最新综合除法与余数定理教学提纲
第七节 综合除法与余数定理
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。
一、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +?=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3
4
74142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解：
余式
商的各项的系数
8
26322
4
1264414072++--+--++-
∴)
2()74142(3
4-÷-++x x x x 的商是26322
3+--x x x ，余式是8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3
2
-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。
5
41615-12333
2
108216231033-++++-+++-+ )()()(1
)()()()(11x r x aq x g a
x r x q x g x f +?=
+?= ∴Q=542-+x x ， R=6。
显然，上式是等式，所以可以对未知数赋值，然后解方程求得各个系数。
下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。（竖式除法更简单）
例3、用综合除法求)23()4101173(2234-+÷-+-+x x x x x x 的商Q 和余式R 。
解：2
31
232
3234
66
94101173-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232+-x x ， R=23-x 。 二、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。 略证：设R a x x Q x f +-?=)()()( 将x=a 代入得R a f =)(。
例4、确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被x-1整除。 解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。
∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－17。
例5、求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。
解：设b ax x x f ++=2)(
∵)(x f 被3-x 除余1，∴139)3(=++=b a f
①
∵)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，∴b a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b ∴13)(2+-=x x x f 。 注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。
即：1))(3())(2())(1(2++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x 由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m 再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。 ∴13)(2+-=x x x f 。 练习：
1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。 （1）)4()81496(345+÷+-++x x x x x ；
（2）)23()188859(334224y x y x xy y y x x -÷+--+； （3）)32()15151672(2234+-÷+-+-x X x x x x ； （4）)253()712(23356-++÷--+x x x x x x x
2、一个关于x 的二次多项式)(x f ，它被x-1除余2，被x-3除余28，它可以被x+1整除，求)(x f 。
3、一个整系数四次多项式)(x f ，有四个不同的整数4321,,,αααα，可使,1)(,1)(21==ααf f
