完整word版,分离变量法习题

第十章习题解答

1 求解混合问题

???====><<=-)()0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(02x x u x u t l u t u t l x u a u t xx tt ?，其中???

??<≤++<<--≤<=l

x c c x c v c x x δδδδ?000)(0

解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为)()(),(t T x X t x u =，则，

)()(),(),

()(),(t T x X t x u t T x X t x u xx tt ''=''=

代入混合问题中的微分方程可得：

λ-=''=''?

=''-'')

()

()()(0)()()()(22

t T t T a x X x X t T x X a t T x X 由初始条件可得：0)()0(0)()(),()()0(),0(==?====l X X t T l X t l u t T X t u 由此可得，)(x X 为如下常微分方程边值问题的非零解：

?==<<=+''0

)(,0)0()0(0)()(l X X l x x X x X λ

若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 )ex p()ex p()(21x c x c x X λλ-+=，

代入边值条件后可得0)(021≡?==x X c c ，不符合要求。若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c c x X 21)(+=，

代入边值条件后仍可得0)(021≡?==x X c c ，不符合要求。若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 x c x c x X λλsin cos )(21+=，代入边界条件后可得：

x c x X c c c X λλλsin )(00sin 0cos )0(2121=?==+=，

2,0sin 0)(,0sin )(??

??===?≠==l n l x X l c l X n πλλλλ，

所以可取 ),2,1(sin

)()(Λ===n l

x n x X x X n π

由)(t T 所满足的方程可得： l

n b l at n a t T t T t T a

t T n n n ππλsin

cos

)()(0)()(22

+==?=+''，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 l

n l at n b l at n a t T x X t x u t x u n n n n n πππsin

)sin cos ()()(),(),(+===，设原混合问题的解函数为 ∑+∞

=+=

sin )sin cos

(),(n n n

x n l at n b l at n a

t x u πππ，则由初始条件可得：),2,1(0sin

)0,(01

Λ==?=

=∑+∞

=n a l

n a x u n n n π ∑

+∞

sin cos ),(n n t l x

n l at n b l a n t x u πππ， ?∑=?=

=+∞

-l n n n t dx l x

n x a n b l x n b l at n x u x 01

sin )(2sin )0,()(π?πππ?， ))

(cos )((cos 2sin 22

200l c n l c n a

n l v dx l x n v a n b c c n δπδππππδδ+--==

?+- （*）所以，原混合问题的解为 ∑+∞

==1

sin sin

),(n n l

n l at n b t x u ππ，其中的n b 由（*）给出。 2 求解混合问题

??====><<=-）

E x u x u t l u E t u t l x u a u t xx tt 为常数(0)0,(,0)0,(0),(,),0()

0,0(02

解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设

)(),(),()(),(),(x l l

t x v t x u x l l E t x u t x v -+=?--

=，则 ),(),(),,(),(),,(),(t x u t x v t x u t x v t x u t x v tt tt t t xx xx ===，

0),(),(),(),(2

2=-=-t x u a t x u t x v a t x v xx tt xx tt ，

00),(),(,0),0()0(),0(),0(=-==-=--

=t l u t l v E t u l l E

t u t v ， 0)0,()0,(),()()0,()0,(==--=--=x u x v x l l

x l l E x u x v t t ，

所以，),(t x u 是原混合问题的解的充要条件是：),(t x v 是如下混合问题的解：

???

???=--===><<=-0),(),()0,(0),(,0),0()0,0(0),(),(2

t x v x l l E x v t l v t v t l x t x v a t x v t xx tt （*）

用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得： ∑+∞

=+=

sin )sin cos

(),(n n n l

n l at n B l at n A t x v πππ，代入初始条件可得：， 0=n B ， ),2,1(2sin )(20Λ==-=

?n n E dx l x n x l l E l A l n π

所以，∑+∞

sin cos 2),(n l x n l at n n E t x v πππ，原混合问题的解函数为∑+∞

=--=1sin cos 2)(),(n l x

n l at n n E x l l E t x u πππ

3 求解下列阻尼波动问题的解：

??====><<=-+)

()0,(),()0,(0),(,0),0()

0,0(022x x u x x u t l u t u t l x u a hu u t x xx t tt ψ?

其中，h 为正常数，且l

a h 2π<

。解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边

界条件： )()(),(t T x X t x u =

则容易算得：)()(),(),()(),(),()(),(t T x X t x u t T x X t x u t T x X t x u tt t xx ''='=''=，

代入方程后化简可得：

λ-=''='+'')()

()

()(2)(2x X x X t T a t T h t T 0)0()()0(),0(0=?==X t T X t u ， 0)()()(),(0='?'==l X t T l X t l u x ， 0)()(2)(2

=+'+''t T a t T h t T λ

??='==+''0)(,0)0(0

)()(l X X x X x X λ，

由)(x X 的非零性可得0>λ，此时，x c x c x X λλsin cos )(21+=，

x c x X c c c X λsin )(00sin 0cos )0(2121=?=?+=，取12=c 得：2

2120cos )(,

sin

)(??

