大一上学期微积分复习资料

10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导

第一章函数

'.本章重点

复合函数及分解，初等函数的概念。

.复习要求

1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。

2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。

3、牢记常函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中

⑴.对于对数函数y In x不仅要熟记它的运

算性质，还能熟练应用它与指数函数y e X

互为反函数的关系，能熟练将幕指函数作如下代数

运算：u v e vln u

⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟

习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它

们在特殊点的函数值?

4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。

5、知道分段函数，隐函数的概念。

?三?例题选解

例1?试分析下列函数为哪几个简单函数(基本初

等函或基本初等函数的线性函数)复合而成的？

sin2X

⑴? y e ⑵.y arcta n u, u , v x2 1.

v

例2. y arc cot x的定义域、值域各是什

么？ar@ot1 =?

答：

y arccotx 是y cot x, x (0, )

的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知y arc cotx的定义域是

D f (, )，值域为Z f (0,).

arc cot1

4

四.练习题及参考答案

1. f (x) arctan x

则f(x)定义域为_____________ ，值域为 _________

f(1) = ________ ；f (0) ___________ .

2. f (x) arcsin x

1

arcta n( 2)

1 x

分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)。

解：

⑴. y e U, u v 2 , v sin x

3.分解下列函数为简单函数的复合:

e 3x

3

⑵.y ln(x 1)

答案：

则f(x)定义域为

f(1) = _______

，值域为

1

2. 1,

1 ,

J J

2 2

2， 3

.3.⑴.y

u

e ,

u

3 x

⑵.y ln u, 3

u X 1. 自我复习： 习题一 .(A ) 55. ⑴、⑵、⑶; 习题一 .(B ) .11. 第

二

早 极限与连续

(i ). lim

1 x 0 x

(n ). lim(1

x

e l ［叫1

记住它们的形式、 形式(变形式).并能熟练应用其求极限, 重要极限 限

:

特点、 自变量的变化趋势及扩展

特别是应用 (n )的如下扩展形式求 1 型未定式极

一. 本章重点 极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数 的连续性。 二. 复习要求 1.了解变量极限的概念，掌握函数 f(x)在X 0点有 极限的充要条件是：函数在 X 0点的左右极限都存 在且相等。 2?理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无 穷小量的运算性质， 仍为无穷小。例如： lim x sin — x 0 x 3.会比较无穷小的阶。 特别是无穷小量乘以有界变量 lim Sin x

x

在求无穷小之比的极限时

利用等价无穷小代换可使运算简化， 常用的等价无

穷小代换有： 当(x) 0时，有： sin (x)? (x) ； tan (x)? (x)

e (x) 1 ?(x)； ln(1 (x))?(x); n

1 ~~(x) 1

(x) n 1 cos (x) 2

(x) 2

(参见教材P79)

4.掌握两个重要极限

lim(1

x

k 、x

e k

lim(1

x 0

1

kx 尸

lim(1

x

lim(1

x 0

5.掌握函数连续的概念， 其定义区间内都是连续的， 的不连续点只可能是分段点。 处连续的充要条是：函数在

f(x °)，即:

初等函数在 知道结论：

分段函数在定义区间内 函数 f(x)在分段点X 0 X 0点极限存在且等于

lim f (x) f(x 。)

x X Q

当分段函数在分段点 x 0的左右两边表达式不相同 时，函数f(x)在分段点x o 处连续的充要条件则是：

lim f (x) lim f (x) f (x 0).

x x o

X X o

6.掌握函数间断点及类型的判定。

函数的不连续点称为间断点，函数

f (X)在

X o 点间断，必至少有下列三种情况之一发生：

⑴、f (X)在X o 点无定义； ⑵、lim f (x)不存在；

X X o

⑶、存在 lim f (x)，但 lim f (x) f (x 0).

X X o

X X o

若x 0为f (x)的间断点，当lim f (x)及

X

x

o

lim f (x)都存在时，称x 0为f (x)的第一类间断

X X o

(1 X 3)

x X

1

x

点，特别 lim f (x) = lim f (x)时(即 lim f (x) XX 。 X X 0 x X 0

存在时)，称X 。为f(x)的可去间断点; tan x

…、

lim f (x) lim

1 lim f (x)

X 0

X 0

x

x 0

即D 也不对，剩下的 B 就是正确答案。 ⑵. 由于

lim f (x) lim f (x)时称 x 0为 f (x)的跳

x x 0 X X 0 跃间断点。 不是第一类间断点的都称为第二类间断点。 7. 了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数 的性质，特别要知道闭区间上的连续函数必有最大 值与最

小值。 8. 能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小 量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教 材P69公式(2.6)；两个重要极限；初等函数的连 续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。

2x 2

三.例题选解 例1?单项选择题 ⑴下列极限中正确的是( A.lim 沁 1 X x B. lim X

)

