考研数学模拟试题及答案

考研数学模拟试题及答

案

LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

模拟一

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数2

()ln(3)x f x t dt =

+?

则()f x '的零点个数（ ）

（A ）0

（B ）1 （C ）2

（D ）3

（2）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞

=，则（ ）

（A ）当

1n

n b

∞

=∑收敛时，

1n n

n a b

∞

=∑收敛. （B ）当

1

n

n b

∞

=∑发散时，

1

n n

n a b

∞

=∑发散.

（C ）当

1

n

n b

∞=∑收敛时，

221

n n

n a b

∞=∑收敛. （D ）当

1

n

n b

∞

=∑发散时，

221

n n

n a b

∞

=∑发散.

（3）已知函数()y f x =对一切非零x 满足0

2

()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则

（ ）

（A ）0()f x 是()f x 的极大值 （B ）0()f x 是()f x 的极小值

（C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点

（D ）0()f x 是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 （4）设在区间[a,b]上1()0,()0,()0(),b

a

f x f x f x S f x dx '''><>=

?，令

231

()(),[()()](),2

S f b b a S f a f b b a =-=+-则 （ ）

（A ）123S S S << （B ）213S S S << （C ）312S S S << （D ）231S S S <<

（5）设矩阵111111111A --?? ?=-- ? ?--??，100020000B ?? ?

= ? ???

，则A 于B （ ）

（A ） 合同，且相似

（B ）合同，但不相似 （C ） 不合同，但相似

（D ）既不合同，也不相似

（6）设,A B 均为2阶矩阵，**

,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵

O A B O ?? ???的伴随矩阵为（ ） （A ）**32O B A O ?? ???

（B ）**

23O

B A O ??

???

（C ）**32O A B O ??

???

（D ）**

23O A B

O ??

???

（7）设,,A B C 是三个相互独立随机事件，且0()1P C <<，则下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）

（A ）A B +与C （B ）AC 与C （C ）A B -与C （D ）AB 与C （8）设随机变量12,,(1),n n X X X >独立同分布，且其方差2

0σ>，令1

1n

i i Y X n ==∑，则

（ ）

（A ）21

cov(,)Y X n

σ= （B ）2

1cov(

,)Y X σ=

（C ）212()n D Y X n σ++=

（D ）2

11()n D Y X n

σ+-= 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数 20

3

sin ,0() ,0

x t dt x f x x a x ??≠=??

=??在0x =处连续，则a = （10

）

3

π=?

.

（11）设函数()y y x =由方程x y x y x sin )ln(3

2

+=+确定，则

0|x dy

dx

== （12）曲线x x x y 22

3

++-=与x 轴所围成的图形的面积A 为 .

（13））若4维列向量,αβ满足3T

βα=，其中T

β为β的转置，则矩阵T

αβ的非零特征值为 （14）设12,,

,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值

和样本方差。若2

X kS +为2

np 的无偏估计量，则k = 。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10

分）求极限lim x →+∞

（16）（本题满分10分）求微分方程???===+1

)0(',2)0()'(''22y y y

y y 的解

（17）（本题满分12分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足

2

3()()()2

a xf x f x x a =+

为常数，又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围的图形S 的面积值为2，求函数(),y f x =并问a 为何值时，图形S x 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. （18）（本题满分10分）就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-

sin 2

π

在开区间(0,)2π

内根的

个数，并证明你的结论. （19）（本题满分10分）求幂级数

()

1

21

121

n n n x n -∞

=--∑

的收敛域及和函数.

（20）（本题满分10分）已知向量组12301,2,1110a b βββ??????

??????===????????????-??????

向量组与向量组112,3α????=????-??230,1α??

??=??

????

3967α??

??=??

??-??

具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示求a ,b 的值.

