大学物理《普通物理学简明教程》第二章 牛顿定律

第二章 牛顿定律

问题解答

2-1 一车辆沿弯曲公路运行。试问作用在车辆上的力的方向是指向道路外侧，还是指向道路的内侧？

解 车辆在弯曲的公路上运行，即汽车作曲线运动，而物体做曲线运动需要一个指向曲率中心的向心力来维持，即作用在车辆上的力的方向指向道路的内侧。

2-2 将一质量略去不计的轻绳，跨过无摩擦的定滑轮。一只猴子抓住绳的一端，绳的另一个质量和高度均与猴子相等的镜子。开始时，猴子与镜在同一水平面上。猴子为了不看到镜中猴子的像，它作了下面三项尝试：（1）向上爬；（2）向下爬；（3）松开绳子自由下落。这样猴子是否就看不到它在镜中的像了吗？

解 （1）当猴子向上或向下爬时，猴子与镜子受力如右图所示。以地面为参考系，取向上为Oy 轴正方向。由牛顿定律分别列出它们的动力学方程

T1111F P m a -=

T2222F P m a -=

又T1T1

T2T2F F F F ''=== 且猴子与镜子的质量相等，即12P P =

由上可知，猴子与镜子运动的加速度大小相等，方向也相同，即在相等的时间内镜

子与猴子上升或下降的距离相等，它们始终处于同一水平面上。

（2）当猴子松开绳子自由下落，此时猴子在其自身重力作用下自由下落。在相等时间内它们下降相等的距离。

由以上分析可知，在这三种过程中，猴子与镜子始终处于同一平面上，所以猴子能看到镜子中自己的像。

2-3 如图所示，轻绳与定滑轮间的摩擦力可略去不计，且122m m =。若使质量为2m 的两个物体绕公共竖直轴转动，两边能否保持平衡？

解 三个物体的受力分析如下图所示，对于右边任意一个物体2m 有

P 2

T2F

T2'F T1'F F O

y

2T 2cos F P θ=

又右边绳中张力关系有

2T T 2cos F F θ=

所以 T 22122F P m g m g ===

可见竖直绳中张力正好等于左边物体的重力1P ，致使滑轮的两边能够保持平衡。

2-4 如图所示，一半径为R 的木桶，以角速度ω绕其轴线转动。有一人紧贴在木桶壁上，人与木桶间的静摩擦因数为0μ. 你知道在什么情况下，人会紧贴在木桶壁上而不掉下来吗？

解 人受力分析如图所示，他受到竖直向下的重力P 、沿壁向上的摩擦力f F ，还有桶壁对他的支持力N F 。其中支持力提供人随木桶绕轴转动所需的向心力。要使人紧贴在木桶壁上而不掉下来，即人受到的静摩擦力与重力平衡f F P =，这就要求人与木桶间的最大静摩擦力要大于人的重力，使人始终受到与自身重力平衡的静摩擦力。

由上分析可知 m f F mg > （1） 而m f F 随支持力N F （即角速度ω）变化而变化

m 2

f 0N 0F F m R μμω

== （2） 由（1）（2）式可得

ω>

N F

P

2

1T m m

2-5 一人站在电梯中的磅秤上，在什么情况下，他的视重为零？在什么情况下，他的视重大于他在地面上的体重？

解 人在磅秤上的受力如右图所示。由作用力与反作

用力，人在磅秤上的视重等于磅秤对人的支持力的大小。

要使视重大于人在地面上的体重P ，即N F P >

此时人应随电梯有一个向上的加速度。即此时电梯向上加

速运动。

2-6 在升降机中有一只海龟，如图所示。在什么情况下，海龟会“漂浮”在空中？

解 海龟在升降机中受自身重力P 和升降机底面对它

向上的支持力N F ，海龟随升降机一起运动，当海龟所受的支持力为零即N 0=F ，海龟会“漂浮”在空中，此时海龟随升降机向下加速运动，且加速度大小等于重力加速度值。

2-7 为测量车厢的加速度，有人提出这样一个办法，在车厢顶上悬挂一根长为l 细绳，绳下系一质量为m 的小球，并在竖直位置放一量角器（如图所示）。通过测量绳与竖直线的摆角θ可测出车厢的加速度。你知道其物理原理吗？

解 小球随车厢一起以加速度a 向前运动，以地面为参考系，建立坐标系Oxy ，小球受力如右图所示。 由牛顿定律，在x 轴、y 轴方向小球的动力学方程为

T sin F ma θ= （1）

T cos F P θ= （2）

由（1）（2）式可得，此时小球的加速度即车厢的加速度大小为

tan a g θ=

由上式可见，只要测量出绳与竖直线的摆角θ即可得到车厢的加速度。

a

P

y

习题解答

2-1 一木块能在与水平面成α角的斜面上匀速下滑。若使它以速率0v 沿此斜面向上滑动，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为

20(4sin )v g α.

