二项式定理的知识点

第三节二项式定理

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.能利用计数原理证明二项式定

理．

2.会用二项式定理解决与二项展开

式有关的简单问题.

1.一般不考查用计数原理证明二项式定理．

2.求二项展开式中某项的系数和特定项是高考的热点，

考查形式为选择题和填空题，难度不大，属中低档题，

如2012年广东T10，福建T11等.

[归纳·知识整合]

1．二项式定理

二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)

二项式系数二项展开式中各项系数C r n(r＝0,1，…，n)

二项式通项T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项

提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换．

2．二项式系数的性质

[探究] 2.二项式(x＋y)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？

提示：不一定最大，当二项式中x，y的系数均为1时，或x，y的系数均为－1，n为偶数时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．

[自测·牛刀小试]

1．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( ) A ．C r n

B ．

C r ＋

n C ．C r －

D ．(－1)r －

1C r －

解析：选D 本题中由于y 的系数为负，故其第r 项的系数为(－1)r －1C r －1n .

2．(2012·四川高考)(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28

D ．21

解析：选D 依题意可知，二项式(1＋x )7的展开式中x 2的系数等于C 27×15

＝21.

3．已知????x －a

x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )

A ．28

B ．38

C ．1或38

D ．1或28

解析：选C 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.

4．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．

解析：由题意得????? T 2>T 1，T 2>T 3，即?????

C 162x >1，

C 162x >C 26(2x )2

，

解得112

答案：112

5．若C 1n ＋3C 2n ＋32C 3

n ＋…＋3

n －

2C n －

1n ＋3n －

1＝85，则n 的值为________．解析：由已知等式，可得

C 0n ＋3C 1n ＋32C 2n ＋…＋3n C n n

＝256. 即(1＋3)n ＝256，解得n ＝4. 答案：4

求二项展开式中特定项或特定项系数

[例1] (1)(2012·上海高考)在????x －2

x 6的二项展开式中，常数项等于________． (2)(2012·广东高考)????x 2＋1

x 6的展开式中x 3的系数为________(用数字作答)． (3)(2012·福建高考)(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________.

[自主解答] (1)由通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ????－2x r ＝(－2)r C r 6

x 6－2r ，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)3C 36＝－160.

(2)由????x 2＋1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6

(x 2)6－r ·????1x r

＝C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为C 36＝20.

(3)(a ＋x )4的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 4a 4－r x r ，令r ＝3，得含x 3的系数为C 34

a ，故C 34

a ＝8，解得a ＝2. [答案] (1)－160 (2)20 (3)2 —————

——————————————

求特定项的步骤

(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指定项(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n 为正整数，r 为非负整数，且r ≤n )；

(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项．

1．(2012·泰安模拟)若二项式????x －2

x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )

A ．6

B ．10

C ．12

D ．15

解析：选C

T r ＋1＝C r n (

x )n －r

????－2x r ＝(－2)r C r

n x n －3r 2

，当r ＝4时，n －3r

2＝0，又n ∈N *，

所以n ＝12.

2．(1＋x ＋x 2)????x －1

x 6的展开式中的常数项为________．解析：???

?x －1

x 6的展开式的通项为

T r ＋1＝C r 6(－1)r x

6－2r

，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46x

－2＝15x －2，因此常数项为－20＋15＝－5.

答案：－5

二项式系数和或各项的系数和

[例2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；

(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；

(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2.

[自主解答] (1)(2－3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100，即a 0＝2100，或令x ＝0，则展开式可化为a 0＝2100.

(2)令x ＝1，

可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，

可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100，② ①－②可得

a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002

(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝(2－3)100(2＋3)100＝1.

—————

——————————————

赋值法在求解二项式各项系数和有关问题中的应用

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和时常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．

3．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2013

22013的值为( )

A ．2

B ．0

C ．－1

D ．－2

解析：选C 令x ＝0得a 0＝1，令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 013a 2 013＝0，所以a 12＋a 2

22＋…

＋a 2 013

2 013＝－a 0＝－1. 4．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于________．

解析：在已知等式两边对x 求导，得5(2x －3)4×2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝5×(2×1－3)4×2＝10.

答案：10

二项展开式系数最大项的问题

[例3] 求二项式????x －2

x 28的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数最大的项和系数最小的项．

[自主解答] (1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，所求项为T 4＋1＝C 48(x )4????－2x 24＝1 120x 6

. (2)先求系数绝对值最大的项，设第r ＋1项的系数的绝对值最大，则?