1)(,1)(43==ααf f ，求证：任何整数β都不能使1)(-=βf 。
证：令1))()()(()(4321+----=ααααx x x x a x f
假设存在整数β使1)(-=βf
则2))()()((4321-=----αβαβαβαβa 显然没有5个整数相乘等于2
所以假设不成立，原命题成立。 我国水污染现状及治理
水是分布最广泛的而又十分重要的自然资源。他孕育和滋养了地球上的一切生物，并从各个方面为人类社会服务。地球上的水约为13亿8600万立方千米，其中96.5%分布在海洋，淡水只有3500万立方千米左右。若扣除无法取用的冰川和高山顶上的冰冠，以及分布在盐碱湖和内海的水量，陆地上淡水湖和河流的水量不到地球总水量的 1% 。
我国是一个干旱缺水严重的国家。我国的淡水资源总量为28000亿立方米，占全球水资源的6%，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，名列世界第四位。但是，我国的人均水资源量只有2300立方米，仅为世界平均水平的1/4，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。然而，中国又是世界上用水量最多的国家。仅2002年，全国淡水取用量达到5497亿立方米，大约占世界年取用量的13%，是美国1995年淡水供应量4700亿立方米的约1.2倍。
《用竖式计算有余数的除法》教学设计
《用竖式计算有余数的除法》 教学目标：1.在具体的问题情境中，进一步理解有余数的除法，掌握有余数除法的竖式计算书写方法。 2.通过圈一圈、说一说等操作活动，培养观察、分析、比较能力。 3.学会与他人合作，激发学习兴趣，体验成功的快乐。 重点：除法竖式的正确书写。 难点：理解除法竖式的意义及除法竖式中各数的含义。 教学准备：多媒体课件 教学过程 一．复习引入 1.说出下面除法竖式中各数的名称。 8÷4=2 10÷2=5 7÷2=3 (1) 指名几个学生回答，师适时给予肯定。 2.圈一圈，并列出除法竖式。 有9根小棒，每4根一份。 生在学习纸张上作答，完成后，师指名上来操作，并列式。 师：分完了吗？ 生：没，还有1根。 师：以前我们学过加法竖式、减法竖式，能列除法竖式吗？今天我们一起学习：用竖式计算有余数的除法。（板书） 二、探究新知 教学例3 1. 出示题目：12根小棒，每4个分一组，结果怎么样? 生齐读，并在学习纸张上圈一圈，并列出算式。 12÷4=3（组） 指名展示，问：你是怎么分的？生答后，全班齐读算式。 师：现在发挥你们的想象力，把它列成除法竖式，赶紧动手吧！ 预设：12 ÷4 3 师：同学们的想法真好！老师现在把另外一种方法和大家分享一下。 师：小房子建起来，被除数住进来，除数站在门外面，商要站在屋顶上。 师边说边写，生跟着写。 3 4）12 师：不着急，先回答这个问题：每4根一组，分三组，一共多少张？生：12 老师把12写这里，也就是说12里最多分了几个4？
3 4）12 12 生:3. 师：也就是用12－12=0。现在同桌互说竖式中每个数什么意思？该写哪里? 生交流后指1~2名回答。 1. 改题：13根小棒，每4根一组，结果会怎样？ 生在纸上圈一圈，并列算式。 13÷4=3（组）·····1（根） 师指名指名上台展示，问：你会列竖式吗？ 生尝试列后板书： 3 4）13 12 1 师：你能告诉大家你是怎样写得吗？生答。 师：12和1为什么写这里？生：一共分了12根，还剩一根。 师：看来以后我们又多了一种竖式计算除法的方法。 三．练习巩固 1.教材第62、63页做一做第1、2题。 题目：11根小棒，每3根一组，分了（）组，还剩（）组。 12根小棒，每4根一组，分了（）组，还剩（）组。 生自己动手分一分，完成后反馈，集体订正。 2．比一比，谁最快。 1 4 ( ) 5）8 3）14 4）13 ( ) 12 12 3 ( ) 1 生完成后，指名回答，说说怎样填的。 1.把上面的除法竖式写成横式。 （）÷（）=（）……() （）÷（）=（）……() （）÷（）=（）……() 生独立填写，集体订正。 1.卡片上最大能填几？ □×6﹤57 □×7﹤43 38﹥□×5 7×□﹥31 □×8﹤26 60﹥□×9 以开火车的形式轻松愉快地结束答题。 四．课堂总结 师:这节课你学了什么内容？怎样用竖式来计算有余数的除法呢？ 板书设计： 用竖式计算有余数的除法
综合除法与余数定理
