第二类曲线积分典型例题解析
第二类曲线积分典型例题
解析
Prepared on 22 November 2020
高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析
例1 若对任意的x ，y 有y
P x Q ??≡??，设C 是有向闭曲线，则?+C y Q x P d d = ．
解：由格林公式将
其中D 为C l 围成的平面区域，及条件y
P x Q ??≡??知，应该填写：0 例2．_______d d =+-?y x x y l
，其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．
解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为：π?21，由格林公式得：???+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2
例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分?+l
y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）． A ．在域D 内恒有y Q x P ??=?? B ．在域D 内恒有y
P x Q ??=?? C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+?'l y Q x P
D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+?'
l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则
?+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y
P x Q ∈??=???),(,。 所以选择：B
例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．
A ．?+C y x x yx d d 332
B ．?-C
y x x y d d C ．?-C y x x xy d d 22 D ．?+C
y y x yx d d 332
解：因为选项A 中，23323)(,3)3(x x
x x Q x y yx y P =??=??=??=??，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A
例5 设积分路径?
??==)()(:t y t x l ψ?，)(βα≤≤t ，那么第二类曲线积分计算公式?+l
y y x Q x y x P d ),(d ),(=（ ）． A ．?'+'β
αψψ??ψ?t t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([ B ．?'+β
α?ψ?ψ?t t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ C ．?'+β
αψψ?ψ?t t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ D ．?+β
αψ?ψ?t t t Q t t P d ))](),(())(),(([ 解：因为积分曲线的路径由参数方程?
??==)()(:t y t x l ψ?，)(βα≤≤t 给出，把参数方程代入曲线积分中，得：?'+'β
αψψ??ψ?t t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([ 所以正确选择：A
例6 计算?-++-l
x x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2，其中l 为由点)0,3(A 经椭圆???==t
y t x sin 2cos 的上半弧到点)0,3(-B 再沿直线回到A 的路径． 解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成
其中x y Q x y y P x x -=+-=cos e ,3sin e 2，由格林公式
原式=?-++-l x x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2????-??=D d d ][y x y
P x Q =??---D
x x y x y y d d ]3cos e ()1cos e [(
=??D
y x d d 2=23212???π=π6
例7．计算?-+-l x x
y y x y y d )21cos e (d )2sin e (2，其中l 是上半圆周x y x 222=+ )0(>y 和x 轴围成平面区域边界的正向．
解： 21cos e ,2sin e 2-=-=y Q y y P x x
，由格林公式得 =??--D x x y x y y y d d )]cos e (cos e [=??D y x y d d =??θπ
θθcos 20220
d d sin r r =?203d cos sin 38πθθθ =32)cos (32204=-π
θ 例8 计算?-l
x y x y xy d d 22，其中1:22=+y x l 逆时针方向． 解： 22,xy Q y x P =-=，由格林公式得
=
??≤++12222d d )(y x y x y x =??10320d d r r πθ =2
412ππ=?