推理的理论概述

2.1推理的涵义

G〃波利亚在《数学与猜想》川一书中讨论了推理的特征、作用、范例、模式，并且还指出了推理的教学意义和教学方法。他是通过对数学创造和数学学习等具体思维过程的再现、分析提出了?推理?的思维模式，开辟了一条与传统的思辨方式截然不同的新途径;他首先肯定了论证推理在确定数学命题的真理性和其科学体系建构中的作用，然后说数学与其他学科一样，数学知识也是从零散的猜想开始，通过归纳、检验等非论证的思维方式而发生发展，而这种思维方式就是推理。G〃波利亚的主要成就是有效地拓宽了数学推理的范围;有关推理的概念的展开、模式概括和技能训练都是密切结合数学发现和数学学习的具体思维活动;他的不足之处是对推理的界定比较模糊和不完全。

1988年，我国著名数学家徐利治指出:?要用G〃波利亚的思想改革数学教和教学方法，要培养G〃波利亚的数学工作者?，从而在我国正式拉开了把数学方法论和G〃波利亚的数学教育思想应用于课堂教学进行创新教育实践的序幕。从此，人们逐渐开始探索，在培养学生逻辑思维能力的同时进行推理能力的培养。

杨世明的《数学发现的艺术》(30]，是用G〃波利亚风格写出的数学方法论专著。从数学史、数学课本、众多数学家的著作和手稿中采集了丰富的素材，归纳、研究了推理方法，对数学学习、解题、教学和研究中广泛应用的观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、检验、推广、限定以及抽象、概括等思维方法进行了探讨。

可以说推理的思想萌芽很早。开拓它，发展它，使之趋于完善的是G。波利亚。G〃波利亚是在与传统观念普遍认可的演绎推理相对立的意义上引入合情推理的，并力图将数学推理的非演绎机制尽可能地涵盖其中。目前，数学教育理论对推理的涵义说法众多，但仔细探究可分为两大类。

一类从逻辑学的角度出发，认为推理是根据已知判断提出新的判断的思维式，推理有两种，论证推理与推理，前者回答如何证明定理的问题，后者回答如何发现定理的问题，并且认为，推理主要包括归纳推理和类比推理。我们把它称作狭义的推理。

另一类从数学方法论的角度出发，不仅把推理看作推理，而且把它看作是科学的发现方法。因而，连同归纳、类比在内，把观察、实验、联想、猜测、直观等一系列科学发现的手段、方法都归于推理的范畴。我们把它称作广义的合情推理。

在以上提及的著作中，对推理的特征有以下几种阐述:

G〃波利亚认为:推理是一种合乎情理的、好像为真的推理，它的清晰程度不能与论证推理相比，它没有固定的逻辑标准，并且只是笼统的，通人情的，是与个人的情绪、爱好、知识等主观因素有关的一种推理，所以它是有争议的、冒风险的、暂时的，有时不能像论证推理那样博得大家的公认。

基于对有关推理论述的认真思考，本文的观点是:

关于狭义与广义推理的划分，是从不同的角度出发对推理的认识，都是可以接受的，前者给出了推理本来意义上的涵义，后者把它提高到数学方法论的高度，扩大了推理的涵义。从数学教育的角度看，广义的推理更具有意义。对于推理的特征或定义的表述，虽然G〃波利亚只是进行了描述，但这种描述却涵盖了推理的假定性、创新性和结果的主观不确定性。鉴于本文研

究初中数学教育中推理能力的培养，故赞同从逻辑学的角度来界定推理，合情推理主要包括归纳推理和类比推理。

2.2论证推理与推理的联系与区别

G〃波利亚认为它们之间并不矛盾，相反地，它们是互相补充的。在严格的推理之中，首要的事情是区别证明与猜测，区别正确的论证与不一定正确的尝试。而在推理之中，首要的事情是区别一种猜测与另一种猜测。如果你把注意力引导到这两种区别上来，那么就会对这两者有更清楚的认识。

前者的功能是证?实?，后者的功能既用于?实?，又用于证?伪?。前者回答如何证明定理的问题，而后者回答如何发现定理的问题，一般来说，发现定理的合情推理过程，猜想过程往往与它的论证推理过程相比较，发现定理的推理、猜想过程是容易被人们忽视的，而且是向策略创造的过程—证明数学定理之前，要猜测定理的内容，在证明这个定理之中，先得推测它的证明思路;论证推理是演绎的，可靠的、无可臵辩的，也是科学的和终决的;但是推理则是归纳的，类比的，冒风险的，要经过反驳的，有争议的，也是暂时的;论证推理本身并不能产生新的知识;但推理却可以产生心的知识，新的思想与新的理论，甚至连?物理学家的归纳论证，律师的案情论证，历史学家的史料论证和经济学家的统计论证都属于推理之列?。论证推理被形式逻辑与论证逻辑所制定的严格标准所限制，但是推理的标准是不固定的，相当灵活的;硬塞给学生的论证推理是不符合教育学规律的，学生很容易忘记，而推理是不容易忘记的。