证明 以木块为研究对象，其受力分析如图所示。以沿斜面向上为Ox 轴正向，由牛顿第二定律可得滑块沿斜面下滑、上滑时的动力学方程为

f f sin 0sin P F P F ma

αα-+=--=

其中，物块上滑时的加速度为一恒量，即物块作匀变速直线运动，假设物块能上滑的最大距离为s ，此时速度为零。其运动学方程为

22002v as -=

由上述三式可得木块能向上滑动的距离为 22002sin )s v a v g α=-=

2-2 假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态，一昼夜的时间有多长？

解 赤道上的物体随地球自转作圆周运动，当其作圆周运动所需的向心力仅由重力提供时，物体处于失重状态，即

2mg mR ω=

R 为地球半径，此时地球自转的角速度为

ω所以地球自转一昼夜所要的时间为

322 5.0610s 1.4h T π

ω

=

==?≈

2-3 一枚质量为3

3.0310kg ?的火箭，在与地面成58.0倾角的发射架上，点火后发动机以恒力61.2kN 作用于火箭，火箭的姿态始终以与地面成58.0的夹角飞行。经48.0s 后关闭发动机，计算此时火箭的高度及距发射点的距离。（忽略燃料质

P

N F f F

0v

0v

N F

f F

P

量和空气阻力）

解 如图，以地面为参考系，在火箭飞行的竖直平面内建立Oxy 坐标系，由题意分析，火箭在飞行的过程

中始终受重力P 和与水平面成θ角的恒定推力F 的作用，由牛顿定律得其动力学方程为 m +=F P a 将上式分解到x 、y 坐标中得

cos x F ma θ= （1）

sin y F mg ma θ-= （2）

又由于加速度恒定不变，火箭在水平、竖直方向均作匀变速直线运动，由运动学方程可得，火箭经过48.0s t =后到达位置Q 点的坐标为

212x x a t =

，21

2

y y a t = （3） 由（1）（2）（3）式，可得

4

1.2310m x =?，3

8.4410m y =?

火箭距发射点O 的距离为

41.4910m s =?

2-4 图示一斜面，倾角为α，底边AB 长为 2.1m l =，质量为m 的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动，斜面的摩擦因数为0.14μ=. 试问，当α为何值时，物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？

解 如图，取斜面顶点处为原点O ，沿斜面向下为x 轴正方向。由牛顿定律，物体在x 轴方向有

f sin P F ma α-=

即 s i n c o s m g m g m a

αμα-= ()s i n c o s a g αμα=- （1） 又物体沿斜面向下做匀变速运动，所以有 21cos 2

l at α= 由（1）式得

O

t =

（2）

当物体在斜面上下滑时间最短时，有 0dt d α=，由（2）式可得

()()sin sin cos cos cos sin 0ααμαααμα--++=

即 tan 21

αμ=-，49α=

将α值代入（2）式，可得下滑的最短时间为

0.99s t =

2-5 工地上有一吊车，将甲、乙两块混凌土预制板吊起送至高空。甲块质量为

21 2.0010kg m =?，乙块质量为22 1.0010kg m =?. 设吊车、框架和钢丝绳的质量

不计。试求下述两种情况下，钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力：（1）两物块以2

10.0m s -?的加速度上升；（2）两物块以2

1.0m s -?的加速度上升。从本题的结果，你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗？

解 取竖直向上为Oy 轴正向，要求钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力，我们分别以甲、乙整体和乙为研究对象，其受力分析如右。其中T F 为框架整体所受的钢丝绳对它的拉力，即绳中张力。N F 是物体乙受到的物体甲对它的支持力。 当物块以加速度a 上升时，由牛顿定律，对于甲、乙整体有

()()T 1212F m m g m m

a -+=+ 对于物体乙

N 22F m g m a -= 由上两式可得

()()T 12F m m a g =++ （1）

()N 1F m a g =+ （2）

（1）两物块以2

10.0m s -?的加速度上升时，由以上（1）可得绳所受的张力的值为

2

1

O

y

3T 5.9410N F =?

