七年级数学全册单元测试卷培优测试卷

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．

（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；

（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．

【答案】（1），理由如下：

CE 平分，AE 平分，

；

（2），理由如下：

如图，延长AE交CD于点F，则

由三角形的外角性质得：

；

（3），理由如下：

，即

由三角形的外角性质得：

又，即

即．

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．

2．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8

（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,

（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．

【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.

（2）MN=

【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可；

（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.

3．如图

（1）观察思考

如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；

（2）模型构建

如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；

（3）拓展应用

8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？

请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．

【答案】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段

（2）解：，

理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，

则x=（m-1）+（m-2）+（m-3）+…+3+2+1，

∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m-3）+（m-2）+（m-1），

∴2x= =m（m-1），

∴x=

（3）解：把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，

因此一共要进行场比赛

【解析】【分析】（1）线段AB上共有4个点A、B、C、D，得到线段共有4×（4-1）÷2条；（2）根据规律得到该线段上共有m（m-1）÷2条线段；（3）由每两位同学之间进行一场比赛，得到要进行8×（8-1）÷2场比赛.

4．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE=90°）

（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=________°；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；

（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．

【答案】（1）20

（2）解：如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，

∴∠EOB=2∠BOC=140°，

∵∠DOE=90°，

∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，

∵∠BOC=70°，

∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°

（3）解：∠COE-∠BOD=20°，

理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，

∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）

=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD

=∠COE-∠BOD

=90°-70°

=20°，

即∠COE-∠BOD=20°

【解析】【解答】⑴如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°；

【分析】（1）根据角度的换算可知∠COE和∠BOC互余，那么根据∠COB=70°可得∠COE=20°；

（2）根据角平分线和∠BOC可得∠BOE=140°，∠COE=∠BOC=90°，所以它的余角∠COD=20°；

（3）一个是直角∠EOD，，一个是70°∠BOC，这两个角里都包含了同一个角∠COD，那么大家都减去这个∠COD的度数，剩下的两角差与原两角差是一致的，所以可得出结论∠COE-∠BOD=20°。

5．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将有一30度角的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（图中∠OMN=30°，∠NOM=90°）

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t；

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）解：直线ON平分∠AOC；

理由：

设ON的反向延长线为OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB=60°，

又∵OM⊥ON，

∴∠MON=90°，

∴∠BON=30°，

∴∠CON=120°+30°=150°，

∴∠COD=30°，

∴OD平分∠AOC，

即直线ON平分∠AOC

（2）解：由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°

因此ON旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，

由题意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40

（3）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°

【解析】【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．

6．已知，其顶点在直线上从左向右运动，运动速度为每秒，同时又绕顶点以每秒的速度顺时针旋转，运动起始位置如图所示，当运动到

再次与直线垂直时停止运动

若平分，解答如下问题：

（1）当顶点运动路程为时， ________；

（2）当时，求顶点的运动路程.

【答案】（1）

（2）解：∵，平分，

∴，

∴又绕顶点旋转或，

∴旋转的时间为或，

∴顶点的运动路程是或 .

【解析】【解答】解：（1）∵顶点运动路程为，

∴运动的时间为：，

∴旋转角度为，

∴，

∵平分，

∴；

故答案为：；

【分析】（1）根据顶点运动路程为，得到运动的时间为：，求得旋转角度为，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到

，于是得到又绕顶点旋转或，即可得到结论. 7．如图，已知OE平分，OF平分

（1）若是直角，，求的度数.

（2）若，，，请用x 的代数式来表示直接写出结果就行 .

【答案】（1）解：∵∠AOB是直角，∠BOC＝60°，

∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋60°＝150°，

∵OE平分∠AOC，

∴∠EOC＝∠AOC＝75°，

∵OF平分∠BOC，

∴∠COF＝∠BOC＝30°，

∴∠EOF＝∠EOC?∠COF＝75°?30°＝45°；

（2）解：∵∠AOC＝x°，OE平分∠AOC，

∴∠EOC＝∠AOC＝ x°，

∵OF平分∠BOC，∠BOC＝60°，

∴∠COF＝∠BOC＝30°，

∴∠EOF＝∠EOC?∠COF＝x°?30°，即y＝x?30.

【解析】【分析】（1）由∠AOB是直角、∠BOC＝60°知∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°，根据OE平分∠AOC、OF平分∠BOC求得∠EOC、∠COF度数，由∠EOF＝∠EOC?∠COF可

得答案；（2）由∠AOC＝x°，、OE平分∠AOC 知∠EOC＝∠AOC＝ x°，由OF平分∠BOC、∠BOC＝60°知∠COF＝∠BOC＝30°，根据∠EOF＝∠EOC?∠COF可得答案.

