_年福建省高等职业教育入学考试数学试卷(含答案)

准考证号 姓名

（在此卷上答题无效）

2015年福建省高等职业教育入学考试

数学试卷

(面向普通高中考生)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：

1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试卷上作答，答案无效．

3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据12,,...,n x x x 的标准差 锥体体积公式

s =

13

V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式

球的表面积、体积公式 V Sh =

24S R =π，343

V R =π

其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共70分）

一．单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1.设集合{}1,3,5A =，{}1,2B =，则A

B 等于（ ）

A.{}1

B.{}1,3,5

C.{}2,3,5

D.{}1,2,3,5

2.函数2()log f x x =的图象大致为（ ）

A B C D

3.已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则a b ?的值为（ ）

A.1-

B.0

C.1

D.2

4.已知()3sin(3)4

f x x π

=+

的最小正周期是（ ）

A.

3

π

B.23π

C.3π

D.6π

5.下列几何体是棱柱的是（ ）

A B C D

6.圆2

2

20x y x +-=的圆心坐标为（ ）

A.（1 , 0 )

B.( 2 , 0 )

C.( 0 , 1 )

D.( 0 , 2 )

7.若,x y R ∈，则“0x <且0y <”是“0xy >”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8.椭圆2

212

x y +=的离心率为（ ）

A.

1

2

9.已知函数()2x

f x x =+的零点所在区间是（ ）

A.(2,1)--

B.(1,0)-

C.(0,1)

D. (1,2)

10.设,x y 满足束条件 1 11 x x y y ≤??

+≥??≤?

，则z x y =-+的最大值等于（ ）

A.2-

B.1-

C.0

D.1 11.在△ABC 的内角030A =，2AC =

，AB =BC 等于（ ）

12.如图，在正方形ABCD 中，以对角线AC 和BD 的交点O 为圆心作圆O ，若在正方形ABCD 内，随机取一个点，则此点取自于阴影部分的概率是（ ）

A.

14 B.13 C.12 D.3

4

13.函数4

()1f x x x

=+

+（0x >）的最小值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5

14.设函数()f x 是定义在R 上的增函数，且不等式2

(m 2)()f x f x +<对x R ∈恒成立的取值范围是（ ）

A.(,1)-∞-

B.(,1]-∞-

C.(1,)+∞

D.[1,)+∞

第II 卷（非选择题 共80分）

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上） 15．(1)(1)i i +-= ；

16．在一次抽样调查中，采用分层抽样选取样本，其中男生28人，女生21人，共抽取7人，则女生抽取________人；

17．已知函数(4),0()(4)0x x x f x x x x +≥?=?-

，，则(3)f = ；

18．一个圆柱体的体积为3

128cm π的易拉罐有上.下底面，求高为 时用的材料最少.

三.解答题（本大题共6 小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（本小题满分8分）

已知函数2

()sin 22cos 1f x x x =+-. （Ⅰ）求()4

f π

的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最大值.

20. （本小题满分8分）

已知等差数列{}n a 中，131,6a S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a

n b =，求1235b b b b ++++的值.

21. （本小题满分10分）

右图是某公司5个销售店某月销售某机器的数量（单位：台）的茎叶图. （Ⅰ）求该公司5个销售店当月销售这种机器的平均台数；

（Ⅱ）该公司为提高销售业绩，从5个销售店中随机抽取2个进行分析，求抽到的2个销售店该月的销售量均高于平均数的概率.

22. （本小题满分10分）

5

323642

设直线l 过抛物线Γ：2

2y px =（0p >）的焦点F ，且与抛物线Γ相交于A ，B 两点，其中点(4,4)A .

（Ⅰ）求抛物线Γ的方程； （Ⅱ）求线段AB 的长.

23. （本小题满分12分）

某实心零件是一几何体，其三视图如图（单位：毫米，π取3.14）. （Ⅰ）求该零件的表面积；

（Ⅱ）电镀这种零件需要用锌，已知每平方毫米用锌41.110-?克，问电镀10000个零件需要用锌多少克？

24.（本小题满分12分）

侧视图

正视图

已知函数3

1()13

f x x ax =

-+，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线与y 轴垂直 （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求()f x 在区间[2,2]-上的最大值； （III ）是否存在实数k ，使得直线4

(1)3

y k x =--与曲线()y f x =有三个交点？若存在，求k 的范围；若不存在，说明理由.

