八年级数学上册 第2章 特殊三角形 2.5 逆命题和逆定理练习 浙教版

2.5 逆命题和逆定理

A组

1．下列说法中，正确的是(A)

A．每一个命题都有逆命题

B．假命题的逆命题一定是假命题

C．每一个定理都有逆定理

D．假命题没有逆命题

2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)

A．直角都相等

B．钝角都小于180°

C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0

D．同位角相等

3．下列定理中，有逆定理的是(D)

A．对顶角相等

B．同角的余角相等

C．全等三角形的对应角相等

D．在一个三角形中，等边对等角

(第4题)

4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．

(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0．

(2)等腰三角形的两个底角相等．

【解】(1)逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0．这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0．

(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．

6．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．

(1)相等的角是内错角．

(2)两直线平行，同旁内角互补．

【解】(1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理．

(2)“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命题和逆命题是互逆定理．

(第7题)

7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．

已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．

【解】连结BC．

∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．

∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．

∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．

又∵点E在AD上，∴EB＝EC．

B组

8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．

【解】逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题．

反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF ＝135°，即∠CAD≠∠EBF．

(第8题解)

逆命题是假命题．

反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．

9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．

【解】逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．

已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．

(第9题解)

求证：△ABC 为等腰三角形．

证明：连结AD ．

∵D 是BC 的中点，

∴S △ABD ＝S △ACD ．

∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，

∴S △ABD ＝12

AB·DE， S △ACD ＝12

AC·DF． 又∵DE＝DF ，∴AB ＝AC ，

∴△ABC 为等腰三角形．

10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理． 【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．

反例：如解图所示，l 1∥l 2，△ABC 和△BCD 同底等高，

∴△ABC 的面积等于△BCD 的面积，但△ABC 和△BCD 不全等．

故该定理没有逆定理．

(第10题解)

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11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．

【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真命题．

(第11题解)

已知：如解图，在△ABC 中，BD ＝CD ，AD 平分∠BAC．

求证：△ABC 是等腰三角形．

证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE．∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，

∴△BDE≌△CDA(SAS)．

∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．

∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC．

∴△ABC是等腰三角形．

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