由（2）式得甲对乙的作用力的值为

3N 1.9810N F =?

由牛顿第三定律，乙对甲的作用力为

3N

N ( 1.9810N)'=-=-?F F j （2）两物块以2

1.0m s -?的加速度上升时，绳所受的张力值为

3T 3.2410N F =?

乙对甲的作用力为

3N

N ( 1.0810N)'=-=-?F F j 由上述结果可知，在起吊重物时，物体的加速度越大，绳中所需的张力越大，物体

的加速度越小，绳中所需的张力越小。因此，起吊重物时必须缓慢加速，以确保起吊安全。

2-6 如图所示，已知两物体A 、B 的质量均为

3.0kg m =，物体A 以加速度21.0a m s -=?运动，

求物体B 与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）

解 物体和滑轮受力分析如右图所示。由牛顿定律得物体A 、B 及滑轮的动力学方程为

A A TA m g F m a -= TB

f B F F m a ''-= TA

TB 20F F '-= 其中

22 2.0m s a a -'==?，A B 3.0kg m m m ===

由牛顿第三定律有

TA

TA F F '= ，TB TB F F '= 综合上式可得物体B 与桌面的摩擦力为

f 57.2N 2

mg ma F -==

a

TB

'F a

2-7 质量为m '的长平板以速度v '在光滑平面上作直线运动，现将质量为m 的木块轻轻平稳地放在长平板上，板与木板之间的动摩擦因数为μ，求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？

解 木块与平板的受力分析如右图所示，以地面为参考系，由牛顿定律可得木块与平板的动力学方程分别为

f F m a = （1）

f F m a '''=

（2） 且 f f F F mg μ'=-=

（1）、（2）中a 、a '分别是木块和平板相对地面运动的加速度。若以长平板为参考系，平板运动的方向为Ox 轴正方向，则木块相对于平板的加速度为0a a a '=+，它相对于平板作初速度为0-v 的匀减速运动，直到停止在长平板上，假设木块在平板上滑行的距离为s ，由匀变速直线运动规律，

202v as -= （3）

由（1）、（2）及（3）式可得

()

22m v s g m m μ''='+

2-8 在一只半径为R 的半球形碗内，有一粒质量为m 的小钢球，当小球以角速

度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？

解 由题意分析可得，小球在水平面内作匀速圆周运动的向心力由碗内壁对它的支持力N F 在水平面上的分量提供。取钢球和碗中心轴线所在的平面为坐标面，如图建立坐标系Oxy .

取钢球为隔离体，其受力分析如图所示，其中支持力N F 垂直于碗壁，且总在坐标平面内。其动力学方程为

2N cos cos F mR θωθ= N sin F mg θ=

'x

y

其中 sin R h

R θ-=

由以上三式可得，钢球距碗底的高度为

2

g

h R ω

=-

2-9 一质量为m 的小球最初位于如图所示的A 点，然后沿半径为r 的光滑圆轨道ADCB 下滑。试求小球到达点C 时的角速度和对圆轨道的作用力。

解 小球受力分析如图所示，它受重力P 和轨道对它的支持力N F . 取自然坐标系，由牛顿定律，小球的切向和法向运动方程为

t sin dv

mg ma m

dt

α-== （1） 2

N n cos mv

F mg ma r

α-== （2） 又

dv dv ds dv

v dt ds dt ds

=?= ，ds rd α= 代入（1）式得 sin vdv rg d αα=- （3）

又小球从A 运动到C ，速度由0到v ，角度由0到2πα??

+

???

，对（3）式两边积分 0

90

sin v

vdv rg d α

αα-=-?

?

所以

v =则小球到达C 点的角速度为

v

r ω==

由（2）式得，此时小球受到轨道对它的支持力为

2

N cos 3cos mv F mg mg r

αα=+=

由牛顿第三定律得，小球对圆轨道的作用力为

N

N n 3cos mg α'=-=-F F e

t

2-10 轻型飞机连同驾驶员总质量为31.010kg ?. 飞机以1

55.0m s -?的速率在水平跑道上着陆后，驾驶员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数

215.010N s α-=??，求：（1）10s 后飞机的速率；（2）飞机着陆后10s 后内滑行的

距离。

解 如图，取飞机沿水平轨道运动的方向为Ox 轴正方向。由牛顿定律，飞机的动力学方程为

f dv

F m dt

-= （1）

由题意可知，飞机所受的阻力大小与时间的关系为

f F t α= （2）

由（1）、（2）式得， d v t d t m

α

=-

考虑到初始条件，将上式积分可得t 时刻飞机的速率为

202v v t m

α

=-

当10s t =时，飞机的速率为 130.0m s v -=?

