二元一次方程组 辅导讲义(学)
二元一次方程组
一、知识梳理
知识点1. 二元一次方程组的有关概念
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．
二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 例1.方程41ax y
x -=-是二元一次方程，则a 的取值为（ ）
A 、0a ≠
B 、1a ≠-
C 1a ≠
D 、2a ≠
例2.若二元一次方程321x y
-=有正整数解，则x 的取值应为（ ）
A 正奇数
B 、正偶数
C 、正奇数或正偶数
D 、0
例3.已知二元一次方程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则_____.a b +=
练习
1.已知,x y 满足方程组?
??=+=+425
2y x y x ，则x y -的值为 。
2.请写出一个以,x y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个
二元一次方程组成；②方程的解为???==32
y x ，这样的方程组可以是___________.
知识点2.二元一次方程组的解法
代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．
例1：解方程组：（1）
325
28
x y
x y
+=
?
?
-=
?
（2）
29
31
x y
y x
+=
?
?
-=
?
例2解方程组：
414
331
4312 x y
x y
+=
?
?
?--
-=??
练习：已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
知识点3．二元一次方程组的应用
对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：
（1）选定几个未知数；
（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；
（3）解方程组，得到方程组的解；
（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．
例1、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，一名小学生的学习费用需要b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
（1）求a、b的值；
（2）初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中。（不需写出计算过程）
例2、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”；
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”；
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”；
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
练习：为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”，该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒，该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？
二、二元一次方程组考查目标
考查目标一、确定二元一次方程组中的字母系数或字母系数的范围
例1、若关于x ，y 的方程组???=+=-n my x m y x 2的解是???==12y x ，则n m -为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．2 例2、若方程组
的解满足
＞0，则的取值范围是（ ）
A 、
＜－1 B 、
＜1 C 、
＞－1 D 、
＞1
练习1.已知方程组与有相同的解，则＝ ，
＝ 。 2.若二元一次方程
，
，有公共解，则的取值为（ ）
A 、3
B 、－3
C 、－4
D 、4 考查目标二、方程组解的判定
例.方程组233x y x y -=??+=?，
的解是（ ）
A ．12x y =??=?
，．
B ．21x y =??=?，．
C ．11x y =??=?
，
．
D ．23x y =??=?
，
．
练习.1、二元一次方程组2,
0x y x y +=??-=?的解是（ ）
A ．0,2.x y =??=?
B ．2,0.x y =??=?
C ．1,1.x y =??=?
D ．1,1.x y =-??=-?
考查目标三、可化为解方程组的知识
例1.如果|21||25|0x y x y -++--=，则x y +的值为
例2.已知代数式133m x y --与5
2
n m n x y +是同类项，那么m n 、的值分别是（ ）
A ．21m n =??=-?
B ．2
1m n =-??=-?
C ．2
1m n =??=?
D ．2
1m n =-??=?
练习1. 若二元一次联立方程式??
???=-+=-0
35151546
32y x y
x 的解为x =a ，y =b ，则a
b =？（ ）
(A)
35(B) 59 (C) 329
(D) 3
139
。 2、解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是那么、
、的值是（ ）
A 、不能确定
B 、＝4，＝5，＝－2[来源:]
C 、、不能确定，＝－2
D 、＝4，＝7，＝2 考查目标四、列方程组解应用题
例：某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。 （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ [来源:学|科|网Z|X|X|K]
练习：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？
三、过关测试
一. 选择题
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A.
27
321
s t
t s
-=
?
?
=-
?
B.
1
12
m n
mn
+=
?
?
=
?
C.
2
3
22
239
y x
x y
?
-=-
?
?
?+=
?
D.
7
11
6
x y
x y
-=
?
?
?+=
?
?
2. 若437
mx y x
-=-是二元一次方程，则（）
A. 2
m≠- B. 0
m≠ C. 3
m≠ D. 1
m≠-3. 二元一次方程27
x y
+=的正整数解有（）个。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 用加减消元法解方程组
233
3211
x y
x y
+=
?
?
-=
?
时，有下列四种变形，正确的是（）
A.
463
9611
x y
x y
+=
?
?
-=
?
B.
639
6222
x y
x y
+=
?
?
-=
?
C.
466
9633
x y
x y
+=
?
?
-=
?
D.
693
6411
x y
x y
+=
?
?
-=
?
5. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为6，这样的两位数的个数有（ ）
A. 3
B. 5
C. 6
D. 无数个 6. 下列方程中，是二元一次方程的有（ ）
A. 1
62563x z x -=++ B. 115x y +=
C. 31xy x y ++=
D. 2x y =
7. 若方程()()22930m x m x y ----=是关于x y 、的二元一次方程，则m 的值为（ ） A. 3± B. 3 C. -3 D. 9
8. 方程27x y +=在自然数范围内的解为（ ） A. 无数个 B. 1个 C. 3个 D. 4个
9. 用加减消元法解方程组231
3210x y x y +=??-=?时，有下列四种变形，正确的是（ ）
A. 461
9610
x y x y +=??-=? B.
633
6220
x y x y +=??
-=? C. 462
9630
x y x y +=??
-=? D. 693
6410
x y x y +=??
-=? 10. 甲、乙二人按2∶5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年赢利14000元，那么甲、乙二人分别应分得（ ） A.2000元、5000元 B. 5000元、2000元 C. 4000元、10000元 D. 10000元、4000元
11.一种蜂王精有大小两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶，大盒与小盒各装多少瓶？
A. 大盒装20瓶，小盒装12瓶
B. 大盒装21瓶，小盒装12瓶
C. 大盒装20瓶，小盒装15瓶
D. 大盒装22瓶，小盒装12瓶
12.已知3217
2313x y x y +=??+=?
，则________x y -=
A.5
B. 4
C. 6
D. 7