正弦定理教学设计
必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计
教材地位分析
本课是《普通高中新课程标准实验教科书﹒数学(5)》(人教A版)第一章第一节《正弦定理》。根据我所任教的学生情况,我将《正弦定理》划分为两个课时,这是第一课时。正弦定理在学习了三角函数与平面向量之后,可以启发学生联想所学知识,运用三角函数知识作为工具,运用转化与化归作为指导思想,推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础,又是学生了解三角形中存在边与角的定量关系的一个开端,对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。而正弦定理本身的应用又十分广泛,在高考中的地位举足轻重,因此做好该节内容的教学,使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明,感受“类比—猜想—证明”的科学研究问题的思路和方法,体会由“定性研究到定量研究”这种数学的思考问题和研究问题的思想,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。同时,通过本节课的学习为后面学习《余弦定理》提供了方法上的模式;为将来解决测量、工业、几何等方面的实际问题提供了理论基础,使学生进一步感受、了解到数学在实际中的应用。
二、教学目标分析
根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制定如下教学目标:认知目标:在创设的问题情境中,使学生主动地去发现正弦定理的内容和推证正弦定理及简单运用正弦定理
能力目标:通过对正弦定理的引入、推导和应用,培养学生的创新意识和思维能力,能体会用“作高”将一般三角形转化为直角三角形;将几何问题转化为代数问题。
情感目标:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,激发学生学习的兴趣;培养学生
合情推理探索数学规律的数学思想,体验由特殊到一般的数学方法,培养学生在方程
思想指导下解三角形运算能力。
三.教学重点与难点
教学重点:正弦定理的证明及简单应用
教学难点:(1)正弦定理的证明(2)运用正弦定理解已知“两边及一对角”的三角形
四.设计思想
本节课,学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下,在我预设的思路中,学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程,通过“发现、猜想、证明”的数学思想方法发现并证明定理,让学生经历了知识形成的过程,感受到创新的快乐,激发学生学习数学的兴趣。其次,以问题为导向设计教学情境,促使学生去思考问题,去发现问题,让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新。
期以来,我们的课堂教学太过于重视结论,轻视过程。为了应付考试,为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”,教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化。在数学概念公式的教学中,往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法,到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器,这样的学生面对新问题就束手无策。新课程倡导:强调过程,强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验,不能再让学生脱离学生的内心感受,必须让学生追求过程的体验,把“数学
发现的权利”还给学生。
基于以上认识,本节课我所考虑的不是简单的把正弦定理的内容告诉给学生,而是创设一些
数学情境,让学生自己去发现定理,猜想、证明定理。从发现定理的过程中让学生体会到:定理并不是凭空产生的,发现定理并不都是高不可攀的事情,通过努力,也可以做一些看似数学家才能完成的事。在这个过程中,学生在课堂上的主体地位得到充分发挥,极大的激励了学生的学习兴趣,也提高了他们提出问题、解决问题的能力,培养了他们的创新能力,这正是新课程所倡导的教学理念。
五.教学过程
(一)创设情境,引入新知
你在A 岸,对岸有一B 点,你能不能把A 、B 间的距离测出来?
师生共同探讨发现直接测测不了,只能寻求构造图形测另一些量再求出AB ,你能想到构造一
个什么图形来求出AB 吗?(构造直角三角形,由直角三角形边角关系可求AB )
若C 处恰好就是一水塘,不能构造直角三角形了,还能求出AB 吗?这就是我们这节课要学习
的内容,探讨任意三角形中边与对角正弦值的关系——正弦定理。
(二)师生互动,探索新知
三角形分为锐角、直角和钝角三角形,我们不妨从最特殊的三角形进行探讨。
当△ABC 是直角三角形时,给学生3分钟时间,结合教材,自主思考,分组讨论。
①在Rt △ABC 中,你能想到的三角函数的式子有哪些?(主要找正弦的式子)
学生容易想到三角函数:
②因为 ③那么通过这三个式子,边长c 有几种表示方法?
这个等式说明了在直角三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。(课件给出证明) 那么,此关系式能不能推广到任意三角形? 可以猜想:在任意的△ABC 中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即: (三)证明猜想,形成定理
结论要推广到任意三角形还需要证明什么?只需要证明在锐角和钝角三角形中猜想成立。
c a A =sin c b B =sin 1sin =C =c C
c B b A a sin sin sin ==c c C ==1sin C
c B b A a sin sin sin ==
1 C B A
c a b
要证等式 成立,同学们可以从以下提示进行探究。 ①需要证明几个等式,可以怎么组合? (不妨先证明 a b =sin sin A B
) ②刚才在直角三角形中已经证明了,那么能否把锐角、钝角三角形转化为直角三角形来求证? 如何构造直角三角形?
③需要找那些量的关系?这些量在哪些三角形里出现了?