又由

020002x

t t x dx vdt v t dt m α??

==- ??????可得时间t 内飞机滑行的距离 3006s x x v t t m

α

=-=-

将10s t =代入上式可知飞机着陆10s 后滑行的距离为

467m s =

2-11 质量为m 的跳水运动员，从10.0m 高台上由静止跳下落入水中。高台与水面距离为h . 把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为2

bv ，其中b 为一常量。若以水面上一点为坐标原点O ，竖直向下为

Oy 轴，求：（1）运动员在水中的速率v 与y 的函数关系；（2）若1

0.40m b m -=，

跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v 减少到落水速率0v 的110？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等。）

f F

y

解 （1）如右图，运动员从高台跳下作自由落体运动，由运动学公式当他落到水面时速度为

0v =入水后，运动员受到其自身的重力P ，浮力F 和水对他的阻力f F 的作用。由牛顿定律，运动员入水后的动力学方程为

f dv

mg F F ma m dt

--==

其中2f F bv =，F P mg ==，并且

dv dv dy dv

v dt dy dt dy

=?= 代入上式整理得 dv b

dy v m

=- 考虑到入水时的初速度0v ，对上式两边积分

00v

y

v dv b dy v m =-??

所以运动员在水中的速率v 与y 的函数关系为

0b b m

m

y y v v e

--==

（2）由第（1）问关系式结果可得

ln m v y b v =-

将

10.40m b

m -=及010

v v =代入上式得此时运动员下沉的距离为 ln 0.1m =5.76m 0.4

y =-

2-12 质量为45.0kg 的物体，由地面以初速1

60.0m s -?竖直向

上发射，物体受到空气的阻力为r F kv =，且1

0.03N (m s )k -=?.（1）求物体发射到最大高度所需的时间；（2）最大高度为多少？

解 （1）如图，取地面上一点为原点O ，竖直向上为Oy 轴正

方向。物体受到重力和阻力的作用由初速度0v 竖直向上减速运动，到达最高处时速度为零。

由牛顿定律，物体的动力学方程为

r dv

F mg ma m

dt

--== （1） 将阻力r F kv =代入上式整理得 m

dv dt kv mg

-

=+

考虑到初始条件，对上式积分

00

t v m

dv dt kv mg -=+?? 0ln 1 6.11s kv m t k mg ??

=

+≈ ???

即物体发射到最大高处所需的时间约为6.11s .

（2）将

dv dv dy dv

v dt dy dt dy =?=代入到（1）式整理得 mv

dy dv kv mg

=-

+

对上式积分可得物体上升的最大高度为

00

0v mv

h y dv kv mg

=-=-+?

即 00ln 1183m kv m h mg kv k mg ?

???=-+-=?? ?????

2-13 质量为m 的摩托车，在恒定的牵引力F 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是m v . 试计算从静止加速到m 2v 所需的时间以及所走过的路程。

解 由题意可设车所受的阻力与速度的函数关系

为 2

f F k v =，摩托车在牵引力与阻力的共同作用作加

速运动，随着速度增大，阻力也增大，阻力与牵引力方向相反，所以摩托车的加速度不断减小，当阻力增加到

与牵引力大小相等时，加速度为零，此时摩托车达到最大速率。

F v

取摩托车初始位置为原点O ，运动方向为Ox 轴正方向。由牛顿定律列出摩托车的动力学方程

2dv

F kv ma m

dt

-== （1） 由前面分析可知，当阻力与牵引力相等时，即加速度为零时，摩托车达到最大速率m v

2m F kv = （2）

由（2）式可知 2m k F v = ，将其代入（1）式整理得

1

22m 1m v dt dv F v -??

=- ???

（3）

对上式两边积分，速度从0到m 2v

m 2

1

220

m 1v t

m v dt dv F v -??

=

- ???

?

? 即 m

ln 32mv t F

= 又由

dv dv

v dt dx

=，联合（3）式整理可得 1

22m 1m v dx vdv F v -??

=- ???

考虑初始条件对上式积分可得

m 21

220

0m 1v x

m v x vdv F v -??

=- ???

?

?

即 22

m m 4ln 0.14423mv mv x F F

=≈