线性代数练习题(附答案)
《线性代数与解析几何》练习题
行列式部分
一?填空题：
1若排列1274i56k9是偶排列，则i 8 , k 3
2?已知a1i a25a3j a41a5k是五阶行列式中的一项，且带正号，其中(i
i 2 , j 4 ,k 3
3?设A, B 是n 阶可逆阵，且A 5，贝U (A T A)356, 2A 2n5
B 1A k B 5k(k为常数)
4.已知
3 1 2
D 2 3 1
0 1 4
用A j表示D的元素a j的代数余子式，贝U 2A21 3A22 A23 D 37
7.设
j)则
0 ，行列式
D2372
为4维列向量，且已知行列式 A 4, B 1，则行列式 A B
6?设
x 1 2 3
f(x)
3 x 1 2
2 3 x 1
1 2 3 x
2, 3, 4
均
40
A11 A12 A13
5.设有四阶矩阵A ( ,2,3,4)，B ( 2 , 3, 4 )，其中
8(|A| |B I)
则f (4) 160
280
2 ?计算行列式
1111
1111
1111 112 3
2 12
5
12
4 8 1
1 4
15
1 1
4
15
0 2
5
12
.
2
3
.
2
3
.
2
3
1 x x x
1 x x x
1 x x x
1, 2, 3
1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 0 4 1 3
0 2 5 1
2 5 1
0 2 5
1
0 0
9
1
0 0 9 1 140 0
4
4 12
0 0 14 14
9
3
1 9
7
解：D
且A
I 0 A I 。
求 AA T
上述方程的解x
8 .设A 是n 阶方阵，且
的行列式 A
A* 是A 的伴随矩阵，则
X 1 x 2 X 3 0
9 ?若齐次线性方程组
x 1 x 2 X 3 0 只有零解，则 应满足
X 1
X 2
X 3 0
二.计算题：
1.已知5阶行列式
1 2 3 4 5
2 2 2 1 1
3 1 2
4 5
27
1 1 1
2 2
4 3 1
5 0
求 A 41
A 42 A 43 和 A 44 A 45
其中 A j 是元素3ij 的代数余子式。
1条件。
解:
A 41 A 42 A 43 2(A 44 2(A 41
A 42 A 43) A 44
A 45) A 45
A 41 A 44 A 42 A 45 A 43 18
3.设A 是n 阶方阵, A*
n 1
a
27
解：Al A AA A(l A T ) A] (A I)T A A I
A 0 A I 0
4.设A 是n 阶实对称矩阵，A 2 2A 0，若r(A) k (0 k n)，求A 3I
2是k 重的特征值。
X n a n
矩阵部分
填空题:
解： A 是实对称矩阵
A 相似于对角阵，
2
由A 2A 0 A 的特征值为0和 2 .而 r ( A )=
k , 所以
对于矩阵A +3I ,
有一个k 重的特征值
以及一个n k 重的特征值3，
A 3I
X i a 2 a 3 a n
a i
X 2 a 3
a n
D a i
a 2 X 3 a n
(X i
a i ,i
a i
a 2
a 3
X n
X
a 2 a 3 a n a i X i X 2
a 2
0 0 a i X i
X 3 a 3
0 a i X i
X n a n
1,2, ,n)
X i (a i X i )
k 2 X k
0 0
a k
a 2
a 3
a n
X 2
a 2
X
3
a
3
X i
n
(d X i )
a k
k 2 X k a k
aQ
5?计算
解：D
3n k a k n
1
0 0
3)
10 0, B 可逆，r(AB) r(A) 2)
5 ?设矩阵
7.设四阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵 A 的秩为 ―0
1.设三
阶方 阵A ,
B 满足 A 1BA 6A BA
,且A
0 1 0
0 0 7
3 0 0
B
6( A 1
I)1
0 2 0 。
0 0 1