学科：奥数 教学内容：综合除法与余数定理 【内容综述】 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 【要点讲解】 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得 （此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（） 分析 把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算 （1 ）； （2 ） 解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用 除 ，只需先以 除， 再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以， 所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时 余28，它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除；
二年级下册数学《有余数的除法》公开课教案
二年级下册数学《有余数的除法认识》教学设计 【教学内容】 有余数的除法，余数的含义（教材第60页内容）。 【教学目标】 1.明白余数的含义，理解余数的意义。 2.培养学生的动手操作能力、观察能力及分析能力。 3.提高学生应用知识解决实际问题的能力和学习的兴趣。 【重点难点】 理解余数的含义。 课前游戏 【课件出示27只彩色气球，气球有数字（从1到27），打乱顺序】 师：上课前，咱们先来做一个小游戏，这里有27只彩球，每个气球上都有数字，你随便说一个号码，老师不看屏幕就能猜出它是什么颜色。不信，谁来考考老师。【请4个学生上台，边点边报数，师猜气球的颜色】 师：你们是不是觉得老师很厉害？想不想学这个本领？学了今天这一单元的知识以后，你们一定能知道其中的奥秘。 一、谈话导入，探究新知。 1、谈话：你们看过《西游记》吗？能说一说关于《西游记》的知识吗？ 今天的课堂我们也请来了孙悟空、猪八戒和我们一起学习。一天师徒4人来到一片树林中，看孙悟空带来了什么？ 2、课件：孙悟空带着8个仙桃，猪八戒看到流出了口水， （1）学生提出问题。（有8个仙桃，平均分给4个人，每人分几个？） （2）学生列式计算。（8÷4=2（个）。） （3）问：除法算式中每个数表示什么？
（“8”表示一共有8个仙桃，“4”表示分成4份，“2”表示每份分2个。） 3、课件：现在是9个仙桃，平均分给4个人，你会怎么分？ （1）、同桌合作用圆片代替桃子摆一摆，互相说一说。 把9个仙桃平均分成4份，每份2个，还剩1个。 （2）根据摆的情况尝试列出算式。 预设：①8÷4=2（个）多1个； ②9÷4=2（个）剩1个； ③9÷4=2（个）……1（个） ④8÷4=2（个） （3）通过比较找出正确的算式。 （4）说一说除法算式的含义。 9个桃子平均分给4个人每人分2个，还剩1个。 4、问：同学比较黑板上这两题有什么相同点和不同点？ 相同点：都是平均分，都用除法计算。 不同点：一个平均分恰好分完，一个平均分有剩余。 5、引出课题：像这样平均分完后剩下的部分就叫做余数。像这样的除法就叫做有余数的除法。学生齐读课题。 6、问：你会读这个除法算式吗？ 9除以4等于2个余1个。 二、练习巩固，深化知识。 1、课件出示：15个桃子，平均分给4个人，怎么分？ 学生先画一画，再写一写，最后说一说。 预设：①15÷4=3（个）……3（个） ②12÷4=3（个）……7（个）
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理Revised on November 25, 2020
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3 2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 ∴Q=542-+x x ， R=6。 下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
有余数的除法优秀教案汇编