8．已知点O是直线AB上的一点,∠COE= ，OF是∠AOE的平分线。

（1）当点C,E,F在直线AB的同侧(如图1所示)时.∠AOC= 时，求∠BOE和∠COF的度数，∠BOE和∠COF有什么数量关系?

（2）当点C与点E,F在直线AB的两旁(如图2所示)时,∠AOC= ，(1)中∠BOE和∠COF 的数量关系的结论是否成立?请给出你的结论并说明理由；

【答案】（1）解：∵，，

∴，，

∵OF平分∠AOE，

∴

∴；

∴

（2）成立；；如图所示：

理由如下：∵，，

∴，

∵OF平分∠AOE，

∴，.

∴；

∴

【解析】【分析】（1）由，，得

，，根据OF平分∠AOE，得则有，并可得；（2）；由，，得

，

，根据OF平分∠AOE得，则有

，即；

9．已知：在和中，，，将如图摆放，使得的两条边分别经过点和点 .

（1）当将如图1摆放时，则 ________度.

（2）当将如图2摆放时，请求出的度数，并说明理由.

（3）能否将摆放到某个位置时，使得、同时平分和？直接写出结论________（填“能”或“不能”）

【答案】（1）240

（2）∠ABD+∠ACD=40°；

理由如下：

∵∠E+∠F=100°

∴∠D=180°?(∠E+∠F)=80°

∴∠ABD+∠ACD=180°?∠A?∠DBC?∠DCB=180°?40°?(180°?80°)=40°；

（3）不能

【解析】【解答】解：(1)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°

∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?40°=140°

在△BCD中,∠D+∠BCD+∠CBD=180°

∴∠BCD+∠CBD=180°?∠D

在△DEF中,∠D+∠E+∠F=180°

∴∠E+∠F=180°?∠D

∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°

∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°；

故答案为：240；

( 3 )不能.假设能将△DEF摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB.则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°,那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能.

【分析】（1）要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD,利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°;∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°,从而得出答案；

（2）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）的度数.根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°；根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）=140°-100°=40°；

（3）不能，假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB，则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能.

10．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．

（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；

（2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；

（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；

（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）

【答案】（1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下：

∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°，

∴∠ACE=∠BCD

（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°，

∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°，

∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，

∠ACB=90°+60°=150°

（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：

∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，

∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°

（4）解：成立

【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可求证；

（2）根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE，再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE，把∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解；

（3）由图知，∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD，则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE，把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解；

（4）根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。。

11．如图（1），在△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE.

（1）求证：△ABC≌△EDC；

（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H.

①求∠DHF的度数；

②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC.

【答案】（1）证明：∵CA平分∠BCE，

∴∠ACB=∠ACE.

在△ABC和△EDC中.

∵BC＝CD，∠ACB=∠ACE，AC＝CE.

∴△ABC≌△EDC（SAS）.

（2）解：①在△BCF和△DCG中

∵BC=DC, ∠BCD=∠DCE,CF=CG,

∴△BCF≌△DCG（SAS）,

∴∠CBF=∠CDG.

∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF

∴∠BCF=∠DHF=60°.

②∵EB平分∠DEC，

∴∠DEH=∠BEC.

∵∠DHF=60°,

∴∠HDE=60°-∠DEH.

∵∠BCE=60°+60°=120°,

∴∠CBE=180°-120°-∠BEC=60°-∠BEC.

∴∠HDE=∠CBE. ∠A=∠DEG.

∵△ABC≌△EDC, △BCF≌△DCG（已证）

∴∠BFC=∠DGC，

∵∠ABF=∠BFC-∠A, ∠HDE=∠DGC-∠DEG,

∴∠ABF=∠HDE,

∴∠ABF=∠CBE,

∴BE平分∠ABC.

【解析】【分析】（1）由角平分线定义得出∠ACB=∠ACE，由ASA证明△ABC≌△EDC即可.

（2）①由ASA证明△BCF≌△DCG，得出∠CBF=∠CDG；在△BCF，△DHF中，由三角形内角和定理得出∠BCF=∠DHF=60°.

②由全等三角形的性质得出∠A=∠DEG，∠ABF=∠BFC-∠A, ∠HDE=∠DGC-∠DEG,从而得出

∠ABF=∠HDE,∠ABF=∠CBE,即BE平分∠ABC.

