(完整word版)数列求和及综合应用
数列求和及综合应用
解答题
1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式.
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d ,2+4d 成等比数列可求得公差d ,从而根据通项公式表示出数列{a n }的通项. (2)根据{a n }的通项公式表示出{a n }的前n 项和公式S n ,令S n >60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2
=2(2+4d ),
化简得d 2
-4d=0,
解得d=0或d=4. 当d=0时,a n =2;
当d=4时,a n =2+(n-1)·4=4n-2,
从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n-2. (2)当a n =2时,S n =2n. 显然2n<60n+800,
此时不存在正整数n ,使得S n >60n+800成立. 当a n =4n-2时,S n =
[2(4n 2)]2
n +-=2n 2
.
令2n 2
>60n+800,即n 2
-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),
此时存在正整数n ,使得S n >60n+800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n.
当a n =4n-2时,存在满足题意的n ,其最小值为41.
2. （2014·湖北高考理科·Ｔ18）已知等差数列{a }n 满足： 1a ＝2，且123,,a a a 成等比数列.
（1） 求数列{a }n 的通项公式.
（2） 记n S 为数列{a }n 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800?n S n >+若存在，求n 的最小
值；若不存在，说明理由.
【解题指南】（Ⅰ）由2，2d +，24d +成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{}n a 的通项；
（Ⅱ）根据{}n a 的通项公式表示出{}n a 的前n 项和公式n S ,令n S 60800n >+，解此不等式。 【解析】（1）设数列{a }n 的公差为d ，依题意，d,2d,24d ++成等比数列， 故有2
(2d)2(24d)+=+
化简得2
d 40d -=，解得0d =或4d = 当0d =时，a 2n =
当4d =时，a 2(n 1)442n n =+-?=-
从而得数列{a }n 的通项公式为a 2n =或a 42n n =-。 （2）当a 2n =时，2n S n =。显然260800n n <+ 此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立。 当a 42n n =-时，2[2(4n 2)]
22
n n S n +-=
=
令2
260800n n >+，即2
304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），
此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41。 综上，当a 2n =时，不存在满足题意的n ；
当a 42n n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41。 3. （2014·湖南高考理科·Ｔ20）（本小题满分13分）
已知数列{n a }满足*
111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈
（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若1
2
p =
，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 【解题提示】（1）由{n a }是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用12,3,23a a a 成等差数列，得到关于p 的方程即可；
（2） {21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。
【解析】（1）因为{n a }是递增数列，所以n
n n p a a =-+1， 又11=a ，1,12
32++=+=p p a p a ，
因为12,3,23a a a 成等差数列，所以p p p p p a a a =+++=++=2
23123,333144,34，
解得0,3
1==
p p ，当0=p ，01=-+n n a a ，与{n a }是递增数列矛盾，所以31=p 。
（2）因为{21n a -}是递增数列，所以01212>--+n n a a ， 于是()+-+n n a a 212()0122>--n n a a ① 由于
1
2221
21-<
n n ，所以122212-+-<-n n n n a a a a ② 由①②得()0122>--n n a a ，所以()1
221
21222121----=
?
?
?
??=-n n n n n a a ③ 因为{2n a }是递减数列，所以同理可得0212<-+n n a a ，()n
n n
n n a a 21
222122
121++-=
?
??
??-=-④由③④得
()n
n n
n a a 2111++-=-，
所以()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ
()()()1
23122121211--+
+-+-+=n n
Λ()1
1
2131342
11211211---+=+???
?
?--?+=n n
n ， 所以数列{n a }的通项公式为()1
213134--+=n n
n a ． 4. （2014·湖南高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n
n S n ，2
2. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()n n
a
n a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.
