导数在研究函数中的应用习题..

1．设点P 是曲线y ＝x 3

P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )

A. B.

C. D.

2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)3＋ax 2＋(a 2

－1)x ＋1(a∈R)的导函数y ＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )

C. D. 3．若函数y ＝f(x)在x ＝a 处的导数为A ，则 ()()

lim x f a x f a x x

?→+?--??为( )

A. A

B. 2A

D. 0 4在()()1,1f 处的切线方程为()21y e x =+，则ab =（） A. 1 B. 3 C. e D. 3e

5．设函数()()()2

2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >， R a ∈，存在0x 使得

成立，则实数a 的值是

C. D. 1

6．若，则（）

A. B.

7．设P 为曲线2

:2C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为

，则点P 横坐标的取值范围为（）

A. B. []1,0- C. []0,1 D. 8．已知质点的运动方程为2s t t =+，则其在第2秒的瞬时速度为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

9．定义：如果函数()f x 在[]

,a b 上存在1x 、212()x a x x b <<<, 满足

则称函数()f x 是[]

,a b 上的“双中值函数”。是[]0,a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围( )

A. (1,3)

D. 10．函数()()f x x g x =-的图象在点2x =处的切线方程是1y x =--，

，则()()22g g +'=

A. 7

B. 4 11，若()2

f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是 A. [)1,-+∞ B. [

)1,1- C. ()1,-+∞ D. ()1,1-

12．已知函数()()1y x f x =-'的图象如图所示，其中()f x '为函数()f x 的导函数，则()y f x =的大致图象是（）

A. B.

C. D.

13．直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A. 3 B. 2

D. 14．已知f (x )＝ax 3

，g (x )＝9x 2

＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( ) A. a B. a

C. a

D. a 15．已知二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，

有f (x ( )

A. 1

B. 2

C. －1

D. －2

16．设函数()2

20172018sin f x x x x =+，对任意()12,,x x ππ∈-，若()()12f x f x >，

则下列式子成立的是（）

A. 12x x >

B. 22

12x x > C. D. 17．已知定义域为R 的偶函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x <时，

()()0xf x f x -<'，

，则,,a b c 的大小关系（）

A. b a c <<

B. a c b <<

C. a b c <<

D. c a b <<

18．设定义在R 上的函数()f x 满足: ()()e x

f x f x ='+,且()00f =,则关于x 的方

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

19．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时， ()()1x

f x e x =+，给出下列

命题：① 当0x >时， ()()1x

f x e

x -=-；② 函数()f x 有3个零点；③ 12,x x R

?∈

其中正确命题的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

20．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单

调函数，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

21．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；

③

当120x

x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：

()32

132

f x x x =-+

； ()21x f x e x =--；

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

22．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ?∈，均有()()2,f x f x '<，则有 A. B. ()()()()4034

403420170,20170e f f f e f -<< C. ()()()()4034

403420170,20170e

f f f e f ->> D. ()()()()4034

403420170,20170e f f f e f -><

23．已知函数()3f x x =．设曲线()y f x =在点()()

11P x f x ，处的切线与该曲线交

于另一点()()

22Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则

____． 24．已知函数f(x)＝－f′(0)e x

＋2x ，点P 为曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线l

上的一点，点Q 在曲线y ＝e x

上，则|PQ|的最小值为________．

25．已知函数()()2

ln 134f x x f x x '=-+-，则()1f '=_______________.

26．已知函数()()

()22sin 11f x x x x x =--++在[]

1,3-上的最大值为M ，最小值为

m ，则M m +=__________．

27．若函数()f x 在

[]

a b ，上存在唯一的x ()a x b <<满足

()()()()b a f x f b f a -=-'，那么称函数()f x 是[]a b ，上的“单值函数”.已知函数

()32f x x x m =-+是[]0a ， “单值函数”，当实数a 取最小值时，函数

()f x 在[]0a ，上恰好有两点零点，则实数m 的取值范围是_________．

28．已知定义在()0,+∞上函数()f x 满足()()'0f x xf x +>，且()20f =，则不等式()0xf x >的解集为________.

29．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数()f x '，若()f x < ()f x '，

()()12f x f x +=-， ()20163f =，则不等式()3x f x e <的解集为________.

30．已知函数()()2x

f x a x e =-， ()()2

1g x x =-.