有余数的除法优秀教案 有余数的除法是基础数学教学中一个重点，通过基础的数学教学，培养学生的计算能力，下面是有余数的除法优秀教案，欢迎查看阅读。 有余数的除法优秀教案学生分析 学生已经学习了除法的意义，但只限于商是整数而没有余数的情况，这节课针对有余数的情况进行。在二、三年级时学生已经接触过有余数的除法。对有余数的除法有感性的认识，还未达到理性认识。 教学目标 1．理解整除及有余数除法的意义，掌握有余数除法中各部分之间的关系。 2．通过观察、比较后，弄清整除的意义。 3．培养学生合作学习的意识和能力，并从中体验到探究的乐趣。 4．能够主动思考，积极发表自己的意见。 课前准备 电脑课件。 教学流程 一、基本练习。 （电脑显示）52÷8＝24÷3=25÷3＝8÷2＝ 10÷4＝38÷2＝
1．集体订正。 2．师：请学生根据各题商的结果，将这些除法计算题进行分类，每类商有什么特点？把你的想法和小组同学互相说一说，并在小组内选出一名记录员，将研究的结果记录下来。（四人小组代表发言。） 学生回答后出现分类情况。 （电脑显示）商没有余数为24÷3=8，8÷2＝4，38÷2＝19；商有余数为52÷8＝6…4，25÷3＝8…1，10÷4=2…2。 二、谈话导入。 在我们学过的整数除法中，商有两种不同的结果，一种是没有余数的，一种是有余数的。这节课就让我们一起再对它们进行深入的研究吧！ 三、新授。 师：（电脑显示）让我们先来观察这类除法算式。它们有什么特点呢？请在小组内研究研究。（四人小组代表发言。）学生回答可能会出现以下两种情况： 生1：被除数、除数、商都是整数，而且商没有余数。 生2：我们组不同意他们的看法，我们认为被除数、除数、商应是自然数。 师：现在出现了两种不同的意见，同学们同意哪一种呢？ 生1：我不同意第一种意见，因为整数包括自然数和零，而除数是一个非零的数，所以除数不能是整数。
最新有余数的除法竖式说课稿
《有余数的除法竖式》说课稿 各位评委老师： 你们好！今天我说课的题目是《有余数的除法竖式》。下面我就从教材、教学目标、教法学法、教学过程四个方面进行我的说课。 一、说教材 《有余数的除法竖式》属于人教版小学二年级数学下册第六单元第3课时的内容。本节课是在学生已经掌握了除法计算方法和有余数的除法的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既加强了知识间的内在联系，又为后面学习多位数除以一位数或两位数的除法的相关知识打下良好基础。 二、说目标 根据《课程标准》的要求和教材的编写特点，结合二年级学生的认知能力以及我对教材的理解，我将本节课的教学目标确定为：1、通过分析具体的问题情境，加深学生对有余数的除法的意义的理解，掌握有余数的除法竖式计算的书写方法。 2、学会试商的方法。 3、通过操作、观察、小组交流等活动学习知识，发展能力。 4、在学习过程中培养学生的合作意识及主动探究的精神。 根据教材的编写特点，结合学生的认识水平，我将本课的教学重点确定为让学生学会除法竖式的正确书写方法；难点确定为理解除法竖式的意义及除法竖式中各数的含义。 三、说教法与学法
学生作为学习的主体，在学习中的参与状态和参与度是决定教学效果的重要因素。因此，本课我让学生以自主思考、合作探究为主要学习方式，运用知识的迁移规律，主动学习、掌握知识、形成技能。最后通过做练习巩固本课重点。 四、说教学过程 基于上述设想，同时遵循学生的认知规律，我设计了以下几个教学环节： 第一环节：复习导课 1、师问：余数和除数之间有什么关系？ 请生回答（余数＜除数） 2、师问：除数是5时，余数可能是几？ 请生回答（余数可能是1、2、3、4） （板书课题：有余数的除法竖式） 第二环节：新知探究 1、课件出示解决问题1，让生自主列式。 2、小组讨论：用画图法求商和余数；再课件演示画图法。 3、师讲解，课件演示列竖式过程，让生跟着课件一步一步的列竖式。 4、知识的迁移：课件出示解决问题2 （1）小组讨论，列出算式和竖式 （2）小组展示（两个小组板演算式和竖式） 5、师小结 第三环节：巩固练习
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
7.综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 41264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同 -7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面， 同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，
认识有余数的除法教学设计