④在Rt △BCD 与Rt △ACD 中,CD 是公共边:
在Rt △BCD 中,CD= ,在Rt △ACD 中,CD = ⑤如何证明 ? ——作高线AE ⊥BC ,同理可证.(同时课件展示证明过程)。 综上所述,在任意三角形△ABC 中,都有 ,这就是三角形的正弦定理。 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。(学生复述一遍)
数学语言: 也可表示为:C
AB B AC A BC sin sin sin == (四)剖析定理,加深理解
(1)正弦定理反映的是边和对角的正弦的比的关系 ;
(2)边和对角的的正弦的比相等,分子是边,分母是对角的正弦,结构对称;
(3)公式实际上表示了三个等式,这就是B b A a sin sin =,C c A a sin sin =,C
c B b sin sin =; (4)任取一等式有四个量,两组边和对角,知道三个可求第四个。
由(4)可以确定正弦定理可用于两类三角形问题的求解:
① 已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角;
② 已知两角和一角对边,求另一角的对边。
(五)实际应用,掌握新知
下面我们就应用正弦定理求边或角。
例1. 在△ABC 中,已知A = 45°, C = 30°,c = 10 ,求a 边。
练习1:(1)在△ABC 中,已知A =60°,B =45°,a =12,求b 边.
(2)在△ABC 中,已知 A=75°,B= 45°,c =32, 求b 边.
D E B A C a b E A
B C D c b a ﹚1sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin a
b c A B C
==sin sin sin a b c A B C
==A b B a sin sin =∴B b A a sin sin =∴C
c B b sin sin =B a sin A b sin
例2:在△ABC 中,已知a =16,b = 316 ,A=30°,求角B. 练习2:(1) 在△ABC 中,已知b =13,a =26,B=30°,求角A.
(2)在△ABC 中,已知AC = 40,AB = 20,C = 45°,求角B.
(六)变式探究,强化新知
(1)(13北京文)在△ABC 中,a =3,b =5,sinA = 3
1,则sinB = . (2) (12广东文) 在△ABC 中,若 A=60°,B= 45°,BC = 23,则AC = .
(3)(12北京文)在△ABC 中,若a =3,b =3,A =
3π,则B= 。 (七)课堂小结 (1)正弦定理 ,它是解三角形的工具之一。
(2)应用正弦定理的条件:
①已知两角和一角对边,求另一角的对边。
②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角;
(3)三角形中常用公式:A+B+C = 180°
(八)作业布置
1.必做:(1)当ABC ?是钝角三角形时,探究正弦定理的证明;
(2)优化设计p2 即时巩固。
2.选做:探究正弦定理的其他证明方法。
(九)板书设计
C c B b A a sin sin sin ==
苏教版高中数学必修五正弦定理教案
第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用,更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,自然生成疑问,激发学生探究欲望,从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形,实现知识的螺旋式上升,符合学生的认知思维;第二,带着疑问,在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上,以此作为启发点,首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明,得到正弦定理,以解直角三角形为知识基础,验证和证明,教学过程中充分体现了转化化归的数学思想;第三,解决引例,首尾呼应,并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次:探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来,到实际中去。课堂上,引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是:“在本章中,学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系,并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标,依据教材内容和学生情况,确定本节课的学习目标为: 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明,从特殊到一般得到正弦定理;
《正弦定理》教学设计方案
探寻提出特例猜想:回顾直角三角形中边角关系.如图: 引导学生寻求联系,发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流,在教师引导 下得出:利用c边相同, 寻求形式的和谐统一,即: 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问: 思考:在斜三角中,上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示:正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D,有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法
作CD AB于D,有 综上: (1)正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美; (2)解三角形:一般地,我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. (3)思考:直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形? 学生在教师引导下充 分理解正弦定理,掌握正 弦定理的结构特征,启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题. 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值, 挖掘 正弦 定理 的应 用(1)正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题. 例1: 例1由学生给出条件 结合两道例题,引导学生 总结:(1)已知两角一边, 进一
(2)正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.. 例2:解三角形,解的情况唯一;步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练: 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发,引导学生探索研究三角形中边角关系,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。在教学过程中,使学生体会认识事物由特殊到一般,再由一般到特殊的规律,体会分类讨论、数形结合的数学思想方法,并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点:1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
2016年全国高中数学优质课:1.1正弦定理教学设计(人教A版必修5)
正 弦 定理教 学 设 计
《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节课《正弦定理》第一课时,出自新人教 A 版必修 5 第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后,是三角函数知识在三角形中的具体运用, 更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展,同时更是处理可 转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次:第一,从实际问题导入,在解直角三角形的边角关系的 基础上,触碰解斜三角形的思维困惑点,形成疑问,激发学生探究欲望,提出斜三角形的边 角关系的猜想;第二,带着疑问,对猜想进行验证,首先对特殊的斜三角形边角关系进行验 证和实验探究验证,其次是严密的数学推导证明;第三,得到正弦定理,解决引例,首尾呼 应,并学以致用,简单应用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化,从三角学的历史发展来看,三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中,渗 透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次,探索——发现——证明,从实际中来,到实际中去。通过课堂,体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。 二、教学目标设置 1、从已有三角形知识出发,通过观察、实验、猜想、验证、证明,从特殊到一般得到 正弦定理,掌握正弦定理,了解正弦定理的一些推导方法,并学会应用正弦定理解决斜三角 形的两类基本问题; 2、通过对实际问题的探索,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能 力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养学生的缜密思维;
正弦定理教案
课题:§2.1.1正弦定理 教学目标: 1.知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 3.情感目标:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本:北师大必修5 教学课时:1 教学过程: 一、新课引入: 如左图,在ABC Rt ?中,有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===, 所以在ABC Rt ?中有:c C c B b A a ===sin sin sin 思考:在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢,这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图,无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中,c B b B b ==sin sin ', c