(1)若曲线()y g x =的一条切线经过点()0,3M -，求这条切线的方程. (2)若关于x 的方程()()f x g x =有两个不相等的实数根x 1，x 2。 ①求实数a 的取值范围； ②证明： 122x x +<. 31．已知函数()()22x

f x e

ax b x x =+++，

曲线()y f x =经过点()0,1P ,且在点P 处的切线为:41l y x =+．（1）求,a b 的值；

（2）若存在实数k ，使得[]

2,1x ∈--时， ()()2

21f x x k x k ≥+++恒成立，求k 的

取值范围．

32 （1）当0a =时，求函数()f x 在()()

1,1f 处的切线方程；（2）令()()()1g x f x ax =--，讨论函数()g x 的零点的个数；

（3）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，

33．已知函数f(x)=

（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）求证：lnx≥（Ⅲ）判断曲线y=f(x)是否位于x 轴下方，并说明理由. 34．设()y f x =是()x

g x e =在点()0,1处的切线．（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）求证： ()()f x g x ≤；

（Ⅲ）设()()()ln h x g x f x ax ??=+-??，其中a R ∈．若()1h x ≥对[

)0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．

35．已知函数()()2

ln 2f x x a x a a R =-+∈.

（1）讨论()f x 在()1,+∞上的单调性；

（2）是否存在实数a ，使得()f x 在()0,+∞上的最大值为若存在，求

满足条件的a 的个数；若不存在，请说明理由.

36．已知函数()()sin cos ,f x a x b x a b R =+∈，曲线()y f x =在点

（1）求a ，

（2）设k R ∈，求函数. 37．已知函数()3

3f x x x a =-+的图象与x 轴相切，且切点在x 轴的正半轴上. （1）求曲线()y f x =与y 轴，直线1x =及x 轴围成图形的面积S ；

（2）若函数()()g x f x mx =+在()3,a -上的极小值不大于1m -，求m 的取值范围. 38（,a b R ∈），()2g x x =. （1）若1a =，曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值；（2）若2b =，试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究a 值的个数；，若不存在，请说明理由. 39．设函数()()()ln ,cos f x m x m R g x x =∈= .

（1在()1,+∞上单调递增，求m 的取值范围；（2）设函数()()()x f x g x ?=+，若对任意的，都有()0x ?≥ ，求m 的取值范围；

（3）设0m >，点()00,P x y 是函数()f x 与()g x 的一个交点，且函数()f x 与()g x 在点P 处的切线互相垂直，求证：存在唯一的0x 满足题意，且 40．已知函数f(x)＝(x ＋a)e x

，其中e 是自然对数的底数，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x －a)－x 2

的零点个数，并说明理由．

41．已知函数f(x)＝(2－a)lnx 2ax. (1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；

(2)若对任意的a∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f(x 1)－f(x 2)|成立，求实数m 的取值范围． 42．已知f(x)＝lnx －x ＋a ＋1.

(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a 的取值范围；

(2)求证：在(1)的条件下，当x>1时，

2＋ax －a>xlnx 43．已知函数f(x)＝x 2

－ax ，g(x)＝lnx ，h(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)若函数y ＝h(x)a 的值； (2)若f(x)≥g(x)对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围．

44 （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程．（Ⅱ）求()f x 的单调区间．

（Ⅲ）设()()()()1h x af x a g x =++，其中01a <≤，证明：函数()h x 仅有一个零点．

45．已知函数f (x )2

－(a 2＋b )x ＋a ln x (a ，b ∈R)． (Ⅰ)当b ＝1时，求函数f (x )的单调区间；

(Ⅱ)当a ＝－1，b ＝0时，证明：f (x )＋e x >2

－x ＋1(其中e 为自然对数的底数) 46．已知函数()()3

391f x x x x x R =--+∈．（1）求函数()f x 的单调区间．

（2）若()210f x a -+≥对[]

2,4x ?∈-恒成立，求实数a 的取值范围. 47．已知()()x

f x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证： 122ln x x a +<．

48．已知函数()()

()336x f x e ax x a R =-+∈（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）若函数()f x 的图像在1x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值；（Ⅱ）对(]

0,4x ∈总有()f x ≥0成立，求实数a 的取值范围．

49．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中()0,2θπ∈， O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边(即： OA OB 、和θ所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元.

(1)若总费用恰好为24万元，则当r 和θ分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；

(2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？

50．设a R ∈，函数()ln f x x ax =-. （1）求()f x 的单调递增区间；

（2）设()()2

F x f x ax ax =++，问()F x 是否存在极值，若存在，请求出极值，若

不存在，请说明理由；

（3）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()()g x f x ax =+图象上任意不同的两点，线段

AB 的中点为()00,C x y ，直线AB 的斜率为k ，证明：.

（1）当1m =时，求()f x 的单调区间；

（2）当0m >时，若存在[]

01,x e ∈使得()()00f x g x >成立，求实数m 的取值范围．

52 （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2恒成立，求实数a 的取值范围.