a 1
b 1 a 1b 2
ab
a 2b| a 2
b 2
a 2
b n
0(i
1,2,3,
,n)
2?设A
，其中q 0 , b i
，则矩阵
and a n b 2
a n
b n
A 的
秩=1
，则
3?设A 是4 3的矩阵，且
A 的秩为2，而
，则 r(AB)
4.已知 a=[1 , 2,3 ] , b=[
设 A=a T b ，则 A n
3n
丄
~2
1
3 2
(ba T 3, A n
a T (ba T )
(ba T )b 3n
1a T
b )
则逆矩阵 (A
2I)
1
丄 2
0 0
丄
2
6?设A
,B 为三阶非零矩阵, AB=O ，
(AB t
r(A) r(B) 3;又 r(B) 1
r(A)
?2n 1 3
16
&设 A , B 均为n 阶矩阵,
2, B 3，则 2A
9?设 A 的伴随矩阵，
1
1 1 *
(—A)1 10A
A
—，则
2 3
A 是三阶方阵，A *是
1 1 3 1 |3A 5A | ( 2) 16 )
。
10 ?设A , C 分别为r 阶和s 阶的可逆矩阵， 则分块矩阵X
C 1BA 1 C 1 A 1
11?设 n 阶方阵A 满足方程A 2
3A 2I A(A 3I)
2I )
12.设 13.设
A 2
2A
，而 A n
B 是n 阶矩阵，且 (AB A B I 的逆矩阵
的逆矩阵A
1
尹3I )
n 2为正整数，则
2A n1)
AB=A+B ，则(A A(B I) (B I) A n
I) 1
2A n1
(B I)(A I) 二?选择题： 1 ?设n 阶矩阵A , (A ) ACB=E C 满足关系式ABC=E , (B ) CBA=E 其中 (C ) BAC=E E 是n 阶单位矩阵, (D ) 则必有(D ) BCA=E 2?设A 是n 阶方阵 (n 3), A *是A 的伴随矩阵，又 k 为常数，且k 0, 1，则必有 (kA) = ( B ) (A) kA (B) k n 1A (C) k n A 1 (D) k A
3 ?设A 是n 阶可逆矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则有(A
(A) A (B) A
(C) A (D) A
4?设
a 11
a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
A
a 21
a 22 a 23 , B
a 11
a 12
a 13
,
a 31
a 32
a 33
a 31
a 11
a 32
a 12
a 33
a 13
0 1 0
1 0 0
P
1 0 0
,P 2
0 1 0
0 0 1
1 0 1
则
必
有（ C ;)
(A) ARP ? B (B) AP 2 P 1 B (C) P 1P 2A B
(D)P 2PA B
5?设A , B 均为n 阶方阵，则必有（
D )
(A ) A B
A
B
(B ) AB BA
(C )
(A B)
1
A 1
B 1
(D )
AB
BA
6.设n 维向量
(-,0, ,0,丄) ,矩阵A
I
T
7 B
2 T ,其中1为n 阶
2
2
单位矩阵，则AB (C )
(A) 0
(B)
—
I (C) I (D)
I
T
7.设A 是n 阶可逆矩阵（n 2） , A 是A 的伴随矩阵，则（C ）
(A) (A*)*
A n 1
A
(B)
n 2
(C) (A*)* A
A
(D)
n 1
(A*)* A A n 2
(A*)* A
A
a a
a ,若矩阵A 的秩为n 1,则a 必为(B )
(A) A 1 B 1
(B) A B (C) B(A B) 1A (D) (A B)
三?计算题：
1 a a a 1
a
8.设n(n 3)阶矩阵A a a 1
(A) 1 (B)
9.设 A,B, A B, A a a a
1
1
(C)
-1
(D)
1
1 n
n 1
B 1均为n 阶可逆矩阵，则（A
B 1) 1 等于(
C )
1 1 0
（n是自然数）1 ?已知A 0 1 1 ，求A n
0 0 1