C r 82r ≥C r －182r －1

，

C r 82r ≥C r ＋182r ＋1

，即????

2r ≥1

9－r ，18－r ≥2

r ＋1

，

解得5≤r ≤6，即第6项和第7项的系数绝对值最大．由于第6项的系数为负，第7项的系数为正，所以第7项是系数最大的项，

这一项为T 6＋1＝C 68

(x )2·????－2x 26

＝1 792x －11；

第6项是系数最小的项，

这一项为T 5＋1＝C 58(x )3·????－2x 25＝－1 792x －172. —————

—————————————— 运用二项式定理时的两个注意点

在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负．当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：

(1)二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关； (2)项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关．

5．如果????x 2－1

2x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是( )

A ．0

B ．256

C ．64

D.1

解析：选D 法一：由已知得?

????

C 3n >C 4n ，

C 3n >C 2n ，即5

∵n ∈N *，∴n ＝6.令x ＝1，则原式＝????1－126＝1

. 法二：由题意知，只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6，令x ＝1，则原式＝???

?1－1

26＝

1个公式——二项展开式的通项公式

通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：

(1)C r n a

n －

r b r

是第r ＋1项，而不是第r 项； (2)通项公式中a ，b 的位置不能颠倒；

(3)通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．

3点注意——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；

(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r ＋1项的二项式系数与第r ＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项

的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错.

易误警示——对二项展开式的考虑不全面致错

[典例] (2012·天津高考)在????2x 2－1

x 5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40

D ．－40

[解析] 二项式????2x 2－1x 5展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ???

?－1x r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x 10－3r ，当r ＝3时，含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.

[答案] D [易误辨析]

1．因区分不清某一项系数与其二项式的系数而错选A. 2．因对二项展开式的通项公式记忆不准而导致无法求解． 3．解答此类问题还易出现以下错误： (1)混淆各项系数的和与二项式系数的和；

(2)对展开式中常数项的构成考虑不全面造成计算错误； (3)对二项式定理的应用不会逆用公式而致错． [变式训练]

1．(2012·安徽高考)(x 2＋2)????1x 2－15

的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2

D ．3

解析：选D 因为(x 2＋2)????1x 2－15＝x 2????1x 2－15＋2????1x 2－15，又2????1

x 2－15展开式中的常数项为

2C 55????1x 20(－1)5＝－2，x 2????1x 2

－15展开式中的常数项为x 2C 45????1x 21(－1)4＝5，故二项式(x 2

＋2)????1x 2－15

展开式中的常数项为－2＋5＝3.

2．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中的x 3项的系数为( )

A ．500

B ．－500

C ．150

D ．－150

解析：选C ∵N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2，

∴(2n )2－2n ＝240,2n ＝16，n ＝4.展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－

r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 4·

54－r

·x 4－r 2

令4－r

＝3，即r ＝2，此时C 24·52·(－1)2＝150. 3．a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0＝x 4，则a 3－a 2＋a 1＝________. 解析：∵[(x ＋1)－1]4＝a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋ a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，

∴a 3－a 2＋a 1＝(－C 14)－C 24＋(－C 34)＝－14.

答案：－14

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．二项式????12＋126的展开式的第3项的值是( ) A.3

32 B.364 C.1564

D.516

解析：选C 二项式????12＋126

的展开式的第3项是 C 26

????124????122＝1564

. 2．若二项式????3x 2－1

x n 的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A ．－27C 39

B ．27

C 39 C ．－9C 49

D ．9C 49

解析：选B 各项系数之和为(3－1)n ＝2n ＝512，故n ＝9，展开式的通项是T r ＋1＝C r 9(3x 2)

－r

???

?－1x r ＝(－1)r ×39－r ×C r 9x 18－3r .令18－3r ＝0，则r ＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×C 6

＝27C 39

. 3．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2n

B ．

C 2n ＋1

C ．C n －

D.1

2C 3n ＋1

解析：选B 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)

＝C 2n ＋1. 4．(2013·贵阳模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5

D ．25

解析：选B ∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，∴原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4

项的系数为

C 34(－1)3－C 04

＝－4－1＝－5. 5.?