53（1）若0a >且函数()f x 在区间上存在极值，求实数a 的取值范围；（2恒成立，求实数k 的取值范围. 54，在1x =处的切线方程为20x y +-=. （Ⅰ）求()f x 的解析式并写出定义域；

上恒有()3

22f x t t at ≥--+成立，

求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）有两个不同的零点12,x x ，求证： 212x x e >. 55．在3x =处的切线方程为

()21230a x y --+=

（1）若()g x = ()1f x +，求证：曲线()g x 上的任意一点处的切线与直线0x =和直线y ax =围成的三角形面积为定值；

（2）若()33f =，是否存在实数,m k ，使得()()f x f m x k +-=对于定义域内的任意x 都成立；

（3）在（2有三个解，求实数t 的取值范围．

56R a ∈. （1）求函数()f x 的增区间；

（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围，并说明理由；

（3）设正实数1λ， 2λ满足，当0a >时，求证：对任意的两个正实数1x ， 2x 总有

()()()11221122f x x f x f x λλλλ+≤+.

(参考求导公式： ()()'

f ax b af ax b ??+='+??) 57．已知函数f (x )= x －

g (x )= 2ln a x ．（1）若0b =，函数()f x 的图像与函数()g x 的图像相切，求a 的值；

（2）若0a >， 1b =-，函数()()()F x xf x g x =+满足对任意(]

12,0,1x x ∈（x 1≠x 2），恒成立，求a 的取值范围；（3）若1b =，函数()G x =f (x )+ g (x ),且G(x )

有两个极值点x 1,x 2,其中x ()()12G

x G x -的最小值．

58 （1）若0b =，函数()f x 的图像与函数()g x 的图像相切，求a 的值；

（2）若0a >， 1b =-，函数()()()F x xf x g x =+满足对任意(]

12,0,1x x ∈，都有

恒成立，求a 的取值范围；（3）若1b =，函数()()()G x f x g x =+,且()G x 有两个极值点12,x x ，其中

，求()()12G x G x -的最小值.

59．已知函数()()()()()2

1,ln x

f x x e kx

k R g x a x a R =--∈=∈.

（1）当1a =时，求()y xg x =的单调区间；

（2）若对[]

1,x e ?∈，都有()()2

2g x x a x ≥-++成立，求a 的取值范围；

（3时，求()f x 在[]0,k 上的最大值. 60．已知函数()()ln f x ax b x =+在x e =处的切线方程为2y x e =- （1）求()f x 的解析式；

（2）若对任意的0,x >均有()10f x kx -+≥求实数k 的取值范围；（3）设12,x x 为两个正数，求证： ()()()121212f x f x x x f x x +++>+

为定义在R 上的奇函数.

（1）求函数()y f x =的值域；

（2

）

求实数λ的最小值

62 （1）求函数f (x )是单调区间；（2）如果关于x 有实数根，求实数m 的取值集合；（3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程()()f x kg x =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在,说明理由. 63．已知函数()()2

2ln ,.f x x x g x x x a =-=-+

（Ⅰ）求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设函数()()(),h x f x g x =-若函数()h x 在[]

1,3上恰有两个不同零点，求实数

a 的取值范围.

64．设函数()()2

ln 1f x x a x =++.

(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)有两个极值点12,x x 且12x x <，求证 65．已知()3

2f x x ax a x =+-+.

（I ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程. （II ）若0a ≠，求函数()f x 的单调区间.

（III ）若不等式()2

2ln 1x x f x a +'≤+恒成立，求实数a 的取值范围.

66．已知函数()ln f x x =， ()2

g x x x m =--.

（1）求过点()0,1P -的()f x 的切线方程；

（2）当0m =时，求函数()()()F x f x g x =-在(]

0,a 的最大值；

（3）证明：当3m ≥-时，不等式()()()2

2e x

f x

g x x x +<--对任意

立（其中e 为自然对数的底数， e 2.718=）.

67．已知函数()()ln 1f x x a x =+-.

（1）求证：当0a ≤时，函数()f x 在

（2）当0a >时，若存在()0,x ∈+∞，使得()220f x a +->成立，求a 的取值范围.

68．已知函数()22,0

{ ,0

x x a x f x lnx x ++<=>，其中a 是实数。设()()11,A x f x ，

()()22,B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <.

（1）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；（2）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围. 69．已知函数()2

ln f x x x x =-+

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式 70．已知函数()x m

f x e

x -=-，其中m 为常数.