数学被人们看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定形式出现的定性的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程与其它知识的创造过程一样的。你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明;但是这个证明是通过推理，通过猜想发现的。

2.3推理的基本模式

由于推理是一种合乎情理、好像为真的推理，它并不像论证推理那样有严格的三段论模式，标准不唯一，它还受到个人的情绪、爱好、知识、思维方式等主观因素的影响，故其模式有不确定性。下面是国内外的教育工作者对推理的研究结果。

据我所掌握的文献材料看，推理能力的教学理论始于G.波利亚。G.波利亚在《数学与猜想》“，”第一卷、第二卷中详细介绍了推理的特殊情况:归纳推理与类比推理;介绍了推理的模式、扼要讨论了它们与数学发明及教学的关系，得出了重要的推理模式。

在张同君主编的《中学数学解题研究》[25)中将常用的归纳模式与类比推理一般模式进行了概括。过伯祥在《猜想与推理》中，给出了通俗易懂的表现形式，更适于一线教师指导初中学生进行推理。

(1)归纳模式

归纳的含义

归纳是由个别、特殊到一般的认识过程，是通过对特例或事物的一部分进行察与综合，进而发现和提出关于一般性结论或规律的过程，是通过揭露对象的部分属性过度到对象整体属性的过程。归纳的本质特征是:虽然考察的只是若干个别对象，但是结论却能超出考察的范围。归纳的认识依据在于同类事物的各种特殊情形中蕴涵的同一性和相似性。因为归纳推理与人们认

识事物的过程较为一致，因此易于理解和接受。

归纳模式1

S，具有P属性

SZ具有P属性

Sk具有P属性

S,、SZ, ,…S、都是S

S很可能具有P属性

在猜测到?S具有P属性?后，进一步验证时用模式2

归纳模式2

把?S具有P属性?记为A，把?Sm具有P属性?记为B, Sm是S中的一个，得到一个进一步检验A的推理模式:

A--B(意为:A蕴含B)

B真，A更可靠

归纳推理(此处指不完全归纳)只是考察了事物的部分对象而得出关于事物一般性结论，因此结论带有猜测成分，不一定正确，所得到的结论只有经过严格的证明，才知道该结论是否正确。

(2)类比模式

类比的含义

?类比?一词源于希腊文(Analogia)，意思之一为?比例?。?类比?作为一种科学研究方法，它的作用早为科学家们所认识。开普勒说?我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学之中它应该是最不容忽视的。?康德也曾经指出:?每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进?。类比推理是从特殊到特殊的推理，是根据两对象都具有一些相同或相似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一属性，从而推出另一对象也具有与该属性相同或类似的属性的推理，其基础是对象与对象之间有某些相同或相似的性质。

类比模式I

S对象具有属性a, b, c, d

S‘对象具有属性a’、b‘、c‘

‘分别与a, b, c相同或相似

S’对象很可能具有属性d‘

把?S‘对象具有属性d‘?记为A;把?S对象具有属性d?记为B;

，对象具有属性a'、b‘、c‘与S对象具有属性a, b, c表示A与B 间的类

似性，得出一个推理模式

A类似于B

B真

类似于B能用方法M解决A更可靠A可能也可用方法M解决。

类比推理的关键在于找出两类对象之间的相似性，找出的相似性越多，得出的结论就越可靠。类比推理有其自身的特征:

(1)类比是人们从已经掌握了的已知事物的属性，推测出另一正在被研究的事物的属性。

(2)类比是从一种已知事物的特殊属性推测另一事物的特殊属性。

(3)类比的结论是具有猜测性的，不一定可靠，需要证明，但是有发现

功能。

(3)统计模式

统计的含义

统计是将大量的数据经过整理、分类、排比、分析，并通过适当的形式表示来。现今流行的?统计学?(statistics)一词源自意大利文stato，其词根兼有?国家?和?情况?的意义。当时的统计学就是国情学，这种思想流行于16世纪的意大利，后来传播到其他欧洲国家。现代意义上的?统计学?一词，是英国学者辛克莱在18世纪末提出的。

统计推理是根据被考察的样本中百分之几的对象具有某种属性，从而推出总百分之几的对象具有某种属性的推理。它是通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，运用数据分析方法形成基于数据的推理和预测。

统计模式

考察总体的样本中有n%具有属性P

所以，总体有n%具有属性P

统计推理的结论有时会出现误差。把观察的样本中发现n%具有属性P 作为前提，但是却不能完全准确地断定总体恰好n%有P这种属性的结论。一般地说，在统计推理的结论中总有一个?士a%?出现，它被称为?安全区?或?误差区’，a是被估计的n%两边允许出现错误的量。

统计推理是比较特殊的推理，有其自身的特点:一方面，由统计推理得到的结论只是一种可能性的结论，它无法用逻辑的方法去检验，只有靠实践来证实;另一方面，统计推理的结论是可能性，它会产生一定的误差。