（21）（本题满分10分）设二次型()2

2

2

123123122313,,222f x x x x ax x x x x x ax x =+++--的正负惯

指数都是1，试计算a 的值并用正交变换将二次型化为标准型 （22（本题满分10分））已知随机变量,X Y 的联合概率密度为

4,01,01(,)0,xy x y x y ?≤≤≤≤?=??其它，求,X Y 的联合分布函数(,)F x y

（23）（本题满分12分）设总体X 的概率密度为 2()2,()0,

x e x f x x θθ

θ--?>=?≤?若若

其中0θ>是未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本12,,

,n X X X ，记

^

12min(,,...,)n X X X θ=，

（1）求总体X 的分布函数()

F x ；

（2）求统计量^

θ的分布函数^()F x θ

；

（3）如果用^

θ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.

模拟二

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上.

（1

）设20()(),0

x f x x g x x >=≤?

，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0=x 处（ ）

（A ）极限不存在 （B ）极限存在，但不连续 （C ）连续，但不可导 （D ）可导

（2）“对任意给定的(0,1)ε∈，总存在正整数N ，当n N ≥时，恒有||2n x αε-≤”是数列

{}n x 收敛于α的 （ ）

（A ） 充分条件但非必要条件； （B ） 必要条件但非充分条件； （C ）充分必要条件； （D ） 既非充分条件也非必要条件； （3）设()f x 在(,)-∞+∞内可导，且对任意12x x 、，当12x x <时，都有)()(21x f x f >，则（ ）

（A ）对任意,()0.x f x '> （B ）对任意,()0.x f x '≤ （C ）函数()f x -单调增加 （D ）函数()f x --单调减少 （4）设(),()f x g x 在区间[,a b ]上连续，且()()f x g x m <<（m 不为常数），由曲线

(),(),y f x y g x x a ===及b x =所围成平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体积为

（ ） （A ）

[2()()][()()]b a

m g x f x g x f x dx π-+-? （B ）[2()()][()()]b

a

m g x f x g x f x dx π---?

（C ）

[()()][()()]b

a

m g x f x g x f x dx π-+-?

（D ）[()()][()()]b

a m g x f x g x f x dx π---?

（5）设A 为n m ?矩阵, B 为m n ? 矩阵, E 为n 阶单位矩阵, 若AB E = , 则（ ） （A ）(),()r A n r B n == （B ）(),()r A n r B m ==

（C ）(),()r A m r B n == （D ）(),()r A m r B m ==

（6）设向量组①：12,,,s ααα可由向量组②：12,,,t βββ线性表示，则（ ）

（A ）当s t <时，向量组②必线性相关 （B ）当s t >时，向量组②必线性相关 （C ）当s t <时，向量组①必线性相关 （D ）当s t >时，向量组①必线性相关

（7）设随机变量X 的分布函数20,

0,1(),01,31, 1.x x F x x e x -

=≤

则(1)P X ==（ ）

（A ）0 （B ）

13 （C ）113e -- （D ） 22

3

e -- （8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 是区间(0,1)是的均匀分布，Y 的概率分布为

{}{}1

012

P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间

断点个数为（ ） （A ）0

（B ）1

（C ）2

（D ）3

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.

（9））设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f xy y =，则2z

x y

?=??

（10）微分方程20xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . （11））曲线()()cos ln 1xy x y +-=在点()0,1-处的切线方程为 . （12）设(){}

2

22,,1x y z x

y z Ω=

++≤，则22()x z dxdydz Ω

+=???

（13）设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的3维列向量，12120,2A A αααα==+，

3232A ααα=+，则A 的非零特征值为

（14）设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则{}

2P X EX ≤=

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）求极限()20sin sin sin sin lim (1cos )x x x x x x →-????-.

（16）（本题满分10分）已知曲线22220

:35

x y z C x y z ?+-=?++=?，求曲线C 距离XOY 面最远的点和最

近的点.

（17）（本题满分10分）设函数()y x 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数，且

,0)0(,1)1(,0)1(===-f f f

证明：在开区间)1,1(-内至少存在一点,() 3.f ξξ'''=使

（18）（本题满分11分）将函数()2,11f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并计算

2

01n n ∞

=∑.

（19）（本题满分11

分）求半球面z =及旋转抛物面2

2

2az x y =+所围几何体的表面积.

（20）（本题满分10分）设矩阵????

?

?????---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.