12．如图，已知点，且，满足 .过点分别作轴、轴，垂足分别是点A、C.

（1）求出点B的坐标；

（2）点M是边上的一个动点（不与点A重合），的角平分线交射线于点

N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由. （3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）解：由得：

,解得：

∴点的坐标为

（2）解：不变化

∵轴

∴BC∥x轴

∴

∵平分

∴

（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，

由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15

若点P在OC边上，可设P点坐标为，则

三角形BCP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为；

若点P在OA边上，可设P点坐标为，则

三角形BAP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为 .

综上,点的坐标为， .

【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；

（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.

13．如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.

（1）若BF∥CD，∠ABC=80°，求∠DCB的度数；

（2）已知四边形ABCD中，∠A=105o，∠D=125o，求∠F的度数；（3）猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）解：∵∠ABC=80°，

∴∠ABE=180°-∠ABC=100°，

∵BF平分∠ABE，

∴∠EBF= ∠ABE=50°，

∵BF∥CD

∴∠BCD=∠EBF=50°

（2）解：∵∠FBE是△EBC的外角，

∴∠F=∠EBF-∠ECF

∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，

∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，

∵∠ABE=180°-∠ABC，

∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，

∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，

∴∠F= （∠A+∠D-180°），

∵∠A=105o，∠D=125o，

∴∠F= （105o +125o -180°）=25°

（3）解：结论：∠F= （∠A+∠D-180°）

理由如下：∵∠FBE是△EBC的外角，

∴∠F=∠EBF-∠ECF

∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD，

∴∠EBF= ∠ABE=，∠ECF= ∠BCD，

∵∠ABE=180°-∠ABC，

∴∠F= （180°-∠ABC）- ∠BCD= [180°-（∠ABC+∠BCD）]，∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D，

∴∠F= [180°-（360°-∠A-∠D）]，

∴∠F= （∠A+∠D-180°）

【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和邻补角的定义可得：∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；由平行线的性质可得∠BCD=∠FBE可求解；

（2）由平行线的性质可得：∠ABC+∠A=180°；∠BCD+∠D=180°；由已知条件可得：∠ABC=180°-∠A；∠BCD=180°-∠D；由角平分线的性质和邻补角的定义可得：

∠FBE=∠FBA= ∠ABE=（180°-∠ABC）；∠BCF=∠BCD，由三角形外角的性质可得∠FBE=∠F+∠BCF，于是∠F=∠FBE-∠BCF，把求得的∠FBE和∠BCF的度数代入计算即可求解；

（3）结合（1）和（2）的结论可求解：∠F=（∠A+∠D-180°）。

14．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n.

（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；

（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；

（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °.

【答案】（1）75

（2）解：如图2，

∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，

∴由（1）可得，

∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；

∵∠BEC=140°，

∴∠BE1C=70°；

（3）

【解析】【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠BEC=∠1+∠2，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；

故答案为：75；

（ 3 ）如图2，

∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，

∴由（1）可得，

∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；

∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC；

…

以此类推，∠E n= ∠BEC，

∴当∠BEC=α度时，∠BE n C等于 °.

故答案为： .

【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE和

∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+

∠DCE= ∠BEC；（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C= ∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C= ∠BEC；…据此得到规律∠E n= ∠BEC，最后求得∠BE n C的度数.

15．已知将一副三角板(直角三角板OAB和直角三角板OCD∠AOB=90°，∠ABO=45°，∠CDO=90°，∠COD=60°)

（1）如图1摆放，点O，A，C在一直线上，则∠BOD的度数是多少?

（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少?

（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点Q任意转动，∠M0N的度数是否发生变化?如果不变，求其值；如果变化，说明理由。

【答案】（1）解：∠BOD=∠AOB?∠COD=90 ?60 =30

（2）解：∵OB平分∠COD,

∴∠BOC= ∠COD= ×60 =30 ，

∴∠AOC=∠AOB?∠BOC=90 ?30 =60

（3）解：∠BOD+∠AOC=90°?∠COD=90 ?60 =30 ，

(∠BOD+∠AOC)= ×30 =15 ，

∠MON= (∠BOD+∠AOC)+∠COD=15°+60 =75 .

即∠MON的度数不会发生变化，总是75 ．

【解析】【分析】（1）根据余角的性质和含义即可得到答案；

（2）根据角平分线的性质计算得到∠BOC的度数为30°，由余角的性质即可得到答案；（3）由角平分线的性质即可得到∠BOD和∠AOC的度数和的，由角的和差关系进行计

算得到答案即可。