?x ＋

12x 8

的展开式中常数项为( ) A.35

16 B.358 C.354

D ．105

解析：选B 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )

8－r ·???

?12x r

＝C r 8

????12r x 4－r ，当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为C 48

????124＝358.

6．(2012·湖北高考)设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11

D ．12

解析：选D 512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．(2012·陕西高考)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．

解析：由二项展开式的通项公式可得，T 3＝C 25a 3x 2＝10x 2，解得a ＝1.

答案：1

8．若????x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1

x 2的系数为________．

解析：由C 2n ＝C 6n 可知n ＝8，所以????x ＋1x 8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r ???

?1x r ＝C r 8

x 8

－2r, 所以

8－2r ＝－2，解得r ＝5.所以1

2的系数为C 58＝56. 答案：56

9．(2012·浙江高考)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.

解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则

a 3＝C 25(－1)2

＝10.

答案：10

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．若?

?3x ＋

1x n

的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项．解：令x ＝1，则22n ＝1 024，解得n ＝5.

T r ＋1＝C r 5(3x )

5－r

???

?1x r ＝C r 5·3

5－r ·x 1032

r -，

含x 的整数次幂即使10－3r

2为整数，

r ＝0、r ＝2、r ＝4，有3项，即T 1＝243x 5，T 3＝270x 2，T 5＝15x －1.

11．已知????x －2

x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 3

的项；

解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为

C 2n ·

(－2)2，则有C 4n ·

(－2)4C 2n ·(－2)

2＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.

(2)通项公式T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·???

?－2x 2k ＝C k

8· (－2)k ·x

822

k --，

令8－k 2－2k ＝32

，则k ＝1，故展开式中含x 3

2的项为

T 2＝－16x 32

12．从函数角度看，组合数C r n 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{r |r ∈N ，r ≤n }．

(1)证明：f (r )＝n －r ＋1r

f (r －1)；

(2)利用(1)的结论，证明：当n 为偶数时，(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大．

解：(1)证明：∵f (r )＝C r n

＝n ！

r ！(n －r )！

， f (r －1)＝C r －1n ＝

n ！

(r －1)！(n －r ＋1)！

，

∴n －r ＋1r f (r －1)＝n －r ＋1r ·n ！(r －1)！(n －r ＋1)！＝n ！

r ！(n －r )！.

则f (r )＝

n －r ＋1

f (r －1)成立． (2)设n ＝2k ，∵f (r )＝n －r ＋1

r f (r －1)，f (r －1)>0，

∴f (r )

f (r －1)

＝2k －r ＋1r .

令f (r )≥f (r －1)，则2k －r ＋1r ≥1，则r ≤k ＋1

2(等号不成立)．

∴当r ＝1,2，…，k 时，f (r )>f (r －1)成立．

反之，当r ＝k ＋1，k ＋2，…，2k 时，f (r )

即(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大．

1．若????x ＋2

x n 的展开式中的第5项为常数，则n ＝( ) A ．8 B ．10 C ．12

D ．15

解析：选C ∵T 4＋1＝C 4

n (

x )n －4

????2x 4＝C 4n 24

x n －122为常数，∴n －12

＝0，n ＝12. 2．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )

A.?

???－∞，1

5 B.????45，＋∞ C.?

???－∞，－45 D ．(1，＋∞)

解析：选D 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是 T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r 依题意有 ???

C 19

x 9－1

·y ≤C 29

·x 9－2·y 2，

x ＋y ＝1，xy <0.

由此得?????

x 8·

(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0，

由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)． 3．9192除以100的余数是________．解析：∵9192＝(90＋1)92

＝C 0929092＋C 1929091＋…＋C 9092902＋C 919290＋C 92

＝M ×102＋92×90＋1(M 为整数)＝100M ＋82×100＋81. ∴9192除以100的余数是81. 答案：81

4．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N *)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；

(2)对f (x )展开式中x 2的系数取最小值时的m ，n ，求f (x )展开式中x 7的系数．

解：(1)由题意知C 1m ＋C 1n ＝19，

即m ＋n ＝19，所以m ＝19－n .

x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝12(19－n )(18－n )＋ 12n (n －1)＝n 2－19n ＋171＝????n －1922＋323

，

∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，x2的系数取最小值????1

22＋323

＝81.

(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x7的系数为C710＋C79＝C310＋C29＝156.