??-==?=='=πλλλλλl n l l X x x X n

将λ代入)(t T 所满足的方程可得：0)(12)(2)(2

=??

??-+'+''t T a l n t T h t T π

222

2)12(02122??? ??--±-==?=??? ??-++l a n h h a l n h n πμμπμμ ),2,1(2)12(2)12(22

Λ=-??

? ??-±-=?-<

h n πμππ 从而有： )sin cos ()()(t B t A e t T t T n n n n ht

n ββ+==-，

其中 ()),2,1(2122

Λ=-??

? ??-=n h

l a n n πβ，（1）

设原混合问题的解函数为： ∑+∞

=--+=

2)12(sin

)sin cos (),(n n n n n ht

x l

n t B t A e

t x u π

ββ， ∑+∞

=-=

2)12(sin

)0,()(n n x l

n A x u x π

?，而 2

2)12(cos 1(212)12(sin 002

dx l x n dx l x n l l

=--=-??ππ，

所以 ),2,1(2)12(sin )(20Λ=-=?n dx l

n x l A l n π? （2）

∑+∞

=--+-+-=1

2)12(sin

))sin )(cos )((),(n n n n n n n n n ht t l

n t A hB t B hA e t x u πββββ ∑+∞

=-+-=

2)12(sin

)()0,()(n n n n

t l

n B hA

x u x πβψ， )2)12(sin )(2(1

0?-+=l n n n dx l

x n x l hA B πψβ。（3）所以，原混合问题的解是∑+∞

=--+=1

2)12(sin

)sin cos (),(n n n n n ht x l

n t B t A e t x u π

ββ，其中的 n n n B A ,,

β分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。

4 求解混合问题

???

-====><<+++=C GE x u E x u t l u t u t l x GRu u RC LG LCu u t x t tt xx )0,(,)0,(0

),(,0),0()

0,0()(

其中L 、C 、G 、R 为常数，且LG=RC 。（提示：作函数变换),()/exp(),(t x v L Rt t x u -=）

解：记L

C G b LC a ===

,12

，混合问题的微分方程两边同除LC ，方程可化为 ),(),(2),(),(2

2t x u b t x bu t x u t x u a t tt xx ++=，

))ex p(),(())ex p(),((22

222

bt t x u t

bt t x u x a ??=??，设)exp(),(),(bt t x u t x v =，则有 ),(),(2

t x v t x v a tt xx =，

而且，)ex p(),()ex p(),(),(),ex p(),(),(bt t x bu bt t x u t x v bt t x u t x v t t x x +==，所以 0)ex p(),(),(,

0)ex p(),0(),0(====bt t l u t l v bt t u t v x x ，

0)0,()0,()0,(,

)0,()0ex p()0,()0,(=+===?=x bu x u x v E x u b x u x v t t ，

所以，若),(t x u 是原混合问题的解函数，则),(t x v 是如下混合问题的解函数：

??====><<=-0

),(,)0,(0

),(,0),0()

0,0(0

),(),(2t x v E x v t x v t v t l x t x v a t x v t x xx tt

用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为 )()(),(t T x X t x v =，则 )()(),(t T x X t x v x '=， ),()(),(),()(),(t T x X t x v t T x X t x v xx xx ''=''=

λ-=''='')

()

()()(2t T a t T x X x X 由齐次边界条件可得，)(x X 为如下定解问题的解：

??+=?='==+''x c x c x X l X X x X x X λλλsin cos )(0)(,0)0(0

)()(21，

00)0(1=?=c X ，取12=c 得x x X λsin )(=，

),2,1(2)12(0cos )(2

Λ=?

??-==?=='n l n l l X n πλλλλ，

l at

n B l at n A t T t T t T a t T n n n n 2)12(sin 2)12(cos )()()

()(2ππλ-+-==?=''，

),2,1(2)12(sin )()(Λ=-==n l

n x X x X n π，

设 ∑+∞

=--+-=

2)12(sin )2)12(sin 2)12(cos

(),(n n n l

n l at n B l at n A t x v πππ

代入初始条件可得：0,)12(42)12(sin

)0,(20=-=-=?n l n B n E

dx l x n x v l A π

π，所以 ∑+∞

=---=

12)12(sin 2)12(cos )12(4),(n l x

n l at n n E t x v πππ

所以，原题目所给的混合问题的解函数为： ∑+∞

=----=1

2)12(sin 2)12(cos )12(4)ex p(),(n l x

n l at n n E bt t x u πππ。 5 用固有函数法求解

??====><<=-0

)0,(,0)0,(0),(,0),0()

0,0(),(2x u x u t l u t u t l x const g u a u t x xx tt

解：用分离变量法：设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非

零解函数：)()(),(t T x X t x u =，利用分离变量法的标准步骤可求得：

),2,1(2)12(sin

)()(,

2)12(2

Λ=-==??