（21）（本题满分10分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为

1,

11,02

(,)4

0,

x y f x y ?-≤≤≤≤?=???其他

求二次曲面222

12312132221f x x Yx x x Xx x =++++=为椭球面的概率.

（22）（本题满分11分）一个电子仪器由两个部件构成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命

（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为：

0.50.50.5()10,0(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+?--+≥≥=?

?

,

）其他

（1）问X 和Y 是否独立；

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率.

（23）（本题满分11分）设总体X 服从正态分布2

~(,)N μσ，其中参数μ已知，σ未知，

122,,...,n X X X 是来自总体X 的容量为2n

的简单随机样本，试问21

n

i X σμ==-是σ的无偏估计量吗？

模拟三

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上.

（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''><，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（ ） （A ）0.dx y <

（C ）0.y dy ?<< （D ）0.dy y

（2）设(,)f x y 为连续函数，则

1

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ?

?4

等于（ ）

（A

）0(,)x f x y dy ?

? （B

）00(,)f x y dy ?? （C

）

(,)y

f x y dx ?

（D

）0

(,)f x y dx ?

?

（3）设有三元方程2

2

ln 1xy

x z x y e --+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻

域，在此邻域内该方程（ ）

（A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =

（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = （C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = （D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =

（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）

（A ）若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. （B ）若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.

（C ）若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.

（D ）若{}()n f x 单调，则{}n x 收

敛.

（5）设123,,ααα是3维向量空间3

R 的一组基，则由基123,2,3ααα到基

122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ） （A ）101110221103

3?? ? ?

? ? ? ???

（B ）1011

021103?

?

?

?

? ?

? ???

（C ）10122

0033??

? ? ??

?

（D ）120023103?? ?

? ???

（6）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, ηξ,是A 的分别属于21,λλ的特征向量, 则（ ）

（A ）对任意0,021≠≠k k , ηξ21k k +都是A 的特征向量. （B ） 存在常数0,021≠≠k k , ηξ21k k +是A 的特征向量. （C ） 当0,021≠≠k k 时, ηξ21k k +不可能是A 的特征向量.

（D ）存在惟一的一组常数0,021≠≠k k , 使ηξ21k k +是A 的特征向量.

（7）两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与

黑球数之比为2:1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2:1，今任取一罐

并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的（ ）

(A) 154 (B) 254倍 (C) 798倍 (D) 1024

（8）已知(),X Y 服从二维正态分布，2

,EX EY DX DY μσ====，X 与Y 的相关系数

0ρ=，则X 与Y （ ）

（A ）独立且有相同的分布 （B ）独立且有不相同的分布 （C ）不独立且有相同的分布 （D ）不独立且有不相同的分布

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.

（9）31

2

11x e dx x

?＝_______

（10）设()2

0ln 1t

t x e y u du -?=?

?=+??

?，求220t d y dx == （11）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x

y C C x e =+，则非齐次方

程y ay by x '''++= 满足条件()()00,00y y '==的解为y =

（12）已知曲线L 的方程为1y x =-，[]1,1x ∈-,起点是()1.0-，终点是()1,0，则曲线积分

22L

y dx x dy +=?

（13）设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且2,3A B ==， 则=??

?

?

??--10

02B A T

（14）随机地向半圆a x ax y (202-<

<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与

区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

π

的概率为______.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9

分）求极限()

22

20

12lim cos sin x x x x e x

→+--

（16）（本题满分10分）在抛物线2

,(08)y x x =≤≤上求一点，使得该点的切线与直线

08y x ==与所围成的三角形面积最大

（17）（本题满分12分）设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且

()0>'x f ，若极限()a

x a x f a x --+→2lim 存在，证明： （1）在()b a ,内()0>x f ； （2）在()b a ,内存在ξ，使

()()

ξξ

f dx

x f a b b

a

22

2=

-?； （3）在()b a ,内存在与（2）中ξ相异的点η，使

（18）（本题满分10）设S 为椭球面12

222

2=++z y x 的上半部分，点()S z y x P ∈,,，π为S 在点P 处的切平面，()z y x ,,ρ为原点到π的距离，求(),,S

z

dS x y z ρ??