2014年二年级数学下册教案：《认识有余数的除法》（人教版） 认识有余数的除法 [教学目标] 1、使学生在把若干物体平均分的活动中认识余数，理解有余数除法的意义。 2、能根据平均分有剩余的活动写出除法算式，正确表达商和余数。 [教学重点]把平均分后有剩余的情况抽象为有余数的除法。 [教学难点]理解有余数除法的意义。 [教学过程] 一、复习铺垫 1、摆一摆。用9根小棒摆三角形，可以摆几个三角形？（2个小或者1个大） 2、说说你是怎样摆的？ 9根小棒，每3根一摆，可以摆3个小三角形。 9根小棒，每9根一摆，可以摆1个小三角形。 3、列式计算 摆两个小三角形：9÷3=3（个）9表示什么？3呢？ 摆一个大三角形：9÷9=1（个） 二、探究新知 1、教学例1 （1）师：儿童节到了，同学们打算在班级联欢会上摆一些果盘，他们买了一些草莓，准备每2颗草莓放一盘，现在有6颗草莓，请同学们拿出水果学具，用6个学具表示6颗草莓来摆一摆。（学生动手操作，教师巡视指导。） 师：一共可以摆几盘？有剩余吗？ （可以摆3盘，正好摆完，没有剩余） 师：这是平均分的问题，我们可以用除法计算，怎么列式呢？6÷2=3（盘）（2）如果不是6颗草莓，是7颗呢？再动手摆一摆，看看能摆几盘，有没有剩余。（学生动手操作后，反馈结果：可以摆3盘，还剩1个） 师：剩下的还能再平均分吗？（不能，只剩一个不够分。） 师：平均分后还有剩余怎么办？可以用除法算式表示吗？如果可以，怎么表示呢？（小组内思考、讨论） (说明：7里面最多有3个2，这余下的1不够再分一组，这个数在数学上叫做余数。 列式：7÷2=3（盘）……1（个）
(小结：为了分清余数和商，我们要在余数和商的中间用6个小圆点隔开，我们把这样的除法叫做有余数的除法。 （3）观察比较6÷2=3和7÷2=3……1这两道算式，引导学生再次认识到：在日常生活中分东西会出现两种情况，一种是全部分完没有剩余，另一种是分后有剩余，但不够再分，不够分剩下的部分就是除法算式中的余数。 师：想一想，什么情况下平均分的结果可以用有余数的除法表示，余数表示什么？ 2、做一做 （1）学生独立在书上圈一圈，填一填，完成第1小题。 反馈交流：17÷2=8（组）……1（个） 23÷3=7（组）……2（个） 说说这两道算式商和余数各是多少，分别表示什么？ （2）完成第2小题。 先用学具按要求摆一摆，然后根据摆的结果填空。 展示个别学生的填空情况，说说每道题中的商和余数分别表示什么。 三、巩固练习 1、完成教材“练习十四”第1题。 引导学生理解题意，这是一道开放题，三种装法，不同的选择会有不同的结果，根据自己的选择，圈一圈，然后填空，教师指名回答。 2、完成教材“练习十四”第2题。 出示题目：17个红果，平均分给3只刺猬，每只刺猬分几个？还剩几个？ 学生独立思考，用小棒代替红果分一分，看看每份能分多少，是否有剩余。 全班交流，集体订正。 四、课堂小结 这节课你学会了什么？对自己和他们有什么评价？你还有什么疑问吗？ [板书设计] 认识有余数的除法 6÷2=3（盘） 17÷2=8（组）……1（个） 7÷2=3（盘）……1（个） 23÷3=7（组）……2（个）
初中数学竞赛余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
综合除法与余数定理修订版
综合除法与余数定理修 订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是 )(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++-
∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
最新新人教版有余数的除法公开课教案
有余数的除法 教学内容 义务教育教科书二年级下册第60页-61页例1和例2及练习题 教学目标 1.使学生初步理解有余数除法的意义，认识余数，余数要比除数小。 2.学生在获取知识的过程中，积累观察、操作、讨论、合作交流、抽象、概 括等数学活动经验发展抽象思维。 教学重点 感知有余数除法的意义 教学难点 掌握余数要比除数小的道理。 教学准备 多媒体、小棒、圆片 教学过程 一、创设情境，导入新知 1.谈话引入 师：小朋友们，你们喜欢做游戏吗？现在我们做个数学游戏，它的名字叫“抱组游戏——找朋友比赛”。请大家看屏幕，我们先来看看游戏的规则。 大屏幕显示：[游戏准备]请八个小朋友。[游戏规则]：第一步，每次几人抱成一组；第二步，听清口令，按要求做；第三步，口令是：找呀找，找朋友，（）个人，抱一组。获胜方法：谁按要求找到朋友，谁就获胜。 2.活动感知 做游戏，初步理解余数的意义 <2人一组> 师：谁能用数学语言描述一下活动的过程？（有8人，每2人一组，分成了4组） 师：能用除法算式表示吗？（8÷2=4（组）） 小结：每组人数相同，平均分成了4组，就是“平均分”，用除法表示。 <3人一组> 师：谁来描述一下这次活动的过程？（指两名生说） 引导生说：有8人，每3人一组，分成了2组，多出了2人。