??-==n l

n x X x X l n n n ππλλ

将g t x f =),(展开成)(x X n 的广义Fourier 级数如下： π

π)12(42)12(sin 2)(),(2)(00-=-==

??n g

dx l x n g l dx x X t x f l t f l l n n ，

)2)12(cos 1()12(16)()(0

)0(,0)0()()()(2

332l at

n a n gl t T t T T T t f t T a t T n n n ππλ---==????='==+'' [注：方程)()()(2

t f t T a t T n =+''λ的通解为

33)12(162)12(sin 2)12(cos

)(a n gl

l at n B l at n A t T n n n πππ-+-+-=，

代入初始条件即可得此处的结果。] 所以，题目所给的混合问题的解函数为

∑

∑----==+∞

=l x

n l at n a

n gl x X t T t x u n n n 2)12(sin )2)12(cos 1()12(16)()(),(2

331

πππ。 6．求解混合问题??

??===><<=-)

()0,(0),(,0),0()

0,0(0),(),(02const u x u t l u t u t l x t x u a t x u x xx t 。

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非

零解函数：)()(),(t T x X t x u =，则 )()(),(),()(),(),

()(),(t T x X t x u t T x X t x u t T x X t x u xx x t ''='='=，

代入方程后化简再由边界条件可得：

0)()(,0)()()()

()

()(222

=+''=+'?-=''='x X a x X t T a t T x X x X t T a t T λλ

0)(0)()(),(,

0)0(0)()0(),0(='?='==?==l X t T l X t l u X t T X t u x ，

所以，)(x X 为如下常微分方程边值问题的非零解函数：

?='=<<=+''0

)(,0)0()

0(0)()(l X X l x x X x X λ

解之得 ),2,1(2)12(sin

)()(,

2)12(2

Λ=-==??

??-==n l

n x X x X l n n n ππλλ，

)2)12(exp()()(0)()(2

2t l a n A t T t T t T a t T n n n ???

??--==?=+'πλ。

设原问题的解函数为 ∑∞

+=-???

??--=1

2)12(sin

)2)12(exp(),(n n l x n t l a n A t x u ππ，由初始条件可得： ∑+∞

=-=

02)12(sin

)0,(n n l

n A x u u π，由此可得： ),2,1()12(42)12(sin

2000Λ=-=-=?n n u dx l x

n u l A l n π

π，

所以， ∑∞

+=-???

??---=12

02)12(sin

)2)12(exp()12(4),(n l x n t l a n n u t x u πππ

7．求解混合问题??

?==+=)()0,(0),(),(,0),0(x x u t l u t l u t u x xx t ?σ

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非

零解函数：)()(),(t T x X t x u =，则 )()(),(),()(),(),

()(),(t T x X t x u t T x X t x u t T x X t x u t xx x '=''='=，

代入方程后化简，并由边界条件可得： 0)()(,

0)()(2

=+''=+'x X x X t T a t T λλ，

0)0(0)()0(),0(=?==X t T X t u ，

0)()(0)())()((),(),(=+'?=+'=+l X l X t T l X l X t l u t l u x σσσ，所以，)(x X 为如下常微分方程边值问题的解函数：

??=+'=<<=+''0)()(,0)0()0(0)()(l X l X X l x x X x X σλ

由),(t x u 是非零解可得：x c x c x X λλλsin cos )(021+=?> )1(sin )(00)0(21==?=?=c let x x X c X λ，

λλσλλσ-

=?=+=+'l l l l X l X tan 0sin cos )()( 设 ),2,1(0tan Λ=>=?-

=n l n ββσ

β，则2n n βλλ== 所以，x x X x X n n βsin )()(==，

),2,1()

)(ex p()()(0)()()(2

2Λ=-==?=+'n t a A t T t T t T a t T n n n n ββ，

设原混合问题的解函数为 ∑+∞

=-=

2sin ))(ex p(),(n n n n

x t a A

t x u ββ，

利用{})(x X n 的正交性可求得 ),2,1(sin sin )(0

Λ==

??n xdx

xdx x A l

ββ?。

[注]：可以证明：{})(x X n 具有正交性。

8．求解混合问题??

?===0)0,(),(,),0(u

x u t l u t u xx t μλ，

其中，0,,u μλ为常数。

解：作函数变换 )(),(),()(),(),(x l

t x v t x u x l

t x u t x v λ

μλλ

μλ-+

+=?-+-=，

则 ),(),(),

,(),(t x v t x u t x v t x u xx xx t t ==，

0),(,0),0(),(,),0(==?==t l v t v t l u t u μλ， )()0,()0,(00x l

u x v u x u λ

μλ-+

-=?=

所以，),(t x u 是原混合问题的解的充要条件是),(t x v 是如下混合问题的解：

（*） ???

???-+-===><<=-)()0,(0),(,0),0()0,0(0),(),(02

x l u x v t l v t v t l x t x v a t x v xx t λμλ

用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

)exp()()(,sin )()(2

t l a n A t T t T l x n x X x X n n n ???

??-====ππ，

∑∑∞

+=∞

+=?