.1 si n

— x

1

C. . 2

sin x ’ 1 0 x D. lim tan X

x 0

x 0时, 一 1 2x 2 1 是 sin 2 x ( A.低阶无穷小； C. 同阶无穷小，但不是等价无穷小； D. 等价无穷小； 分析与解： ⑴.A 与C 显然都不对，对于 D, B.高阶无穷小; 记 f (X ) tan x

I

? tan X

则 f (x)

X tan x ?lim f (x) lim

x 0

x 0

tan x lim

x 0

<1 2x 2 1代换

sin 2 x

lim 2

X

0 X 2

lim 笃 1 X 0 X 2

应选择 例3?求极限: ⑴lim

x 0

⑵lim

X

解：⑴

D. 2

ln(1 x ) 1 COSX

此极限为-型

???当x 0时,

ln(

1

x 2)?(

)

，

COS X

2

ln(1 x ) COSX

2

X -2~ X 2

⑵此极限为

lim (X

X

lim(1

X

lim X

例2. 1型，可用重要极限

2 x 5)

=lim (1

X

lim

X

判断函数y

3

x 5)

lim 层 x x 5

x 2

9

的间断点，并

判断其类型。

解：由于y

2

x 9 (x 3)( x+3)

2 x x 6

(x 3)( x 2) /. x 3, x 2是函数 y 无疋义的点，因而疋 函数y 的间断点。 ???lim (x X 3 (x 3)( x 3)( x 3) 2) x 3 6 lim x 3 x 2 5 x 3为函数y 的可去间断点; ⑵.阿矜 ---------------------------------

⑶.00

x [cos(3x) 1]ta n§ (e 2x 1)ln(1 ~~5P]

2.单项选择题

..?lim (

x 3)(x 3) x 2(x 3)( x lim U

2) x 2 x 2 ⑴?设y

\

3)

宀

2)

，下面说法正确的是

x 2 5x 6

______ ; 2为函数 y 的第二类 (无穷型) 间

断。 函数 x cos

— 2_ 2 x k 在点x 0处连续，求常数 f (x)

A. 点x 3,x

2都是可去间断点；

B.

点x 占；

八、

2是跳跃间断

点， 占

八、x 3是无穷间断 C. 点x 占； 八、

2是可去间断

点， 占 八、x 3是无穷间断 D. ⑵. 点x 2是可去间断点，

占； 八、、\ 下面正确的是 占 八、、

x 3是跳跃间断

tan x

A. lim

x 0

B. lim x x 0 .1

sin

x 分析与解：由于分段函数 f (x)在分段点 左右两边表达式相同，

因此 f (x)在 x 0连续的 C. lim

x 0

tan x

不存在;

D. tan x

充要条件是 lim 0 f(x) f(0) k.

lim -----

x 0 x

叭 f(x) 1

lim x 0

x

co

辽代换

2

x

lim 8

2

x 0 x

2

3

答案：1.⑴.同阶而不等价的 ：⑵.e ；⑶.

.

20

2.⑴.C;⑵.B . 自我复习.习题二(A) 11. (4).24.

, (4), (7).

27.⑴.(4).28.⑴，⑵. 30.⑵.37 ?⑴,⑶. 习题二(B).14.

第三章导数与微分

四.练习题及参考答案

1填空 ⑴.当 x 0 时，(

e x

1)sin 2x 与 .本章重点.

导数的概念，导数及微分的计算

.复习要求

(、、1 x 1)ln(1 2x)相比，是 ___________________ 无穷小；

1.掌握函数

x 在X 。处可导的定义，并能熟练应

用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。 导数是一个逐点概念，

x 在x 0处的导数的定

义式常用的有如下种形式⑵本题为幕指函数求导，必须用取对数求导法

f(X。)lim

X f(x。X) f(x。) 厂

原方程两边取对数:

lim h 0f(X o h) f(X o)

ln y 、，3x ln x

上式两边对x求导，视y为中间变量：

X X

f (X o)

X o

y' 3

y

——=ln x

2、3x

2?知道导数的几何意义，会求X在X o处的切线

方程。

3?熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法，并能熟练应用它们求函数的导数：⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；⑵复合函数求导法；⑶隐函数求导法；⑷取对数求导法。

4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5?理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。

6?掌握函数可微，可导及连续的关系。

三?例题选解

y

3

x 3x

3x

、.3x

In x

1ln

2 ln x

2(T1)

注：本题除此方法外，也可以:

3x ln x

e

1

(2、3x 3^ 3x

例1?求下列函数的导数：

⑴.y2

f (1+ X )，求y ,y ?

⑵.y=x，求y ??