【解题提示】（1）利用n n S a ,的关系求解，（2）分组求和。
【解析】（1）当1=n 时，111==S a ；
当n n n n n S S a n n n n =-+--+=-=≥-2
)
1()1(22221时，， 故数列{}n a 的通项公式为n a n = （2）由（1）知，()n b n
n
n 12-+
=，记数列{}n
b 的前2n 项和为n
T
2，
则)24321()222(2212n T n
n +?-+-+-++?++=
记n
A 2212
22+?++=,n B 24321+?-+-+-=，
则222
1)
21(2122-=--=
+n n A ， n n n B =+--+??++-++-=]2)12([)43()21(
故数列{}n b 的前2n 项和22
1
22-+=+=+n B A T n n 5.(2014·广东高考文科·T19)(14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足2n S -(n 2+n-3)S n -3(n 2+n )=0,n ∈N *. (1)求a 1的值.
(2)求数列{a n }的通项公式. (3)证明:对一切正整数n ,有
111(1)a a ++221(1)a a ++…+1(1)n n a a +<13
.
【解题提示】(1)可直接令n=1. (2)用n 表示出S n ,利用a n =S n -S n-1(n ≥2). (3)先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.
【解析】(1)令n=1,则S 1=a 1,21S -(12+1-3)S 1-3(12+1)=0,即21a +a 1-6=0, 解得a 1=2或a 1=-3(舍去). (2) 2n S -(n 2
+ n-3)S n -3(n 2
+n )=0
可以整理为(S n +3)[S n -(n 2+n )]=0,
因为数列{a n }中a n >0, 所以S n ≠-3,只有S n =n 2+n.
当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-(n-1)2-(n-1)=2n , 而a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N *). (3)因为
1(1)n n a a +=12(21)n n +=1
4
·
11()
2
n n +<
14·111()(1)44
n n -+-，
1
11
()(1)
44n n -+-=
11
4
n --
1114
n +-
,
所以
111(1)a a ++221(1)a a ++…+1
(1)
n n a a +
<141
11111++11111112231444444n n ??
???????? ? ? ??? ? ? ???-----+- ? ? ??
???--?+??-?? =1411
11114
4n ??
????-+-?
??-? =13-143n +<13.
故对一切正整数n ,有
111(1)a a ++221(1)a a ++…+1(1)n n a a +<1
3
.
6. （2014·浙江高考理科·Ｔ19）（本题满分14分）
已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*
∈=
N n a a a n
b n 2
21Λ.若{}n
a 为等比数列，且
.
6,2231b b a +==
（1）求n
a 与n
b ；
（2）设
()
*∈-=
N n b a c n
n n 11，记数列
{}n c 的前n 项和为n S .
①求n
S ；
②求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥.
【解析】（1
）由题意123n
b n a a a a ???=，
326
b b -=
知
326
38b b a -=== 又由12
a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项*2()n n a n N =∈
所以
(1)
(1)
2
1232
n n n n n a a a a ++???==，所以数列{}n b 的通项*(1)()n b n n n N =+∈
（2）①由（1）知
*11111()()21n n n n c n N a b n n =
-=--∈+所以1112n n S n =-+
*
()n N ∈ ②因为10
c =，
2340,0,0
c c c ＞＞＞； 当5n ≥时，
1(1)1(1)2n n n n c n n +??
=
-??+??
而11
(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=＞ 得5(1)5(51)
122n n n ++≤＜
所以，当5n ≥时，
n c ＜
综上，对任意*
n N ∈恒有4n
S S ≥，故4k =.
7. （2014·上海高考理科·Ｔ23）已知数列{}n a 满足1113,*,13
n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；
（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++L ，113,*,3
n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围；
（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000k a a a +++=L ，求正整数k 的最大值，以及
k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L 的公差.
【解题指南】
232344max 11211
(1)3,3.(2)133
12
1000,3,,321
2
1000,21
n n n k a a a a a a x q q k a a a d a k a a d d k k +≤≤≤≤=≠≥≤≤≥-+-++=≥--L 根据可求得的范围需对分类讨论，若，
易得符合题意，若q 1时，再通过放缩法解不等式组即得结论.(3).当k=1000,
d=0是一组解，故根据可得然后根据得到关于的关系式，而得到关于的不等式，
解此不等式即得.
【解析】
23234411211+1112
(1)3,6;
33
1
3,327;36;3
11
(2),33
33
11,3,13,.
