九年级下册数学北师大版教案 第三章 8圆内接正多边形

8圆内接正多边形

1．掌握正多边形和圆的关系．

2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．

3．能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．

4．能利用尺规作一个已知圆的内接正多边形．

重点

掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算．

难点

正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题．

一、复习导入

1．什么叫正多边形？

2．正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗？其对称轴有几条？对称中心是哪一点？

3．以对称中心为圆心，以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆，你有何发现？

引导学生得出：

①正多边形的顶点都在圆上；

②圆经过正多边形的所有顶点．

二、探究新知

1．圆内接正多边形的概念

定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．

(1)把一个圆n等分(n≥3 )，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．

(2)如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM 是这个正五边形的边心距.

2．尺规作一个已知圆的内接正多边形

(1)用尺规作一个已知圆的内接正六边形．

作法：

①作⊙O的任意一条直径FC；

②分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；

③顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.

(2)用尺规作一个已知圆的内接正四边形．

(3)思考：作正多边形有哪些方法？

三、举例分析

例 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径OC ＝4，OG ⊥BC ，垂足为 G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．

(1)正六边形的中心角是多少度？

(2)正六边形的中心角的一半是多少度？

(3)如何作出正六边形的边心距？

(4)你能利用已知条件构造直角三角形吗？

(5)你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？

解：连接OD.

∵六边形ABCDEF 为正六边形．

∴ ∠COD ＝360°6＝60°. ∴ △COD 为等边三角形．

∴ CD ＝OC ＝4.

在 Rt △COG 中，OC ＝4，CG ＝12 BC ＝2， ∴OG ＝2 3.

∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为 2 3.

总结：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．

四、练习巩固

1．正三角形的边心距、半径和高的比是( )

A ．1∶2∶3

B ．1∶ 2 ∶ 3

C ．1∶ 2 ∶3

D ．1∶2∶ 3

2．已知正六边形的外接圆半径为3 cm ，那么它的周长为________cm .

3．已知：如图，正三角形ABC ，求作：正三角形ABC 的外接圆和内切圆．(要求：保留作图痕迹，不写作法)

五、课堂小结

1．易错点：

(1)求正多边形的中心角、边长和边心距；

(2)用尺规作圆内接正多边形．

2．归纳小结：

(1)正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；

(2)顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆；

(3)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3．方法规律：

(1)把一个圆分成几等分，连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°

；

边数

(2)正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．

六、课外作业

1．教材第98页“随堂练习”．

2．教材第99页习题3.10第1、2、3、4、5题．

本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表达有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.