??-==1

1sin )exp()()(),(n n n n n l x n t l a n A x X t T t x v ππ，代入初始条件可得：∑+∞

===-+

-1

0sin

)0,()(n n l

x n A x v x l

u πλ

μλ 由{})(x X n 的正交性可得：?-+-=l n dx l

x n x l u l A 00sin ))((2πλμλ， ),2,1())()1()((2

00Λ=--+-=

n u u n A n n μλπ

，所以，∑∞

+=???

??---+-=1

00sin

)exp())()1()((2),(n n l x n t l a n u u n t x v ππμλπ )(),(),(x l

t x v t x u λ

μλ-+

+=。

9．求解 ?

??===-=><<=++∞

→0

),(,0),0(0

),(lim ),()0,()

0(0),(),(y a u y u y x u a x x x u y a x y x u y x u y yy xx 。

解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变

量形式非零解： )()(),(y Y x X y x u =，则 )()(),(),

()(),(y Y x X y x u y Y x X y x u yy xx ''=''=，

0)()()()(),(),(=''+''=+y Y x X y Y x X y x u y x u yy xx ，

0)()(,0)()()

()

()()(=-''=+''?-=''-=''y Y y Y x X x X y Y y Y x X x X λλλ， 0)0(0)()0(),0(=?==X y Y X y u ， 0)(0)()(),(=?==a X y Y a X y a u ，所以，)(x X 为如下常微分方程边值问题的解函数：

???==???

??==?===+''a

n x X x X a n a X X x X x X n n ππλλλsin

)()(,

0)(,0)0(0)()(2，从而有：),2,1()exp()exp()()(Λ=-+==n a

n B a y n A y Y y Y n n n ππ 又由另一个边界条件可得：

)exp()(00)()(lim ),(lim a

n B y Y A y Y x X y x u n n n n n y n y π-

=?=?==+∞

→+∞

→，设原定解问题的解函数是∑∑+∞

=+∞=-

sin )ex p(),(),(n n n n a

n a y n B y x u y x u ππ，则 ?=

-?-=∑+∞

sin

)()()0,(n n

n B

a x x a x x x u π ),2,1()1)1((22sin )(23330Λ=--=-=?n n a a dx a x n a x x a B n

a n π

π，所以， ∑+∞

=---=1

sin )ex p(1)1(4),(n n a x n a y n n a y x u πππ。 10．求解边值问题：

???

====<<<<=+a x a x b x u x u y a u y u b y a x y x u y x u yy xx πsin ),(,0)0,(0),(,0),0()0,0(0),(),(。

解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下分离变量形式的满足齐次

边界条件的非零解： )()(),(y Y x X y x u =，

则有： )()(),(),()(),(y Y x X y x u y Y x X y x u yy xx ''=''=，

0)()(,0)()(0)

()

()()(=-''=+''?=''+''y Y y Y x X x X y Y y Y x X x X λλ， 0)0(0)()0(),0(=?==X y Y X y u ，同理 0)(=a X ，所以，)(x X 是如下二阶常微分方程边值问题的解函数：

???=???

??==?===+''a

n x X a n a X X x X x X n n ππλλλsin

)(,

0)(,0)0(0)()(2

， a

n B a y n A y Y y Y y Y y Y n n n n ππλsinh

cosh )()(0)()(+==?=-''，设原定解问题的解为：∑+∞

=+=

sin )sinh cosh

(),(n n n a

n a y n B a y n A y x u πππ，则 ),2,1(0sin

)0,(01

Λ==?=

=∑+∞

=n A a

n A x u n n n π， ∑+∞

===1

sin sinh ),(sin n n a x

n a b n B b x u a x a x πππ，

所以， ?-=

a n dx a

n a x a x a b n a B 01sin sin )(sinh 2πππ

),3,2()1()1(1)1()1(1sinh 221

Λ=???

? ??----+--?

? ??=-n n n a b n n

n ππ

011sinh 2sin sin )(sinh 2--??? ?

==?a b dx a x a x a x a b a B a ππππ。

所以，原定解问题的解函数为∑+∞

==1

sin sinh

),(n n a

n a y n B y x u ππ，其中的n B 由以上式子给出。 11．求解边值问题

??====<<<<=+0),(,0)0,(0),(,0),0()

0,0(),(),(b x u x u y a u y u b y a x k y x u y x u yy xx ，

提示：令),(),(),(x w y x v y x u +=而)(x w 满足条件0)()0(,)(===''a w w k x w 。

解：令),(),(),(),(2

),(y x w y x u y x v a x x k

y x w -=-=

，则 k y x u y x w y x u y x v xx xx xx xx -=-=),(),(),(),(， ),(),(),(),(y x u y x w y x u y x v yy yy yy yy =-=

所以， 0),(),(),(),(=+?=+y x v y x v k y x u y x u yy xx yy xx ， 0),(,0),0(0),(,0),0(==?==y a v y v y a u y u ， )(2

),(),(2)0,(0),(,0)0,(a x x k

b x v a x x k x v b x u x u -=-=

?== 所以，),(y x u 是原定解问题的解的充要条件是),(y x v 是如下定解问题的解：

（*） ???

