答案20 2 N20 N

解析解法一矢量三角形法(力的合成法)

O点受三个力作用处于平衡状态，如图所示，

可得出F A与F B的合力F合方向竖直向上，大小等于F C.

由三角函数关系可得

F合＝F A sin 45°＝F C＝G灯

F B＝F A cos 45°

解得F A＝20 2 N，F B＝20 N

故绳AO、BO上的拉力分别为20 2 N、20 N.

解法二正交分解法

如图所示，将F A进行正交分解，根据物体的平衡条件知

F A sin 45°＝F C

F A cos 45°＝F B

后面的分析同解法一

题组一动态平衡问题

1.用轻绳把一个小球悬挂在O点，用力F拉小球使绳编离竖直方向30°，小球处于静止状态，力F与竖直方向成角θ，如图1所示，若要使拉力F取最小值，则角θ应为()

图1

A．30°B．60°C．90°D．45°

答案 B

解析选取小球为研究对象，小球受三个共点力作用：重力G、拉力F和轻绳拉力T，由于小球处于平衡状态，所以小球所受的合力为零，则T与F的合力与重力G等大反向．因为绳子方向不变，作图后不难发现，只有当F的方向与T的方向垂直时，表示力F的有向线段最短，即当F的方向与轻绳方向垂直时，F有最小值．故本题的正确选项是B.

2.一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2所示．现将细绳缓慢往左拉，使轻杆BO 与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及轻杆BO对绳的支持力N的大小变化情况是()