师：两次游戏，有什么不同之处？ 小结：刚才做游戏时，产生了两种不同的结果：一是大家都找到了朋友，一是部分人找到朋友，还有剩余的人找不到，这里余下的数，我们能给他起个名字吗？（生说“余数”，板书） 二、探究新知 1.学习“有余数的除数” ①摆小棒 师：请大家将刚才有余数的情况，用小棒摆出来，看看余数在哪？ 指一生上台摆 问：余数在图的哪个部分？谁上来指指？（指名一生上台指） 他摆的是什么意思？ ②列算式 同桌讨论列除法算式，试列 8÷3=2……2（板书） 余数 为了区分商和余数，在它们中间用6个小圆点隔开，我们把这样的除法，叫做“有余数的除法”（板书课题） ③分析算式 师：在这里余数是几？8代表什么？3代表什么？商2呢？ ④说算式意义 ⑤带单位，齐读算式：8÷3=2（组）……2（人） 巩固练习：书60页做一做第1题 2.探究余数和除数的关系 师：1个正方形需要几根小棒？ 8根小棒可以摆几个正方形？（同桌摆，指一对同桌上台摆） 追问：如何列式？（板书：8÷4=2（个）） 4人一组，小组合作讨论：用9、10、11、12根小棒分别摆正方形是什么情况？如何列式？（板书：） 思考：观察每个算式的余数和除数，你发现了什么？ 指名回答
有余数的除法竖式教学设计公开课
有余数的除法竖式教学设计 熊小红 教学目标： 1、借助搭房子的操作过程，进一步学习有余数除法的意义，理解有余数除法竖式各部分的意思，掌握其书写格式。 2、通过联系具体情境说明算式的方式，发展学生的数学理解和表达能力。 3、感受数学与日常生活中的广泛应用。 教学重点： 理解有余数除法竖式各部分的意思，掌握其书写格式。 教学难点： 掌握有余数除法竖式写格式。 教学方法： 动手实践、合作交流 教学用具： 小棒
教学过程： 一、创设情境 淘气和笑笑在玩摆小棒的游戏，6根小棒搭一个房子，16根小棒可以搭多少个房子，还剩几根？ 二、探究新知 16根小棒可以搭几个房子，还剩几根？搭一搭，填一填。 1、结合上面搭房子的过程，认一认，说一说。 由具体到抽象出有余数除法竖式的书写。 （1）小组内议一议，怎样用竖式表示，了解每一步的含义。 （2）引导学生探究竖式各数表示的意思及单位名称的写法，认识余数。 166=2（个）4（根） 说一说竖式中各数表示的意义。体验余数一定要比除数小。 2.看一看，说一说。 先观察，再解释算式的意义。 三、练一练
1、练习竖式书写格式并加深理解。直接填在书上，集体订正。 2、第4题为试商做铺垫。 3、学生自主编，并根据具体情境添加单位。 四、总结：这节课有哪些收获？ 板书设计： 搭一搭（二） 16根小棒可以搭几个房子，还剩几根？ 166=2（个）4（根） 答：16根小棒可以搭2个房子，还剩4根。 教学反思： 只有知识的授权，没有知识的对话；只有情感的倾注，没有情感的.交流，这样的课堂缺乏个体的灵动，缺少个性的独特。课堂教学，只有进行师生视界融合的对话，在相互的磨擦碰撞交流中才能迸发出创造思维的火花，学生才能真正成为探索新知的探索者，教师才能真正成为引领者。
综合除法与余数定理含答案
综合除法与余数定理 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如 下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数 乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 例1 计算（） 分析把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2）除式要变成的形式（b可以是负数） 例2用综合除法计算 （1）； （2） 解：（1） ∴商式为，余式为-3 （2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以 ，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28， 它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得 a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。
二年级有余数的除法数学教案