（19）（本题满分11分）设幂级数在负无穷到正无穷内收敛，其和函数()y x 幂级数为

n

n

a x

∑ ，且和函数240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===

（1） 证明：221

n

n a a n +=

+，1,2.3,......n = （2） 求()y x 的表达式

（20）（本题满分11分）设33()ij A a ?=是实矩阵，满足：

（1）()()(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 为元素ij a 的代数余子式； （2）331a =-； （3）1A =

求非齐次线性方程组001Ax ?? ?

= ? ???

的解

（21）（本题满分10）设有n 元实二次型，

()()()()()2222

12112223111,,...,...n n n n n n f x x x x a x x a x x a x x a x --=++++++++，其中

(1,2,...,)i a i n =为实数。试问：当12,,...,n a a a 满足何种条件时，二次型()12,,...,n f x x x 为

正定二次型

（22）（本题满分11分）设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形

(){},:13,13G x y x y =≤≤≤≤的均匀分布。试求随机变量U X Y =-的概率密度()p u

（23）（本题满分10分）设总体X 的概率密度为：3

60(),

(;)0,x

x x f x θθθθ?<<-?=???

其他

，其中

θ是未知参数，12,,...,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，

（1）求θ的矩估计量θ； （2）求()D θ.

模拟四

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上.

（1）函数11()tan ()()

x

x

e e x

f x x e e +=

-在区间[],ππ-上的第一类间断点是x =（ ）

（A ） 0 （B ） 1 （C ）2π- （D ）2

π （2）设函数(),()f x g x 任意阶可导，且满足

()()()()1,(0)1,(0)0x f x f x g x f x x e f f ''''++=-==,则（ ）

（A ）(0)1f =为()f x 的极小值 （B ）(0)1f =为()f x 的极大值?

（C ） 点(0,1)()y f x =的拐点

（D ）由()g x 才能()f x 的极值或拐点

（3）设(,)f x y 与(,)x y ?均为可微函数，且1(,)0y x y ?≠. 已知

00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）

（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.

（4）232112lim

[]n n

n i j i j

n

n →∞==+∑∑等于（ ）（[]x 表示不超过x 的最大整数） （A ）1

100

2[]dx x y dy +?

?. （B ）11

6[]dx x y dy +??.

（C ）

1

1

12[23]dx x y dy +??. （D ）1

1

6[23]dx x y dy +??

（5）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,,,,,,m n αααβααβα==

则四阶行列式32112,,,()αααββ+=（ ）

（A ） m n + （B ）()m n -+ （C ）n m - （D ）m n - （6）对于n 元方程组，下列命题正确的是 （ ）

（A ）如果0=Ax 只有零解，则Ax b =有唯一解 （B ）如果0=Ax 有非零解，则Ax b =有无穷解

（C ）如果Ax b =有两个不同解，则0=Ax 有无穷多解

（D ）Ax b =有唯一解的充要条件是()r A n = （7）设随机变量X 和Y 相互独立，且()0,1X

N ，(),,01Y B n p p <<。则X Y +的分布

函数（ ）

（A ）是连续函数 （B ）恰有1n +个间断点 （C ） 恰有1个间断点 （D ）有无穷多个间断点 （8）设()0,1X

N ，223Y X X =++，则X 与Y （ ）

（A ）独立且互不相关 （B ）互不相关但不独立 （C ） 相关 （D ）无法判断

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.

（9）极限2tan tan 2

lim

sin ln(1)

x x x →-=-

（10）微分方程2(1)

y x y x

-'=的通解为

（11）已知两直线的方程是112:

101x y z L --==-，2111

:111

x y z L +--==

，则过1L 且平行于2L 的平面方程为

（12）曲面y x z cos cos =，0=z ，2

π

=

+y x ，2

π

=

-y x 所围立体的体积为

（13）二次型2

123112233(,,)()f x x x a x a x a x =++的矩阵是

（14）甲、乙二人轮流投篮，游戏规则为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，

先投中者为胜。设甲、乙每次投篮的命中率分别是p 与0.5 ，则p =

时，甲乙胜

负概率相同

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）设101x <<，1n x +=

n n x ∞

→lim 存在，并求其值

（16）（本题满分10分）设()v u f ,具有二阶连续偏导数，且满足1222

2=??+??v

f

u f ， ()()

??

