例析“游戏公平性”问题

例析“游戏公平性”问题判定游戏是否公平是概率问题中最常见的应用形式之一，也是近几年来中考命题的热点之一，游戏是否公平取决于参加游戏的各方获胜的概率是否相等．因此，解决这类问题常常需要将事件划分为几个相关的事件，然后分别计算它们发生的概率，再通过比较概率的大小作出公平与否的判定．对于不公平的游戏，可通过计算所得到的概率的大小进行合理的更改，以使双方的概率值相等，从而保证游戏双方的公平．下面举例说明：

一、通过计算游戏双方获胜的理论概率判断公平性

例1 （2009年山西太原）某中学九年级有8个班，要从中选出两个班代表学校参加社区公益活动．各班都想参加，但由于特定原因，一班必须参加，另外从二至八班中再选一个班．有人提议用如下的方法：在同一个品牌的四个乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，并放入一个不透明的袋中，摇匀后从中随机摸出两个乒乓球，两个

球上的数字和是几就选几班，你认为这种方法公平吗？请用列表

或画树状图的方法说明理由．

解析：这种方法不公平．一次摸球可能出现的结果列表如下：

由上图可知，一次摸球出现的结果共有16种可能的情况，且每种情况出现的可能性相同．其中和为2的一种，和为3的两种，和为4的三种，和为5的四种，和为6的三种，和为7的两种，和为8的一种．

P（和为2）=P（和为8）=

1

16

，P（和为3）=P（和为7）=

21

168

=，

P（和为4）=P（和为6）=

3

16

，P（和为5）=

41

164

=．

所以1311 416816 >>>．

因为二班至八班各班被选中的概率不全相等，所以这种方法不公平．

二、通过计算游戏双方的理论得分判断游戏公平性

例2 （2009年辽宁抚顺改编）如图所示，甲、

乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的

转盘A、B，每个转盘倍分成面积相等的几个扇形，

并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两

个转盘，当转盘停止后，指针停止后，指针所指区域

的数字之和为1时，甲得1分；数字之和为2时，乙得1分（如果指针恰好指在分割线上，那么重转依次，直到指针指向某一区域为止）．

1 2 3 4

（1）用树状图或列表法分别求出甲、乙获胜的概率；

（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请修改规则，使游戏对双方公平．

解析：（1）所有可能的情况如下：

共有12种等可能情况，其中数字之和为1的结果有3次，数字之和为2的结果有2次．所以P （甲获胜）=163，P （乙获胜）=8

1162=． （2）因为甲得分为1631163=?，乙得分为81181=?，又8

1163>，所以游戏不公平． 修改游戏规则：若指针所指区域的数字之和为1时，甲得2分；数字之和为2时，乙得3分．（注：答案不惟一，合理地修改规则均可）．