二年级有余数的除法数学教案为了更好的将教与学有机结合，提高课堂教学效率，数学网小编与大家分享二年级有余数的除法数学教案，希望大家在学习中得到提高。 第六单元有余数的除法 第一课时：有余数的除法 教学目标 1.通过分草莓的操作活动，使学生理解余数及有余数的除法的含义，并会用除法算式表示出来，培养学生观察、分析、比较的能力。 2.借助用小棒摆图形的操作，使学生巩固有余数的除法的含义，并通过观察、比较探索余数和除数的关系，理解余数比除数小的道理。 3.渗透借助直观研究问题的意识和方法，使学生感受数学和生活的密切联系。 教学重点：理解余数及有余除法的含义，探索并发现余数和除数的关系。 教学难点：理解余数要比除数小的道理。 一、观看动画(主题图)，引出活动 问题：这些同学在做什么呢? 二、摆一摆，比较感知 (一)摆一摆，回顾除法意义
问题： 1. 读一读，你知道了什么? 2. 摆一摆，说一说你是怎样做的。 3. 能把摆的过程用算式表示出来吗? 6÷2=3(盘) 问题：1. 这个算式什么意思? 2. 这个意思你还在哪看到了? (沟通算式、文字、摆的过程之间的对应关系。) 问题：1. 观察，你发现了什么? 2. 现在你还会摆吗?互相说一说你打算怎样做。 3. 这1个草莓怎么不摆了? 4. 能把你的想法用算式表示出来吗? 7÷2=3(盘)……1(个) 问题：1. 这个算式什么意思? 2. 这个意思你还在哪看到了? (沟通算式、文字、摆的过程之间的对应关系。) (三)比一比，初步感知有余数除法的意义 问题：比较，有什么相同?有什么不同? 讲解：算式里的“1”表示剩下的1个草莓，在算式中称为“余数”，今天我们研究的是“有余数的除法”。 追问：余数表示什么? (四)圈一圈，填一填，及时巩固
综合除法(1)
综合除法与余数定理 一、知识提要与典型例题 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 （一）、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数 826322 4 1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
新人教版小学数学二年级下册《有余数的除法》教学设计
《有余数的除法》教学设计 教学内容：教材第60页例1及第61页例2。 教学目标： 1.通过分草莓的操作活动，使学生理解余数及有余数除法的含义，并会用除法算式表示出来，培养学生观察、分析、比较的能力。 2.借助用小棒摆正方形的操作，使学生巩固有余数除法的含义，并通过观察、比较探索余数和除数的关系，理解余数比除数小的道理。 3.渗透借助直观研究问题的意识和方法，使学生感受数学和生活的密切联系。 教学重点：理解有余数除法的含义，探索并发现余数和除数的关系。 教学难点：理解余数要比除数小的道理。 教学准备：小棒，课件 教学过程： 一、互动游戏，激发兴趣 二、动手实践，感知意义 （一）复习表内除法的含义 1、课件展示例1的问题情景：（小朋友们请看）有6个草莓，每2个摆一盘，可以摆几盘？到底是不是可以摆3盘呢？（课件展示摆的过程） 2、指名摆一摆。小朋友们仔细看，摆了几盘？草莓摆完了吗？板书：摆3盘，正好摆完。） 3、质疑：你能把刚才摆的过程用一个算式表示出来吗？为什么用除
法来计算？ 4、质疑: 这个算式表示什么意思？（6个草莓，每2个摆一盘，可以摆3盘。） （二）理解有余数的除法的含义 1、在动手操作中感受平均分时出现剩余的情况。 （1）如果有7个草莓，还是每2个摆一盘，又可以怎样摆呢？ （2）（课件展示摆的过程。） （3）质疑：请小朋友们仔细看一看，两次摆的有什么不一样？ 7个草莓，每2个摆一盘，摆了几盘？摆完了吗？板书：摆3盘，还剩1个。 2、列算式表示摆的过程。（像这样摆又可以怎样写除法算式呢？剩下的一个在除法算式中怎么表示？） 3、交流展示。（谁来试着说一说。）规范余数写法。 7÷2=3（盘）……1（个）3表示什么？1呢？ 4、质疑：谁能结合这幅图完整的说说算式表示什么意思？剩下的1个叫做余数。（课件出示完整的算式） 5、揭题：像这样的除法就叫有余数的除法。并说说每个数的名称。 （1）读算式：7除以2等于3（盘）余1（个）（2）说各部分的名称。 其实，有余数的除法里边蕴藏着许多数学知识，下面我们就一起来研究它。小朋友们请看……） 三、观察对比，发现规律
最新综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
小学数学二年级下册有余数的除法教学设计
有余数的除法教学设计 《有余数的除法》教学设计．