????-=2221,,y x xy f y x g ，求2

222y g x g ??+?? （17）（本题满分10分）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a b <<，证明：存在

ξ,(),a b η∈，使得 ()()''

2f f ab

ηξη=

（18）（本题满分10分）2()x

f x pe

x x -=+-，若对于一切的0x >，恒有()1f x ≥，问常数

p 最小应取什么值？

（19）（本题满分10分）将2

()2arctan ln(1)1f x x x x =-++展成x 的幂极数 （20）（本题满分10分）设()ij m n A a ?=，12(,,

,)T n y y y y =，12(,,,)T n b b b b =，

12(,,

,)T

n x x x x =，证明：方程组Ay b =有解的充分必要条件是方程组01T T A x b ????

= ? ? ?

????

无解（其

中0是1n ?矩阵）

（21）（本题满分12分）设三阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,1，1211,10a a αα???? ? ?

==- ? ? ? ?????

是A

的两个不同的特征向量，且122()A ααα+= （1）求参数a 的值； （2）求方程2Ax α=的通解；

（3）求矩阵A

（22）（本题满分11分）假设一设备开机后无故障工作时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间EX 为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F(y) （23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为

12,,X X …,n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.

（1）求参数θ的矩估计量θ.

（2）判断2

4X 是否为2

θ的无偏估计量，并说明理由.

模拟五

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）当0x →是地，下列无穷小中阶数最高的是（ ）

（A

（B ）3

4

5

345x x x -+

（C ）2

cos x e

x - （D ）2

1cos 0

sin x

t dt t

-?

（2）函数222sin y x x π=

-的不可导点个数为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （3）设

sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()

f ax dx a ?

等于（ ） （A ）3sin ax C a x + （B ）2sin ax C a x + （C ）

sin ax C ax + （D ）sin ax

C x

+ （4）设(,)f x y 是闭区域2

2

2

x y a +≤上的连续函数，则极限2

01

lim

(,)a D

f x y dxdy a π→??为（ ）

（A ） 0 （B ） ∞ （C ） (0,0)f （D ） 1 （5）设A 为n 阶方阵，B 是A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）

（A ）A B = （B ）A B ≠

（C ）若0A =，则一定有0B = （D ）若0A >，则一定有0B > （6）设,A B 为n 阶方阵，且()()r A r B =，则（ ）

（A ）()0r A B -= （B ）()2()r A B r A += （C ）()2()r AB r A = （D ）()()()r AB r A r B ≤+ （7）下列函数能作为分布函数的是（ ）

（A ）0,

11

(),1231,2x F x x x <-???=-≤≤??>?? （B ）0,0()ln(1),01x F x x x x

=+?≥?+?

（C ）0,

12(),1251,2x x F x x x <-??+?

=-≤

（D ）0,0()sin ,01,x F x x x x ππ

（8）设随机变量(,)x

B n p ，对任意01p <<

，利用切比雪夫不等式估计有

{P X np -≥≤（ ）

（A ）

12 （B ） 14 （C ） 18 （D ） 1

16

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.

（9）已知0

()

ln(1)

sin 2lim

531

x x f x x →+

=-，则20()lim x f x x →=

（10）曲线2

(1)y x x =-在点(1,0)处的曲率k = （11

）由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =

（12）若级数

21

(2)n

n a

∞

=+∑收敛，则lim n n a →∞

=

（13）设,A B 为三阶方阵，且112121011A ?? ?=- ? ???，41320211B k -?? ?

= ? ?-??

