函数与方程零点问题

函数与方程

1 ?函数的零点

(1) 定义：

对于函数y = f(x)(x€ D),把使f(x) = 0成立的实数x叫做函数y= f(x)(x€ D)的零点.

⑵函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f(x) = 0有实数根？函数y = f(x)的图象与x轴有交点?函数y= f(x)有零点.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y = f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0 ,那么函数y = f(x)在区间(a, b)有零点,即存在c € (a, b),使得f(c)= 0，这个c也就是方程f(x) = 0的根.

［探究］1?函数的零点是函数y = f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？

提示：函数的零点不是函数y= f(x)与x轴的交点，而是y= f(x)与x轴交点的横坐标，

也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)= 0有

根的函数y = f(x)才有零点.

2.若函数y =f(x)在区间(a，b)有零点，贝U y = f(x)在区间［a，b］上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0呢？

提示：不一定.由图⑴(2)可知.

3 .函数零点具有哪些性质?

提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质:

⑴当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；

⑵相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

2.二次函数y = ax2+ bx + c(a>0)的图象与零点的关系

3 .二分法的定义

对于在区间［a, b］上连续不断且f(a) f(b)<0的函数y= f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫

做二分法.

［自测?牛刀小试］

1. (教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点

的是()

解析：选C 由图象可知，选项 C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，不

能用二分法求解.

2.

(教材习题改编)若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16) , (0,8) ,

(0,4) , (0,2), 那么下列命题中正确的是 (

)

A. 函数f (x )在区间(0,1)有零点

B. 函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)有零点

C. 函数f (x )在区间［2,16)上无零点 D .函数f (x )在区间(1,16)无零点 解析：选C

由题意可知，函数f (x )的唯一零点一定在区间(0,2)，故一定不在［2,16).

3 .根据表格中的数据，可以判定方程

e x — x — 2 = 0的一个根所在的区间为( )

D . (2,3)

解析：选C 令f (x ) = e x — x — 2，则

f (— 1) = 0.37 — 1<0 , f (0) = 1 — 2<0 ,

A.( — 1,0) C . (1,2)

f(1) = 2.72 -3<0 , f(2) = 7.39 -4>0 ,

f(3) = 20.09 - 5>0 ,

所以方程e x- x-2 = 0的一个根所在的区间为(1,2).

4.若函数f(x)= x1 2- ax- b的两个零点是2和3，则函数g(x) = bx2- ax- 1的零点是

解析：?.?函数f(x) = x2- ax - b的两个零点为2和3,

2 +

3 = a,

即a = 5 , b = - 6.

2 X

3 =- b,

.■g(x)= bx2- ax- 1 =- 6x2-5x- 1 ,

1 1

令g(x)= 0,得x=- 2■或—3.

1 1

答案：-2，-3

5.函数f(x) = 3ax + 1 -2a在区间(-1,1)上存在零点，则实数a的取值围是 _______________ 解析：??? f(x) = 3ax + 1 - 2a在区间(一1,1)上有零点，

且f(x)为一次函数，

???f (- 1) f(1)<0，即(1 - 5a)(1 + a)<0.

1

??■a〉-或a< - 1.

5

1

答案：a>—或a< - 1

5

［例1］(1)(2013 ?模拟设f(x)= e x+ x—4，则函数f(x)的零点位于区间()

A ? (—1,0)

B ? (0,1)

C. (1,2) D . (2,3)

2

(2) (201

3 ?模拟函数f(x) = 2x——a的一个零点在区间(1,2)，则实数a的取值围是()

x

A ? (1,3)

B ? (1,2)

C. (0,3) D . (0,2)

［自主解答］(1) -.f(x)= e x+ x — 4 ,「.f'(x) = e x+ 1>0 函数f(x)在R 上单调递增.对

于 A 项，f( —1) = e —1+ (—1) —4 = —5 + e —1<0 , f(0) = —3<0 , f( —1)f(0)>0 , A 不正确，同理可验证B、D 不正确.对于 C 项，T f(1) = e + 1 —4 = e —3<0 , f(2) = e2+ 2 —4 = e2—

2>0 , f(1)f(2)<0.

⑵由条件可知f⑴ f(2)<0，即(2 - 2- a)(4 - 1 - a)<0，即a(a—3)<0，解得0< a<3.

［答案］(1)C (2)C

若方程x lg(x + 2) = 1的实根在区间(k, k + 1)(k € Z),贝U k为何值?

1

解：由题意知，x丸，则原方程即为lg(x + 2)在冋一直角坐标系中

x J

1

作出函数y = lg(x + 2)与y=-的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个I-2

x

根，一个在区间(一2 , - 1)上，一个在区间(1,2)上，所以k = -2或k = 1.

判断函数零点所在区间的方法

判断函数在某个区间上是否存在零点， 要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时， 就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断； 当用零点存在性定 理也无法判断时可画出图象判断.

f (x ) = e -x - 4x — 3的零点所在的区间为(

1

C. —4, 0

3 3

3 解析：选B 易知函数f (x )在 R 上是单调减函数.对于A ，注意到f -一 = e

4 — 4 X -一

4

4

11

1 丄

2 =e 2— 4X — 2 — 3=e 2—1>0，因此函数 f(x)=e —x —4x —

3 的零点

1 1

2, — 上函数f (x )= e -x — 4x — 3 一定存在零点；对于 C ,注意到

1. (2013 ?模拟在下列区间中，函数 A.

4‘

B.

2' 1

D.°，4

3

—3 = e 4 >0 ,

不在区间

4'

1

2上；对于B ，注意到

；-3=e 4-2<4

—2<0，因此在区间