教学内容： 人教版二年级数学下册教材第60页例1、第61页例2及相关内容。教材简析： “有余数的除法”是二年级数学下册第六单元的内容。“有余数的除法”安排在学习完成“表内除法”之后不久进行教学，并且以表内除法为基础，通过对比加以编排。例1通过平均分物过程的对比，教材通过“将一些草莓，每2个一份，可以怎么分”，帮助学生感受平均分物的过程有两种情况。在对比中拓展学生对除数的认识，并更好地理解余数的含义，有余数的除法的含义。例2中对有余数的除法和表内除法的横式的对比，通过结合操作过程，使学生在对比中理解有余数的除法的横式中各部分的名称及每个数的含义，教材专门编排一道例题，教学余数和除法之间的大小关系，让学生从具体到抽象，从感性到理性，理解余数比除数小的道理。 学情分析： 本节课教学有余数的除法，是在学生已经学过表内乘除法的基础上学习的，内容包括认识有余数的除法算式，理解有余数的除法算式的含义，知道余数比除数小的道理，学生在前一阶段刚刚学会表内除法，已经接触过许多正好全部分完的事例，但二年级学生的思维还是以具体形象思维为主，想较好完成由形象思维向抽象逻辑思维转变，就要借助动手操作，让学生亲子去实验，去体验知识的形成过程。本节课我将安排学生大量的动手摆、圈、分的活动。通过动手操作，直观感
受余数的产生及意义。根据学生喜欢动手的特点，安排了动手摆小棒的活动，让学生在操作的过程中体会有余数的除法，初步感受余数一定要比除数小的道理。利用学生练习做题的环节，深化理解余数小于除数，从而更好地发展学生的抽象思维。 教法简介： 针对二年级学生年龄小的特征，本节课我主要采用的是引导、探究、讨论、发现的教学方法，学生通过借助实物分一分，摆一摆。学根据自放手让学生在有限的时间和空间里，生借助用小棒摆正方形， 己的学习体验，用合作的方式，通过观察操作、探究讨论、发现比较力求让学生在轻松愉快的气氛中理解所学的知等方法进行自主学习，识，从而达到发展智力、培养能力的目的。教学目标：使学生理解余数及有余数的除法的含1. 通过分草莓的操作活动，义，并会用除法算式表示出来，培养学生观察、分析、比较的能力。使学生巩固有余数的除法的 2.借助小组合作探究摆小棒的操作，含义，并通过观察、比较、探索余数和除数的关系。理解余数比除数小的道理。使学生经历发现知识的 3.渗透借助直观研究问题的意识和方法，过程，感受学数学，用数学的快乐。教学重点：理解余数及有余数除法的含义，探索并发现余数和除数的关系。 教学难点：理解余数要比除数小的道理。 教学准备：课件、教具、小棒。教学过程：一、创设情境，初步感知（一）复习表内除法的意义所以摘我们的朋友小兔子要邀请我
2-2 综合除法、大除法.讲义学生版
板块一 综合除法、多项式除法 记号()f x 关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为 ()223f x x x =+-． 这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =?+-=，同样地，有 ()2020033f =?+-=-；()()()2 121132f -=?-+--=-等等． 用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等． 综合除法 在学习多项式除法时，我们有带余除法： ()()()()f x g x q x r x =?+ （1） 其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数． 如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有 ()()()f x x a q x r =-?+ （2） 当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算 2231 23573672 5 x x x x x x x x -++-+---- 所以，商式为31x -，余数为5-． 从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示． 3 5 72 6 2 3 1 5 +----- 商式为31x -，余数为5-． 这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下： ⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开． 例题精讲 综合除法和余数定理