33111111
3,3,3
13311113n n n n n n n n n n n n n n a a a x a a a x x a q a a a q n
q n s s s n n q q q q q s s s s q q q q -++≤≤∴≤≤≤≤∴≤≤≤≤=≤≤∴≤≤==≤≤≤+≤----≤=≤≤≤≤----∴≤依题意，又综上可得；由已知得，又，当时，s 即成立当1<时，即1+11
11213201
313201,32=20
3+201,320,121230
3+2(3)23)2(1)(2)012
1113n n n n n n
n n n n n n n n n n q q q q q q q q q q q q n q q q q q q q q q q q q q q q s +++++?--≥-≤?--+≤?
>--->-≤=-+≤≤≤<≤-<∴-=-+≤-+=--≤∴<≤-≤<=Q ，此不等式即故（3q-1)-2>2q 对于不等式，令得解得又当时，（成立当时，+1111
1111111,3,3133111320320
310,30
32=20
3+2(3)23)2(1)(2)01
13
1
2
3
3n n n n n n n n n n n
n n n
n n n n q q q q s s s q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q +++++---≤≤≤≤----?--≤∴?-+≥?->-<∴---<-=-+≥-+=-->∴≤<≤≤即此不等式即（3q-1)-2<2q （时，不等式恒成立综上，的取值范围为（）max ,1000,010001+2)1(1)3(1(2))3
(21)2(25)2
22
1000,2125d k d k k d
k d k d k d k d k d d k k ==≥-≤+-≤+--≥-?∴?
-≥-?≥≥-≥-
--设公差为显然，当时，是一组符合题意的解，故（则由已知得
当时，不等式即
12221(11000
2200022
10001)2110001999
2000219981
19991)199919981999
k d d k k k d
a a a k k k d k k k k k k k d k k ∴≥-
--+++=+=-∴≥=≥-
--≤≤+∴≤-∴=
=-=-
-?L 的取值范围为）时，（解得的最大值为，此时公差（
8.(2014·江西高考文科·T17)已知数列的前n 项和S n =,n ∈N *. (1)求数列的通项公式.
(2)证明:对任意的n>1,都有m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列. 【解题指南】(1)利用a n =S n -S n-1(n ≥2)解决. (2)a 1,a n ,a m 成等比数列,转化为=a 1·a m .
【解析】(1)当n=1时a 1=S 1=1;当n ≥2时a n =S n -S n-1=-=3n-2,对n=1也满足, 所以的通项公式为a n =3n-2;
(2)证明:由(1)得a 1=1,a n =3n-2,a m =3m-2,要使a 1,a n ,a m 成等比数列,需要=a 1·a m ,
所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n 2-4n+2∈N *,所以对任意n>1,都有m ∈N *使得=a 1·a m 成立, 即a 1,a n ,a m 成等比数列.
9 （2014·上海高考文科·Ｔ23）已知数列{}n a 满足111
3,*,13
n n n a a a n N a +≤≤∈=. （2）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （3）若{}n a 是等比数列，且1
1000
m a =
，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；
（3）若12100,,,a a a L 成等差数列，求数列12100,,,a a a L 的公差的取值范围. 【解题指南】
2323441211111
(1)3,3.(2)3333
1
3,3
.
n n n a a a a a a x a a a a a a d n +≤≤≤≤≤≤≤≤根据可求得的范围根据可把q 的范围求出，
再根据通项将m 用q 表示出来，用放缩法求解.(3).根据可得公差的关系式，对分类讨论可得
【解析】
2323441121110007
12
(1)3,6;
33
1
3,327;36;3
11
(2),,33
33
11
1
10003
1333
1log 100011117.28
1log lg lg3lg 3
118,(100010n n m m q a a a x a a a x x q a q a a a q q m q q m q q --≤≤∴≤≤≤≤∴≤≤≤≤=≤≤∴≤≤∴≤<=-=-=-≥-=+≈∴=∴=依题意，又综上可得；设公比为由已知得，又，故a =q =,的最小值为，故1377
)10001+2)3,1(1)3(1(2)),
3
(21)2
2100,(25)22
2-2
3
22
3100,2125
22
2001199
22.