，且已知存在三阶方阵x ，

使得Ax B =，则k =

（14）在n 重伯努利试验中，若每次试验成功的概率为p ，则成功次数是奇数次的概率为 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）设连续函数()f x 在[1,)+∞单调减少，且()0f x >，若

1

1

()()n

n

n k u f k f x dx ==-∑?，

证明：lim n n u →∞

存在

（16）（本题满分10分）求(,)f x y xy =在圆周22

:(1)10L x y -+-=上的最大值和最小值 （17）（本题满分10分）过点1,02??

???且满足关系式(

)'arcsin 1x y +=的曲线方程

（18）（本题满分10分）求幂级数21

1n

n n x n ∞

=+∑的收敛域及和函数

（19）（本题满分12分）设函数()f x 连续且恒大于零，?????

+++=

Ω)

(2

2

)

(222)()()(t D t d y x

f dv

z y x f t F σ

，

?

??-+=

t t D dx

x f d y x f t G 1

2

)

(22

)()()(σ

，

其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+= （1） 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性； （2）证明当0t >时，).(2

)(t G t F π

>

（20）（本题满分10分）假设?????

???????--=????

??????=??????????=1111,010,1113102112ηb c a A . 如果η是方程组b Ax =的一个解, 试求b Ax = 的通解.

（21）（本题满分10分）设矩阵??????????=322232223A ，??

??

??????=100101010P ，P A P B *

1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*

A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.

（22）（本题满分10分）设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为???

? ??7.03.021

~X ,而Y 的

概率分布为)(y f ,试求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g

（23）（本题满分12分）设总体X 的概率密度为2()2,()0,

x e x f x x θθ

θ--?>=?≤?若若，其中0θ>是未知

参数.从总体X 中抽取简单随机样本12,,,n X X X ，记^

12min(,,...,)n X X X θ=，

（1）求总体X 的分布函数()

F x ；

（2）求统计量^

θ的分布函数^()F x θ

；

（3）如果用^

θ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.

数一模考1答案

一、选择题

（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）A 二、填空题

（9）13

a = （10）29(4)π- （11）1. （12）37

12 （13））3 （14）1-

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15

）求极限lim x →+∞

【解】：lim x →+∞

（16）求微分方程???===+1)0(',2)0()'(''22y y y

y y 的解

【解】：令dy dp p

y p y =='''，则得到 y p dy

dp

p

=+22 令u p =2, 得到

y u dy

du

=+为关于y 的一阶线性方程. 且1)]0('[)0(0|22====y p x u

解得 y ce y u -+-=1 所以 2)0(121)0(0

|1--+-=+-===ce ce y x u

y , 0=c .

于是 1-=y u , 1-±=y p

dx y dy

±=-1

, 112c x y +±=-, 2211c x y +±=-

2)0(=y , 得到

121=c , 得解 12

1+±=-x y （17）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足

2

3()()()2

a xf x f x x a =+

为常数，又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围的图形S 的面积值为2，求函数(),y f x =并问a 为何值时，图形S x 绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 【解】由题设知，当0,x =/时 即

()3,2

d f x a

dx x ??=???? 根据此并由()0f x x =在点处的连续性，得 又由已知条件得

即

.4a C -=

因此

.)4(2

3

)(2x a ax x f -+=

旋转体的体积为 得

5.a =-

又因

1

()015

V a ''=> 故5a =-时，旋转体体积最小.

（18）就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-sin 2

π

在开区间(0,)2π

内根的个数，并

证明你的结论. 【解】设()sin ,2

f x x x π

=-

则

()f x 在]2,0[π上连续.由()1cos 0,2f x x π

'=-=

得()f x 在)2,0(π内的02

cos x arc π

=唯一的驻点

由于当0(0,),()0,x x f x '∈<时

0(,)2

x x π

∈当时，()0.f x '> 所以()f x 在],0[0x 上单调减少，在]2,[0π

x 上单调增加，

因此0x 是()f x 在(0,)2π

内的唯一的最小值点，

最小值为000()sin .2

y f x x x π

==-

又因，

故在(0,)()2

f x π

内的取值范围为).0,[0y

00(,0),0k y k y k ?<≥故当即或时，原方程在)2

,0(π

内没有根；

当0k y =时，原方程在)2

,0(π

内有唯一根0x ；

当)0,(0y k ∈时，原方程在00(0,)(,)2x x π

和内各恰有一根，

即原方程在)2,0(π

内恰有两个不同的根。

（19）求幂级数()

1

21121

n n n x n -∞

=--∑

的收敛域及和函数.