???

-=-====+)(2),(),(2)0,(0),(,0),0(0),(),(a x x k b x v a x x k x v y a v y v y x v y x v yy xx ，

用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

0)()(,0)()()()(),(=-''=+''?=y Y y Y x X x X y Y x X y x v λλ，

)exp()exp()(,sin

)(,

n B a y n A y Y a x n x X a n n n n n n ππππλ-+==??

??= ),2,1()()(),(),(Λ===n y Y x X y x v y x v n n n ，

设（*）的解函数为∑+∞

=-+=

sin ))ex p()ex p(

(),(n n n

n a y n B a y n A

y x v πππ 则 )(2

sin

)()0,(1a x x k

a x n B A x v n n n -=+=

∑+∞

=π， ∑+∞

=-+=

sin

)(),(n n n n

a x n D B D

A b x v π，（其中 )exp(a

n D n π=）若记 )1)1((222sin )(2233

0--=-=?π

πn a k a dx a x n a x x k a C a n ，则有： ???

?????????????? ??+=???

??+=?=+=+---n n

n n n n n n n n n n C a b n a b n B C a b n A C D B D A C B A 11

1)exp()exp(1)exp(πππ，

其中，n n n n D C B A ,,,由以上各式给出。而题目所给的定解问题的解函数为 )(2

),(),(),(),(a x x k

y x v y x w y x v y x u -+=+=。 12．求解边值问题

??=-===<<<<=+0),(),(),0(0),(,0)0,()0,0(0),(),(y a u b y y y u b x u x u b y a x y x u y x u yy xx 。

解：用分离变量法求解此定解问题：设)()(),(y Y x X y x u =，由分离变量法的标准过程

可得 b y n y Y b n y Y y Y x X x X n n ππλλλsin

)(,)()()()(2

=??? ??==?=''-='' ),2,1()exp()exp(

)()(0)()(Λ=-+==?=-''n b

n B b x n A x X x X x X x X n n n n ππλ设原定解问题的解函数为 ∑∑+∞

=+∞=-+==

sin ))ex p()ex p(

()()(),(n n n n n n b

y n b x n B b x n A y Y x X y x u πππ，则由关于x 的边界条件可得：∑+∞

=+=

=-1

sin

)(),0()(n n n

n B A

y u b y y π， ?-=

+b n n dy b

n b y y b B A 0sin )(2π ∑+∞

=-+=

sin ))ex p()ex p(

(),(0n n n b

n b a n B b a n A y a u πππ， 0)exp()exp(=-+b

n B b a n A n n ππ，所以 ?---=-b n dy b

n b y y b a n b A 01sin )()1)2(exp(2ππ，

?--=-b n dy b

y n b y y b a n b a n b B 01

sin )()1)2)(exp(2exp(2πππ，

所以， ∑+∞

=-+=1

sin ))ex p()ex p(

(),(n n n b

n b x n B b x n A y x u πππ 所以，……。

13. 求解混合问题

???

???====><<=-0

)0,(,0)0,(0

),(,0),0()

0,0(23sin 23sin ),(),(2

x u x u t l u t u t l x l at l x t x u a t x u t

x xx tt

ππ。

解：用分离变量法求解此混合问题：设原给定的混合问题中的微分方程对应的齐次方程

有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解：

)()(),(),()(),()()(),(t T x X t x u t T x X t x u t T x X t x u xx x ''='=?=， )()(),(),()(),(t T x X t x u t T x X t x u tt t ''='=， λ-=''=''?=-)

()

()()(0),(),(22

t T a t T x X x X t x u a t x u xx tt 0)()(=+''x X x X λ,

由边界条件可得：0)0(0)()0(),0(=?==X t T X t u ， 0)(0)()(),(='?='=l X t T l X t l u x ，所以，)(x X 是如下边值问题的非零解函数：

??='==+''0)(,0)0(0

)()(l X X x X x X λ

求解此问题，可当2

2)12(???

??-==l n n πλλ时，问题有非零解，其解函数集构成一个

一维线性空间，它的一个基向量函数为l

n x X x X n 2)12(sin )()(π-==，令 ??-==l l n n dx l

n l at l x dx x X t x f l t f 002)12(sin 23sin 23sin )(),(2)(πππ，

则 ),5,4,3,1(,0)(,23sin )(2Λ===n t f l

t f n π

令)}({t T n 为如下初值问题的解函数：

???='=>=+''0

)0(,0)0()

0()()()(2T T t t f t T a t T n n λ，（1）

则),5,4,3,1(0

)(Λ==n t T n ，对于n=2,可用常数变易法来求：

B l at A t T t T a t T 23sin 23cos

)(0)()(2

2ππλ+=?=+'' 设（1）的解函数为 l

t B l at t A t T 23sin )(23cos )()(ππ+=，则 )23cos )(23sin )((2323sin )(23cos )()(l at

t B l at t A l a l at t B l at t A t T πππππ+-+'+'=' 令 023sin )(23cos )(='+'l

t B l at t A ππ，

则 )23cos )(23sin )((23)(l

t B l at t A l a t T πππ+-=

'， )23sin )(23cos

)((23)23cos )(23sin )((23)(2

l at

t B l at t A l a l at t B l at t A l a t T ππππππ+??? ??-'+'-='' )()23cos )(23sin )((23)()()(222

2t f l at

t B l at t A l a t f t T a t T ='+'-?