199n d
d n d n d n d n n d n d n d d n n d d -=-≤+-≤+--≥-?≤≤?
-≥-?=≤≤≤≤≥-≥---∴≥-
=--??
-????
（（）设公差为由已知可得其中即令得，当时，不等式即综上，公差的取值范围为，
10. （2014·山东高考理科·Ｔ19）
已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令1
1
4(1)n n n n n
b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列{}n a 的
通项公式.(2)利用裂项求和法求解，注意本题是将数列{}n b 裂成两项之和，然后再分奇数和偶数来求数列{}n b 的前n 项和.
【解析】（I ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===
412
2421,,S S S S S S =∴成等比Θ
解得12,11-=∴=n a a n （II ）)1
21
121()1(4)1(111
++--=-=-+-n n a a n b n n n n n )
1
21
121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n ΛΛ为偶数时，当1
221211+=
+-
=n n
n T n 所以 )
1
21
121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n ΛΛ为奇数时，当1
22
21211++=
++
=n n n T n 所以 ???????+++=为奇数为偶数所以n n n n n n
T n ,1
222,1
22
11. （2014·山东高考文科·Ｔ19）
在等差数列{}n a 中，已知2d =，2a 是1a 与4a 等比中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设()12
,n n n b a +=记()1231n
n n T b b b b =-+-++-L ，求n T .
【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列{}n a 的通项公式.(2)分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.
【解析】： （Ⅰ）由题意知：
{}n a 为等差数列，设()d n a a n 11-+=，2a Θ为1a 与4a 的等比中项
4122a a a ?=∴且01≠a ，即()()d a a d a 31121+=+，Θ2=d 解得：21=a
n n a n 22)1(2=?-+=∴
（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：n a n 2=，)1(2
)1(+==+n n a b n n n
①当n 为偶数时：
()()()()
()()()()[]
()
()2
22222642222624221153431214332212n
n n n n n n n n n n T n +=+?
=++++?=?++?+?+?=++--+++-++-=+++?-?+?-=ΛΛΛΛΛΛΛΛ ②当n 为奇数时：
()()()()
()()()()[]()
()()()[]()
()()2121221
12211642212126242212153431214332212++-
=----+?=+--++++?=+-?-++?+?+?=+-+---+++-++-=+-+?-?+?-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n ΛΛΛΛΛΛΛΛ
综上：???????+++-=为偶数
为奇数，n n n n n n T n ,2
221
22
2 12.(2014·江西高考理科·T17)已知首项都是1的两个数列{a n }{b n }(b n ≠0,n ∈N *),满足a n b n+1-a n+1b n +2b n+1b n =0.
(1)令c n =,求数列{c n }的通项公式. (2)若b n =3n+1,求数列{a n }的前n 项和S n .
【解题指南】(1)将等式两端同时除以b n b n+1即可求解.
(2)由(1)及b n =3n+1可得数列{a n }的通项公式,分析通项公式的特征利用错位相减法求S n . 【解析】(1)因为b n ≠0, 所以由a n b n+1-a n+1b n +2b n+1b n =0, 得-+2=0,即-=2,
所以c n+1-c n =2,所以{c n }是以c 1==1为首项,2为公差的等差数列,
所以c n =1+(n-1)×2=2n-1. (2)因为b n =3n+1,c n =2n-1. 所以a n =c n b n =(2n-1)3n+1.
所以S n =1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)3n+1,
3S n =1×33+3×34+…+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2, 作差得:-2S n =32+2(33+34+…+3n+1)-(2n-1)3n+2
=9+2×-(2n-1)3n+2 =-［18+2(n-1)3n+2］,
所以S n =9+(n-1)3n+2.