解：因为 ()()2221

221lim

lim 21n n n n n n

x n u x u x n ++→∞→∞-==+，所以当21x <, 即11x -<<时，原幂级数绝对收敛.

当1x =±时，级数为1

1(1)21

n n n -∞

=--∑，由莱布尼兹判别法显然收敛，故原幂级数的

收敛域为[1,1]-.

又 11221

11

(1)(1)2121n n n n n n x x x n n --∞

∞

-==--=--∑∑

令 ()121

1(1)(),1,121

n n n f x x x n -∞

-=-=∈--∑ 则 ()()2112

1

1

(1)1n n n f x x x ∞

--='=-=

+∑ 由于()00f =，所以 ()()()0

0arctan x

f x f t dt f x '=+=?.

从而幂级数的收敛域为[1,1]-，和函数为 arctan ,[1,1]x x x ∈-.

（20）已知向量组12301,2,1110a b βββ??????

??????===??????

??????-??????向量组与向量组112,3α????=????-?? 230,1α????=??????3967α??

??=????-??

具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示求a,b 的值. 【解】 方法一：

因为12αα和线性无关，,23213ααα+=所以向量组123,,ααα线性相关，且秩为21,,2αα为它的一个极大线性无关组.

由于向量组123,,βββ与321,,ααα具有相同的秩，故123,,βββ线性相关. 从而行列式

由此解得3.a b =又3β可由321,,ααα线性表示，从而可由12,αα线性表示， 于是123,,ααβ线性相关. 因此有

化简得2100,b -= 于是.5.15==b a 方法二：

因3β可由123,,ααα线性表示，故线性方程组 有解，对增广矩阵施行初等行变换： 由非齐次线性方程有解的条件知 解得 5b = 又因为12,αα线性无关，21323ααα+=

所以向量组123,,ααα的秩为2，而题设321,,ααα与321,,βββ同秩， 从而有 由此解得

15.a =

（21）设二次型()222

123123122313,,222f x x x x ax x x x x x ax x =+++--的正负惯指数都是1，

试计算a 的值并用正交变换将二次型化为标准型。

【解】：二次型的矩阵为111111a A a a -??

?

=- ? ?--??

由二次型的正负惯性指数都是1，可知()2r A =，

2111

1(2)(1)011

a

A a

a a a -=-=-+-=--

所以2a =-，或1a =

又1a =时，显然()1r A =，故只取2a =- 此时(3)(3)E A λλλλ-=+- 所以A 的特征值是3,3,0-

当13λ=时，解方程组(3)0E A X -=，得基础解系为1(1,0,1)T α= 当23λ=-时，解方程组(3)0E A X --=，得基础解系为2(1,2,1)T α=-- 当30λ=时，解方程组(0)0E A X -=，得基础解系为3(1,1,1)T α=- 将123,,ααα单位化得

123,,T T T βββ===, 因此所求的正交变换为

所求的标准型为22

1233y y -

（22）已知随机变量,X Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,xy x y x y ?≤≤≤≤?=??其它，求,X Y

的联合分布函数(,)F x y

【解】：由分布函数的定义可知{}(,),F x y P X x Y y =≤≤，由于,X Y 只在区域

01,01X Y ≤≤≤≤上取值。

因此，当1,1x y ≥≥时，{}(,),1F x y P X x Y y =≤≤=， 当00x y <<或时，{}(,),0F x y P X x Y y =≤≤=。 当01,01x y ≤<≤<时， 当01,1x y ≤<≥时， 当1,01x y ≥≤<时，

则2200220,00

4,01,01(,)01,11,0111,1y x

x y dv uvdu x y x y F x y x x y y x y x y <

=≤<≥??≥≤

?≥≥??

??或，，， （23）设总体X 的概率密度为 2()2,()0,

x e x f x x θθ

θ--?>=?≤?若若