=+''πππλ，也就是： ?????='+'-='+'l at l at t B l at t A l

a l at t B l at t A 23sin

)23cos )(23sin )((23023sin )(23cos )(ππππππ，

求解此线性方程组得：l

l at a l t B l at a l t A 23cos

23sin 32)(,23sin 32)(2πππππ='-='， 22

23cos 3)(,33sin 3)(c l at a l t B c t a l l at a l t A +??

??-=+-??? ??=πππππ，所以，（1）的解为：

l at c l at c l at t a l l at a l t T t T 23sin 23cos 23cos 323sin

3)()(212

2ππππππ++-???

??== 由初始条件0)0(,0)0(='=T T 可得：2

213,0??

??==a l c c π，

所以， ()l

t a l l at a l t T 23cos

323sin

32)(2

2ππππ-=

，所以，题目所给的定解问题的解函数为：

l x

l at t a l l at a l t T x X t x u n n n 23sin 23cos 323sin )3(2)()(),(221πππππ???? ?

?-==∑+∞

=。 14．求解混合问题

???

???====><<=-l x x u l x x u t l u t u t l x l x t x u a t x u t xx tt

πππ2sin )0,(,3sin 2)0,(0),(,0),0()0,0(2sin ),(),(2

。

解：作函数变换)(),(),(x w t x u t x v -=，其中)(x w 为待定函数，则

)(),(),(),

,(),(),,(),(x w t x u t x v t x u t x v t x u t x v xx xx t t tt tt ''-===，

))(),((),(),(),(2

2x w t x u a t x u t x v a t x v xx tt xx tt ''--=- )(),(),(2

2x w a t x u a t x u xx tt ''+-=，

设),(t x u 是原定解问题的解函数，

取02sin )(2

=+''l x x w a π，即l x a l x w ππ2sin

2)(2

? ??=，则有： 0)(2sin

)(),(),(),(),(2222=''+=''+-=-x w a l

x w a t x u a t x u t x v a t x v xx tt xx tt π，

而 0)(),(),(,

000)0(),0(),0(=-==-=-=l w t l u t l v w t u t v

l x

a l l x x w x u x v πππ2sin

23sin 2)()0,()0,(2

? ??-=-=， l

x x u x v t t π2sin

)0,()0,(==，所以，),(t x v 为如下定解问题的解函数：

（*） ????

????

=??? ??-===><<=-l x

x v l x a l l x x v t l v t v t l x t x v a t x v t xx tt ππππ2sin )0,(,2sin

23sin 2)0,(0),(,0),0()0,0(0),(),(2

2，

用分离变量法求解此定解问题：由分离变量法的标准过程可得：

n x X x X l n n n ππλλsin

)()(,

==??

??==， ),2,1(,sin cos )()(Λ=+==n l

n B l at n A t T t T n n n ππ

设（*）的解函数为 ∑∑+∞

=+∞

=+==

sin )sin cos

(),(),(n n n n n l

n l at n B l at n A t x u t x v πππ，由初始条件可得：∑∞

+===??? ??-1

sin )0,(2sin 23sin 2n n

l x

n A x v l x a l l x ππππ 可得： ),5,4(0,

2,2,032

21Λ===??

??-==n A A a l A A n π

∑+∞

=+-=

sin )cos sin (),(n n n t l x n l at n B l at n A l a n t x v ππππ， ?==∑+∞

sin )0,(2sin n n t l x n B l a n x v l x πππ),5,4,3,1(0,2Λ===n B a n l

B n π

所以，l x l at l x l at a l l at a l t x v πππππππ3sin 3cos 22sin )2sin 22cos

2(),(2

++??

??-=，所以，题目所给的定解问题的解函数为)(),(),(x w t x v t x u +=。 15．求解混合问题

???