13.（2014·安徽高考文科·Ｔ18）数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈
（1） 证明：数列{}n a
n
是等差数列；
（2） 设3n n b ={}n b 的前n 项和n S
【解题提示】 利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。
【解析】(1)由已知可得111111n n n n a a a a n n n n
++=+?=++，所以{}n a
n 是以1为首项，1 为公差
的等差数列。
（2）由（1）得=1+n a
n
（n-1）=n ，所以2=n a n ,从而.3n n b n =，
1231.3+2.3+3.3+n n S =...+n.3 234+13 1.3+2.3+3.3++n n n S =...(n-1)3+n.3
将以上两式联立可得123+1
-23+3+3+...+n n n S =3-n.3
=+13.(13)13
n n ---n.3=11-2).332n n +-（
所以121).334
n n n S +-+=（
14. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T17)(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足a 1=1,a n+1=3a n +1.
(1)证明12n a ?
?+???
?是等比数列,并求{}n a 的通项公式.
(2)证明:
11a +21a +…+1n a <32
. 【解题提示】(1)将a n+1=3a n +1进行配凑,得“a n+1+12”与“a n +1
2
”的关系,得证,然后求得{a n }的通项公式.
(2)求得1n a ??
????的通项公式,然后证得不等式.
【解析】(1)因为a 1=1,a n+1=3a n +1,n ∈N *. 所以a n+1+
12=3a n +1+12=312n a ?
?+ ??
?.
所以12n a ?
?+???
?是首项为a 1+12=32,公比为3的等比数列.
所以a n +12=32
n
,所以a n =312n -.
(2)
1n a =231n -. 11a =1,当n>1时, 1n a =231n -<1
31
n -. 所以11a +21a +…+1n a <1+113+213+…+113n -=1
13113
n -
-=31123n ??- ???<3
2
. 所以,
11a +21a +…+1n a <3
2
.n ∈N *. 15. （2014·四川高考理科·Ｔ19）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）．
（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1
2ln 2
-
，求数列{}n n
a
b 的前n 项和n T . 【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公
式和前n 项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力.
【解析】（1）点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上，所以2n a n b =，又等差数列{}n a 的公差为d ，
所以1
112222
n n n n a a a d n a n b b ++-+===，
因为点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，所以87842a b b ==，所以8
7
24d b b ==2d ?=， 又12a =-，所以221(1)
232
n n n S na d n n n n n -=+
=-+-=-． （2）由()2()2ln 2x x f x f x '=?=
函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为222(2ln 2)()a y b x a -=-
所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而211
2ln 2ln 2
a -=-
，故22a = 从而n a n =，2n n b =，2
n n n a n
b =
231232222n n n
T =++++L
2341112322222
n n n T +=++++L 所以23411111112222222n n n n T +=+++++-L 111211222
n n n n n +++=--=-
故2
22
n n n T +=-.
16. （2014·四川高考文科·Ｔ19）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *∈）．
（1）证明：数列{}n b 为等比数列；
（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1
2ln 2
-
，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S ．
【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式和前n 项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力. 【解析】（1）点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上，所以20n a n b =>，又等差数列{}n a 的
公差为d ，当1n ≥时，1112222
n n n n a a a d n a n b b ++-+===，所以，数列{}n b 是首项为12a ，公比为2d
的等比数列．
（2）由()2()2ln 2x x f x f x '=?=
函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为222(2ln 2)()a y b x a -=-
所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而211
2ln 2ln 2
a -=-，故22a =，
所以211d a a =-=，从而n a n =，2n n b =，24n n n a b n =?，
于是231424344n n T n =?+?+?++?L ，
234141424344n n T n +=?+?+?++?L ，
所以231
444444
n n n n T T n +-=++++-?L 11144(13)44433
n n n n n +++---=-?=.
所以1(13)44
3
n n n T +--=.