（Ⅰ）若对任意()0x R f x ∈≥有恒成立，求m 的取值范围；（Ⅱ）当m >1时，判断()f x 在[]

0,2m 上零点的个数，并说明理由.

71（I ）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；（II ）求()f x 的单调区间；（III ，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 72．已知函数()1

2x f x e

kx k +=-- (其中e 是自然对数的底数，k ∈R)．

(1)讨论函数()f x 的单调性；

(2)当函数()f x 有两个零点12,x x 时，证明： 122x x +>-．

73．已知()x

f x e =与()

g x ax b =+的图象交于()()1122,,,P x y Q x y 两点.

（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =-的最小值；

（Ⅱ）且PQ 的中点为()00,M x y ，求证： ()00f x a y <<. 74．已知函数()()2

2ln ,f x x a x a x a R =-++∈

（I ）若2a =-，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（II ）讨论函数()f x 在[]

1,e 上的单调性；

（III ）若存在[]

1,x e ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围。 75．已知函数()()22

ln ,f x x a x a R x

-∈．（Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值，求()f x 在点()()

1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，求证： 0 1.x > 76

（1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数m 的取值范围；（2）设1212,()x x x x <是函数()f x 的两个极值点，若，求()()12f x f x -的最小值.

77．已知函数()()()2

111ln 2

f x x a x a x =-

+++-， a R ∈．（Ⅰ）当3a =时，求曲线():C y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程．（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，若曲线():C y f x =上的点(),x y 都在不等式组12,

{, 3,

x x y y x ≤≤≤≤+所

表示的平面区域内，试求a 的取值范围． 78．已知函数()f x kx =，

（1

（2）若不等式()()f x g x ≥区间()0,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：

4ln n n ++

79．已知函数()ln b

f x a x x =+ ()0a ≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；

（2）当0a b +=， 0b >时，对任意，有()e 1f x ≤-成立，求实数b 的

取值范围．

80．已知函数()ln b

f x a x x =+ ()0a ≠．

（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；

（2）当0a b +=， 0b >时，求实数b 的取值范围． 81．已知函数()()1ln 1.1

x f x x ++=

(1)求函数()y f x =的最大值；

(2)令()()()()()2

12g x x f x a x x g x =+--+，若既有极大值，又有极小值，求实数

a 的范围；

(3)求证：当以*

222111,2111323n N n n ?

?????

∈≥+

+???+< ??? ???????

时，． 82．已知函数()()0.x f x e ax a a R a =+-∈≠且

(I)若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]

21f x -在，上的最大值；

(Ⅱ)若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围；

83．已知函数()()3

311f x kx k x k =+--+在0,4x x ==处取得极值.

（1）求常数k 的值；

（2）求函数()f x 的单调区间与极值；

（3）设()()g x f x c =+，且[]

1,2x ?∈-， ()g x 21c ≥+恒成立，求c 的取值范围.

84 （Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的最小值．

（Ⅱ）是否存在一次函数()h x ，使得对于()0,x ?∈+∞，总有()()f x h x ≥，且

()()h x g x ≥成立？若存在，求出()h x 的表达式；若不存在，说明理由．

85．已知函数，．

（1）若，判断函数

是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理

由；

（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求

实数的取值范围. 86．已知函数()ln m x f x n x =

+， ()()212a g x x f x x ?

?=-- ??

?（,,m n a R ∈），且曲

线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）求实数,m n 的值及函数()f x 的最大值；

（2）当1,a e e ?

?∈- ???

时，记函数()g x 的最小值为b ，求b 的取值范围．

（1）若曲线()y f x =与直线y kx =相切于点P ，求点P 的坐标．（2）令()()()ln g x f x a x x =--，当0a ≤时，求()g x 的单调区间．（3）当e a ≤，证明：当()0,x ∈+∞， ()0g x ≥． 88．已知函数()2

ln f x a x x =+ (a 为实常数) ．

（I ）当4a =-时，求函数()f x 在[]

1,e 上的最大值及相应的x 值；（II ）当[]

1,x e ∈时，讨论方程()0f x =根的个数．

（III ）若0a >，且对任意的[]

12,1,x x e ∈，都有实数a 的取值范围． 89．已知函数()()1ln 21,f x a x a a R x ??

=+-+∈

???

. (Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；

(Ⅱ)若不等式()()

ln x f x a x e ≥-对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.

90．已知αβ，是方程()2

4410x tx t

R --=∈的两个不等实根，定义域为

[],αβ.

（1）当0t =时，求函数()f x 的最值；

（2）试判断函数()f x 在区间[],αβ的单调性；

（

）

设

()()()max min

g t f x f x =-，

试

证

明

：

()

g n ++<