???====><<-=-)

()0,(,0)0,(sin ),(,),0()0,0(sin ),(),(22

为常数ωωωωωωx u x u t t l u t t u t l x x l x t x u a t x u t

xx tt 。

[注]：此定解问题中的微分方程非齐次项中的x ωsin 应为t ωsin ，才能得到书中答案。

解：先将边界条件齐次化：令))(sin (),(),(t t t l

t x u t x v ωωω+--=，

则 ),(),(,sin ),(),(2

t x u t x v t l

x t x u t x v xx xx tt tt =+

=ωω，若),(t x u 是原定解问题的解函数，则

),(sin ),(),(),(22

t x u a t l

x t x u t x v a t x v xx tt xx tt -+

=-ωω 0sin ),(),(22

=+-=t l

x t x u a t x u xx tt ωω，

0))(sin 0

(),0(),0(=-=+--=t t t t t l t u t v ωωωωω，

0))(sin (),(),(=-=+--=t t t t t l

t l u t l v ωωωωω，

0))0*cos (()0,()0,(,00)0,()0,(=+--==-=ωωωωl

x u x v x u x v t t ，

所以，),(t x v 是如下定解问题的解函数：

??====><<=-0

)0,(,0)0,(0

),(,0),0()

0,0(0),(),(2x v x v t l v t v t l x t x v a t x v t xx tt 0),(≡?t x v ，

所以，原定解问题的解函数为 t t t l

t x u ωωω+-=

)(sin ),( 16．求解 ??

??-===+=><<+-=---x

t x x x xx tt e x u x u t

t l u t l u t t u t l x te x t x u a t x u 1)0,(,0)0,(),(),(,),0()

0,0(3),(),(22。

解：作如下函数变换：x x

te t t x u e

t t x u t x v --+-=--=),()1(),(),(，若),(t x u 是原

定解问题的解函数，则经验证可得：),(t x v 是如下定解问题的解函数：

??===+=><<-+-=--0

)0,(,0)0,(0

),1(),1(,0),0()

0,10()1(3),(),(222x v x v t v t v t v t x te a x t x v a t x v t x x x xx tt

用分离变量法求解此定解问题：设)()(),(t T x X t x v =，

由分离变量法的标准过程可得：

0)()()()

()

()(2

=+''?-=''=''x X x X x X x X t T a t T λλ， 0)1()1(,0)0(0),1(),1(,0),0(=+'='?=+=X X X t v t v t v x x 由)(x X 所满足的方程可得：x c x c x X λλsin cos )(21+=，由边界条件可得：0,02≠=λc ，取11=c ，则得x x X λcos )(=， λλλλλctg X X =?

=+-?=+'0cos sin 0)1()1(，

所以， ),2,1(cos )()(,2

Λ=====n x

x X x X n n n n μμλλ，

其中， n μ是方程μμctg =的所有正解。因为

)sin 1(5.0)2cos 1(5.0cos

n n n dx x xdx μμμ+=+=??，

令 ?+=

2cos ),(sin 12

)(xdx t x f t f n n

n μμ

--+-+=

222cos ))1()3((sin 12xdx te a x n x n

μμ

t c b t a n n n

n n n +=+-++=μμμμμ2

2223sin 1sin )1(2)sin 1(sin 4 则 ∑+∞

cos )(),(n n n

x t f

t x f μ，

设原定解问题的解函数为∑+∞

1cos )(),(n n

n x t T t x v μ

，

则 ∑∑+∞

=+∞

==+"

-1

cos )(cos ))()((n n n n n n

xx tt x t f x t T a t T

v a v μμμ，

从而有： ),2,1()()()(22

Λ==+"

n t f t T a

t T n n n n μ，

由初始条件可得：0)()0(0)0,()0,(='

=?==t T T x v x v n n t ，

所以，)(t T n 为如下初值问题的解函数：

?????='=>=+"0

)0(,0)0()0()()()(22n n n n n

n T T t t f t T a t T μ

用常数变易法：t a B t a A t T t T a

t T n n n n n n n n μμμsin cos )(0)()(2

+=?=+"

，

设此边值问题的解为： t a t B t a t A t T n n n n n μμsin )(cos )()(+=，

经简单推导得： ??

???='

+'-='+')(1cos )(sin )(0

sin )(cos )(t f a t a t B t a t A t a t B t a t A n n n n n n

n n n n

μμμμμ，解此线性方程级：???

???='-='

t a t f a t B t a t f a t A n n n n n n n n μμμμcos )(1

)(sin )(1)(

积分并利用初始条件可得：

()()()()???

???-++=--+=)1(cos sin )(1

)(sin )cos )((1)(3232t a a c t a t c b a t B t a a c b t a t c b a t A n n n n n n n n n n n n n n n n n

μμμμμμμμ，

t a t B t a t A t T n n n n n μμsin )(cos )()(+= ()()())sin cos (1

2t a a c t a b a t c b a n n n n n n n n n μμμμμ+-+=

()()()????

-+-=

t a a t a c t a a b n n n n n n n

μμμμμsin 1

cos 122 所以， ∑+∞

cos )(),(n n

n x t T t x u μ

，

其中的)(t T n 、n b 、n c 和n μ均由以上各式给定。 [注]课本上的答案为此处的a=1。

17．求解 ??