17. （2014·重庆高考文科·Ｔ16）已知{}n a 是首项为1, 公差为2 的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. (1)求n a 及n S
(2)设{}n b 是首项为2 的等比数列，公比q 满足244(1)0.q a q S -++= 求{}n b 的通项公式及其前n 项和.n T
【解题提示】 直接根据等差等比数列的性质求解通项公式及前n 项和. 【解析】(1)因为{}n a 是首项为1, 公差为2 的等差数列，所以
1(1)2 1.n a a n d n =+-=-
故21()(121)
13(21).22
n n n a a n n S n n ++-=+++-=
==L (2)由(1)得447,16.a S ==因为244(1)0.q a q S -++=即28160,q q -+= 所以2(4)0,q -=从而 4.q =
又因为12,b = {}n b 是公比为4 的等比数列，所以
11211242.n n n n b b q ---==?=
从而{}n b 的前n 项和1(1)2(41).13
n n
n b q T q -=
=--
(完整版)数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
数列求和、数列的综合应用
数列求和、数列的综合应用 挖命题 【考情探究】 考点：1.数列求和； 2.数列的综合应用。 内容解读：①掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. ②能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和. 2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题. 3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 破考点 【考点集训】 考点一数列求和 1.(2017湖南郴州第一次教学质量监测,6)在等差数列{a n}中,a4=5,a7=11.设b n=(-1)n·a n,则数列{b n}的前100项之和S100=( ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 答案 D 2.(2018湖北东南省级示范高中联考,15)已知S n为{a n}的前n项和,若a n(4+cos nπ)=n(2-cos nπ),则S88等于. 答案2332 3.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n},{b n}满足 a n b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前2018项和为. 答案 1 009 2 020 考点二数列的综合应用
1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项均为1,公差与公比 均为3,则a b 1+a b 2 +a b 3 =( ) A.64 B.32 C.38 D.33 答案 D 2.(2017陕西西安铁一中第五次模拟,9)已知数列{a n}满足a n=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有“优数”的和为( ) A.1024 B.2003 C.2026 D.2048 答案 C 3.已知a n=3n(n∈N*),记数列{a n}的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,(T n+3 2 )k≥3n-6恒成立,则实数k的取值范围是. 答案k≥2 27 炼技法 【方法集训】 方法1 错位相减法求和 1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{na n}的前n项和为S n,且a n=2n,则使得S n-na n+1+50<0的最小正整数n的值为. 答案5 2.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1=C. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记b n=a n(a2n-1+1),求数列{b n}的前n项和T n. 解析(1)设数列{a n}的公差为d, 则S n=na1+n(n-1) 2d=d 2 n2+(a1-d 2 )n, 又S n=n2+Bn+C-1,两式对照得{d 2 =1, C-1=0, 解得{ d=2, C=1, 所以a1=1, 所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*). (2)由(1)知b n=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,
常见的数列求和及应用
常见的数列求和及应用 常见的数列求和及应用 一、自主探究 1、等差数列的前n项和公式：。 2、等比数列的前n项和公式： ①当时，； ②当时， = 。 3、常见求和公式有： ①1+2+3+4+…+②1+3+5+…+（2n-1）= ※③※④ 二、典例剖析 （一）、分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用公式分别求和，从而得出原数列的和。 例1 已知，求数列｛｝的前n项和。 变式练习：已知，求数列｛｝的前n项和。 （二）、裂项求和法：如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法。特别地，当数列形如，其中是等差数列，可采用此法 例2 求和：（） 变式练习：已知数列的通项公式，求数列｛｝的前n
项和。 （三）、奇偶并项法：当数列通项中出现时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论。 例3 求和： （四）、倒序相加法：此法主要适用数列前后具有“对称性”，即“首末两项之和相等”的形式。 例4 求在区间内分母是3的所有不可约分数之和。 变式练习：已知且 .求 （五）错位相减法：一般地，如果数列时等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用此法，在等式的两边乘以或，再错一位相减。 例5 求和： 变式练习：求和： 三、提炼总结：数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现，求和题在试题中更是常见，它常用来考察我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n项和都是从第1项一直加到第n项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法；⑵分组求和法；⑶裂项求和法；拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整：① = ；
数学竞赛用数列求和(1)
专题 数列求和在全国高中数学联赛中的应用 数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。 一、 基础知识 1.常用的数列求和公式： (1)d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)=n S ? ?? ??≠--=--=)1(11)1()1111q q q a a q q a q na n n （ (3))1(211+=∑ =n n k n k ；)12)(1(61 1 2++=∑ =n n n k n k ； 21 3 )]1(2 1 [+=∑=n n k n k 2.累加法：给出数列｛a n ｝的递推式和初始值（等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式），求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。 3.错位相减法：主要用于求形如{n n b a ?}数列前n 项的和，其中｛a n ｝、｛b n ｝分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当1≠q 时的情况： q q a S n n --=1)1(1就是通过错位相减法得到的。 4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：2 ) (1n n a a n S += 就是用倒序相加法推导出来的。 5.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。 例1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是：)12)(1(++=n n n a n ，试求｛a n ｝ 的前n 项和n S 。 导析：很多学生会试图计算出 ,84,30,6321===a a a 以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。 把通项展开得：n n n a n ++==2332，故可把｛a n ｝分成三类分别求和。
考点25 数列求和及综合应用