2015年福建省高等职业教育入学考试

数学试卷答案及评分参考

（面向普通高中考生）

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．A 8．C 9．B 10．D 11．A 12．C 13．D 14．A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

15．2 16．3 17．21 18．8cm

三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．解：（Ⅰ）因为2

()sin 22cos 1f x x x =+-，

sin 2cos2x x =+ ……………………………………………2分

)4x π

=

+． …………………………………4分

所以()4

f π)44

π

π

=

?

+ 3

4

π= 1= ……………………………………………6分

（Ⅱ）因为())4

f x x π

=

+

所以 max ,()x R f x ∈=……………………………………………8分 20. 解： （Ⅰ）设等差数列

{}

n a 的公差为d ，则

()()131111,26

a S a a d a d ==++++=

解得 1d = ……………………………………………2分 所以

()11n a a n d n

=+-= ……………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n

a n n a n

b ==，得

51212522,24,,232,

a a a

b b b ====== …………………………………6分

1235243262

b b b b ∴+++

+=++

+= …………………………………8分

21. 解：（Ⅰ）该公司5个销售店当月销售这种机器的平均台数为

1

(2426323335)305

++++=台 …………………………………..4分

（Ⅱ）设5个销售店中低于平均数的数量为12a a 、，高于平均数的数量分别为

123b b b 、、，则从5个销售店中随机抽取2个进行分析的可能情况为

()()()()()1211121321,,,,,a a a b a b a b a b 、、、、、

()()()()()2223121323,,,,,a b a b b b b b b b 、、、、 共10种情况，

…………………………………..6分

记“从5个销售店中随机抽取2个进行分析，求抽到的2个销售店该月的销售量均高于平均数”为事件A ，则可能的情况为

()()()121323,,,b b b b b b 、、 共3种， …………………………………..8分

所以3

()10

P A =

. …………………………………..10分 22. 解：（Ⅰ）把点(4,4)A 代入抛物线Γ： 2

2y px = 得

2424p =? ………………………..2分

解得2p =

24y x ∴= ………………………..4分

（Ⅱ）直线AB 的方程为

44

0414

y x --=

--，化简得 4340x y --= …………………………………..6分

与抛物线方程2

4y x =联立可得

241740x x -+= ………………………………….8分

设点B 的坐标为(),B B x y ，则1744

B x +=

所以1725

44

AB p =

+=

线段AB 的长为25

4

. ………………………………….10分

23.解：（Ⅰ）由三视图可得该几何体是一个棱长为20毫米的正方体

上面放置了一个半径10毫米的半球

………………………..3分

所以其表面积S 为

2

62020210101010

24001002086s mm πππ=??+??-??=-≈ ………………………..6分

（Ⅱ）10000个这种零件的表面积为

272100002086 2.08610mm mm ?=?

……………..9分

需要用锌为

7432.08610 1.110 2.310-???≈?克

答：电镀10000个零件需要用锌32.310?克. ………………………..12分

24.解：（Ⅰ）因为函数3

1()13

f x x ax =-+

所以2

()f x x a '=- ……………………….. 1分

因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线与y 轴垂直 所以(1)0f '=，即10a -=

解得1a = ……………………..3分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）得函数3

1()13

f x x x =

-+，2()1f x x '=- 令()0f x '=，解得1x =±，列表如下

由上表可知()f

x 在区间[2,2]-上的最大值为5

3

……………..8分 （III ）因为直线4(1)3y k x =--经过定点直线4

(1,)3

A -，做示意图如右，可知当直线与

曲线相切，或0k <或不存在时，直线与曲线有且仅有1个交点. (10)

分

设直线4

(1)3

y k x =--

与曲线相切于点()00,x y ，则 004

(1)3

y k x =--，

30001

13

y x x =-+，

201k x =-

解得3k =

从而存在实数()3,k ∈+∞，使得直线4

(1)3

y k x =--

与曲线()y f x = 有三个交点. ………………..12分