??===><<=-),()0,(),(,),0()

0,0(0),(),(2为常数βββA A x u t l u t u t l x t x u a t x u x x xx t 。

解：设),(t x u 是原定解问题的解函数，作函数变换x t x u t x v β-=),(),(，

则 ),(),(,),(),(),,(),(t x u t x v t x u t x v t x u t x v xx xx x x t t =-==β

x A x x u x v t l u t l v t u t v x x x x ββ-=-=====)0,()0,(,0),(),(,0),0(),0(，所以，),(t x v 是如下定解问题的解函数：

??-===><<=-x A x v t l v t v t l x t x v a t x v x x xx t β)0,(0),(,0),0()

0,0(0),(),(2

用分离变量法求解此定解问题：设)()(),(t T x X t x v =为微分方程的满足齐次边界条件的非零解函数，则将),(t x v 代入方程后化简可得：

0)()(,0)()()()

()

()(22

=+''=+'?-=''='x X x X t T a t T x X x X t T a t T λλλ，

0)(,0)0(0),(,0),0(='='?==l X X t l v t v x x ，所以，)(x X 为如下边值问题的非零解函数：

???

????????===??? ??==?='='<<=+''),2,1,0(cos )()()(,0)0()0(0)()(2

Λn l x

n x X x X l n l l X X l x x X x X n n ππλλλ

将n λλ=代入)(t T 的方程可得：

),2,1,0()exp()()(0)()(2

2Λ=???

??-==?=+'n t l a n B t T t T t T a t T n n n πλ，

所以， l x n t l a n B x X t T t x v n n n n ππcos

)exp()()(),(2

???

??-==。设 ∑∞

+=???

??-=0

cos

)exp(),(n n l x n t l a n B t x v ππ，则由初始条件可得：∑+∞

=-0

cos

)0,(n n l

n B x v x A πβ 可得： l A dx x A l B l ββ21

)(10)0-=-=?，

),2,1())1(1(2cos )(2220Λ=--=-=?n n l

dx l x n x A l B n l n π

βπβ，

第三章行波法与积分变换法教学提纲

第三章行波法与积分变换法」分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。」积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得同理可得 2 a 2(￡代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)

由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。二、特征方程、特征线及其应用考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ，右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征变换，因此行波法又称特征线法。注：此方法可以推广的其他类型的问题。三、公式的物理意义由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。四、依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告姓名：学院：学号：专业：题目:分离变量法在求静态场的解的应用成绩：二〇一四年四月 Xxx 工程学院电子工程类

一．引言分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。二．内容 1.分离变量法的特点：分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数。由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系当α2=0时，则当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则或当α2 >0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

北邮数理方程课件第三章的分离变量法

第三章分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><

其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8）由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。（3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D

第二章分离变量法(§2.1)

第二章分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

第二章分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈，（1.1）的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=，（1.2）其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =，或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3）上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈，则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此

第二章分离变量法(§2.2,§2.3)

§2.2 有限杆上的热传导定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值

1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β，可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=，从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?

第四章-分离变量法1上课讲义

第四章分离变量法一、分离变量法的精神和解题要领 1．分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开，如，令 )()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u = 从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解 2．分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。（2）求解特征值问题（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如Λ,2,1,=n u n ）。（4）叠加（如∑= n u u ）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。 3．特征值问题在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。常涉及到的几种特征值问题：（1）? ??===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ 特征值 222l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x l n C x X n n π （2）? ??='='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)( l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x l n C x X n n π （3）?? ?='==-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)21(πμl n + -=，特征值函数Λ,2,1,0 21 sin )(=+ =n x l n C x X n n π （4）?? ?=='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ

第三章-行波法与积分变换法Word版

第三章行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1）作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2）利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。二、特征方程、特征线及其应用考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。注：此方法可以推广的其他类型的问题。三、公式的物理意义由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。

高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版

第五讲补充常微分方程求解相关知识。

第二章分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题（第六讲） §2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy =()x f ()y ?(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：?)(x dy ?=?dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?)(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-??2211，得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.

解：由题意得 y ' -=1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='，分离变量，解得 c y x =+22 2 ，其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型: 2.1齐次方程形如?? ? ??=x y dx dy ?(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 x y u =，(1.4) 即ux y =，于是 u dx du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(u u dx du x ?=+，图1

北邮数理方程课件第三章分离变量法

第三章分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为

x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题

用分离变量法解常微分方程

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy = ()x f ()y ? (1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：? )(x dy ?=? dx x f )( + c. (1.2) 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解.

解：(1)变形且分离变量：），，（11112 2 <<-- =-y x x dx y dy (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ，得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1 法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='，

数学物理方程第三章行波法与积分变换法

第三章行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1）作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2）利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ，利用(3)第一式可得

.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。例求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(，从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告姓名：学院：学号：专业：题目:分离变量法在求静态场的解的应用成绩：二〇一四年四月 Xxx 工程学院电子工程类

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数。由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系当α2=0时，则当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则或当α2 >0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

第二章分离变量法

第二章分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成

(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5）再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称

数学物理方程-第三章分离变量法2

第三章贝塞尔函数对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=，特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为 24130λλ++=，特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--，这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=， 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-，这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为 2440λλ++=，

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第三章行波法与积分变换法教学提纲

分离变量法

北邮数理方程课件第三章的分离变量法

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第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)

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