考点25 数列求和及综合应用 一、选择题 1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则（ ） A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。 C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b += +，2 1n n n a b c +=+，所以1a a n =，++1n b = +1n c 2n n a c +2 n n a b ++ 1)(21 )(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2 1 2111a c b a c n n n -+= -+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ?中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b = +1n c 2n n a c +2n n a b +- )(21 n n c b --=， 所以)()2 1 (111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ?的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12 1||21==为递增数列. 二、填空题 2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3 132+=n n a S ，则 }{n a 的通项公式是=n a _________
数列求和公开课教案(1)
《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。
专题04 数列求和及综合应用(原卷版)
专题04 数列求和及综合应用 【要点提炼】 1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1） 6. 2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝???S 1 （n ＝1）， S n －S n －1 （n ≥2）. (2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和 (1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加 抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如? ???????? ?c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为 零的等差数列，c 为常数)的数列. 温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题. 考点一 数列求和及综合应用 考向一 a n 与S n 的关系问题 【典例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1 T n T n ＋1 . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.
4数列求和(1)
第四节数列求和 、基础知识 1. 公式法 (1)等差数列｛a n｝的前n项和S n = n?1]* = na j + 卑— 推导方法：倒序相加法. 严1, q = 1, ⑵等比数列｛a n｝的前n项和S n = a1(1-q n) q^ 1 L. 1 q 推导方法：乘公比，错位相减法. ⑶一些常见的数列的前n项和: ①1 + 2+ 3+…+ n =吨严 ②2+4+6+…+ 2n= n(n+ 1); ③ 1 + 3+5+…+ 2n— 1 = n2 2. 几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. ⑵裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得前n项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. ⑷倒序相加法：如果一个数列｛a n｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
考点一分组转化法求和 ［典例］ n 2 + n 已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = —2—，n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵设b n = 2a n + (— 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和. [解](1)当 n = 1 时，a 1= S 1= 1; 2 2 当 n >2 时，a n = S n -S n — 1= 又a 1= 1也满足a n = n ,故数列｛a *｝的通项公式为a n = n. ⑵由⑴知 a n = n , 故 b n = 2"+ ( — 1) n n. 记数列｛b n ｝的前2n 项和为T 2n , 则 T 2n = (21 + 2?+ …+ 22n )+ (— 1 + 2— 3 +4—…+ 2n). 记 A =:勺 + :2+ …+ 22n , B =— 1 + 2— 3 + 4—…+ 2n , 则 A =红1二幼 22n + 1 — 2, 1 — 2 B = (— 1 + 2) + (— 3 + 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n] = n. 故数列｛b n ｝的前2n 项和 ［解题技法］ 1.分组转化求和的通法 若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数 解析：选C T 2n = A + B = 22n + 1+ n — 2. 数列求和应从通项入手, 列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数列求和. 2.分组转化法求和的常见类型 厂I 叫=也士*?，血｝, 为等差或竽 分组求和 ［题组训练］ 1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是a n = 2n — g),则其前20项和为( ) 379 + 2^ B . 399 + 220 C . 419 + 尹 D . 439 + 220
2013届高三数学二轮复习 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用教案
第2讲 数列求和及数列的综合应用 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列??? ? ? ? 1a n a n ＋1的前100项和为 A. 100101 B.99101 C.99100 D.101 100 解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴? ???? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－1 2d ＝15，， ∴???? ? a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列{1 a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…1100－1101＝1－1101＝100101 . 答案 A 2．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N ＋，
高中数列求和公式
数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
考点25 数列求和及综合应用
温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点25 数列求和及综合应用 一、选择题 1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则（ ） A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列 C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b += +，2 1n n n a b c +=+，所以1a a n =，++1n b = +1n c 2n n a c +2 n n a b ++ 1)(21 )(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2 1 2111a c b a c n n n -+= -+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ?中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b = +1n c 2n n a c +2n n a b +- )(21 n n c b --=， 所以)()2 1 (111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ?的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12 1||21==为递增数列. 二、填空题
41总复习：数列求和及其综合应用(基础)知识梳理