⑶.设y = e ，求dy

⑷?y ln(1 x3)，求y

解: ⑴、本题为抽象函数求导，

由复合函数求导法,

得:

⑶

.

tan x

e (tan x) tan x

e 2

sec x

???

dy

tan x

e sec2 xdx

3x2

1 x3

6x(1 x3) 3x2 3x2

3、2

(1 x )

3x(2 x3)

3、2

(1 X )

例2.设x在X 1处可导，且'(1) 2.

2 2

y f (1 + X )(1+ X ) 求lim

X 1

(4 3x)

x 1

f (1x2) 2x

2x f (1x2)

y 2f(1x2)2xf (1 x2) 2x 2f(1x2)4x2f (1 x2)分析：将

结构

式：

("=沪0

X在X 1处的导数的定义式理解为

(1 W) (1)

W

其中W为x x 1或x的函数.且当x 0

3f (1) 6

例3?求曲线x3 y3 3axy a3在点0, a 处的切线方程。

解：显然，点0, a在曲线上,

现求切线的斜率，即y (0, a)曲线方程两边对x求导：

2 2

3x 3y y 3ay 3axy 0

2

解得y

y ax ??? y (0, a) = 1

切线方程为：y a x

即y x a

x2例4、设f (x)

四.练习题及参考答案

1?单项选择题

2

ln(1 x )

2

x

1

⑶.y In \ x21，求dy .

3

4.设y x cos(xy)确定y是x的函数，求

时,X 0即可.解：

(4 3x)

x 1

(2)讨论f(x)在x 0处的可导性。

分段函数在分段点的导数必须用定义求: O

01

(X 1)]

3(x 1) (3)

\

7o

f (x)在x0不连续；

f (x)在x0连续，但不可导;

f (x)在x0可导，且f (0)

f (x)在x0可导，且f (0)

F面说法正确的是( ).

B..

C.

0.

D.

2.填空题

A.

f (x)在x x0处可导, f(X。)

试讨论f (x)在x 0处的连续性及可导

性。

分析与解：由已知，f(0) 0 ；

(1)讨论f (x)在x 0处的连续性。

(x) l

x m

x2

代换

0= f (0).

(1)|im f(x°h) f(x°h) 厲h 3.求函数的导数或微分：

1

⑴y x x,求y

⑵ y f ln(1 x) (x 1),

求y , y

-设f(x)

f (x)在x 0处连续。

在1

1

2

dy

，并求出函数在点(0,1)的切线方程。

dx

5、证明：(1)若f(X )是偶函数且可导，那么f (X ) 是奇函数，(2)若f (X)是奇函数且可导，那么

f (x)是偶函数,

答案： 1.D.

2. 2

3.⑴. y

1 x 7

2

(1 ln x)

(2). y

1 x

f

1 ln(1 x)；

y

1 f

ln(1 x)

( x

2

f

1)2

1 f ln(1 x)

(x 1)2

⑶.dy

x

dx 2 dx . x 1

dy 1 4.

2

y sin( xy)

dx 3y

xsin( xy)

切线方程：3y x 3.

自我复习:习题三(A) 13 ； 21,⑹，⑼；24.⑴，⑵; 25； 26?⑴,⑺;27.⑸；29.⑵，⑹，⑺； 47.⑴，⑵.54. 习题三(B)

1 ； 3 ； 11.

第四章中值定理与导数的应用

一. 本章重点

求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函 数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数 确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分 析；

二. 复习要求

1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论 ， 会求定理中的

，掌握拉格朗日定理推论的意义。

注意：⑴洛必达法则只能直接用于求“

-”型或

“―”型未定式的极限，对于其他类型的未定式

极限，必须将其转化为“ -”型或“—”型未定

式才能使用法则。

⑵洛必达法则可以连续使用

，当再次使用法

则时，一定要检验法则的条件是否成立 ，当条件不 满足时必须停止使用，改用其他求极限的方法计 算.

⑶.在求未定式极限时，将洛必达法则和等 价无穷小代换等其它方法结合使用， 可使运算更简

便。

3. 掌握用一阶导数判定函数单调性的方法 ，并能利

用函数的单调性证明不等式。

4. 掌握函数极值的概念及求函数极值方法

.

5. 掌握最值的概念及其与极值的关系 ，能熟练求闭 区间上连续函数的最大、 最小值；会求经济应用问 题的最值.如求最大总收入，最大总利润等.

6. 掌握函数的凹向，拐点的概念及求曲线凹向 ，

拐 点的方法.

.例题选解

例1.求下列极限

e x sin x 2x lim

x 0

xln(1 x)

2sin x

(2).

lim 0 x

x 0

x

lim —

x 0

1

1

⑶.lim

X

0 x ln(1 x)

解：

x

「? e sin x 2x 1

0x

(1) lim 0

(—) x 0

xln(1 x)

代换

x

(1).

sin x 2x

2

x

lim —

x 0

cosx 2x