数列求和与综合应用 【考纲要求】 1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式 3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法； 4.能解决简单的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. 与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题. 有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等. 有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题. 数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】 类型一：数列与函数的综合应用 例1.(2015 菏泽一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()( )* 1n S n n n N =+∈. 综合应用 与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等 数列前n 项和 公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消 分组求和
数列求和7种方法(方法全_例子多)
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案：
二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知，求数列｛答案： 练习题2的前n 项和为____ 答案： 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第二讲 数列求和及综合应用
第二讲数列求和及综合应用 高考考点 考点解读 求数列的通项公式1.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式；已知等差(比)的某些项或前几项的和，求其通项公式 2．考查等差(比)数列的概念以及通项公式、前n项和公式等 求数列的前n项和1.以等差(比)数列为命题背景，考查等差(比)的前n项和公式、分组求和 2．以递推数列、等差(比)数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法 与数列的和有关的综合应用1.等差(比)数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和 2．常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)加强对递推数列概念及解析式的理解，掌握递推数列给出数列的方法． (2)掌握等差(比)数列求和公式及方法． (3)掌握数列分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法． (4)掌握与数列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略． 预测2020年命题热点为： (1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式． (2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和． (3)已知某个不等式成立，求某参数的值．证明某个不等式成立． Z 知识整合 hi shi zheng he 1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n＝a n＋b n形式的数列求和问题的方法，其中{a n}与{b n}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． 2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n＝f(n＋1)－f(n)的形式，然 后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{c a n a n＋1 }(其中{a n}是公差d≠0且各项均不为0
高考数学专题-数列求和及综合应用
高考数学专题-数列求和及综合应用 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真 题 感 悟 1.(·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列???? ?? ????a n 2n ＋1的前n 项和. 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2 2n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2 2n －1 . (2)记?????? ??? ?a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1 2n ＋1 ， 则S n ＝? ? ???1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 2.(·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列???? ? ?b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知???a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2 ，
数列求和常用方法(经典讲解)
求数列前n 项和常用方法（经典讲解） 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ，即8n =时，501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那 么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是
第2讲 数列的求和及综合应用
第2讲 数列的求和及综合应用 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列?????? ??? ?a n 2n ＋1的前 n 项和. 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2 2n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2 2n －1 . (2)记?????? ??? ?a n 2n ＋1的前 n 项和为S n ， 由(1)知 a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1 2n ＋1 ， 则S n ＝? ? ???1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝1－ 12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 2.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列???? ? ? b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，
1数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过题目(这些题目基本涵盖了2016年高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种基本方法． 1 运用公式法 很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列前n 项和n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记： 22 1 231 123(1)2 135(21)12222111111122222 n n n n n n n n n -++++= ++++ +-=++++=-++++=- 还要记住一些正整数的幂和公式： 2 233332222)1(41 321)12)(1(6 1 321+=++++++= ++++n n n n n n n 题1 (2016年高考全国卷I 文科第17题)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111 ==3 n n n n b b a b b nb +++=1，，． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和． 解 (1)在11n n n n a b b nb +++=中选1n =，得1221a b b b +=，即1111 1,233 a a + ==． 又因为{}n a 是公差为3的等差数列，所以23(1)31n a n n =+-=-． （2）由（1）得()1131n n n n b b nb ++-+=，即11 3n n b b += ，得{}n b 是以1为首项，13 为公比的等比数列，得1 13n n b -?? = ??? .
所以{}n b 的前n 项和11 1313122313 n n n S -- = =-?-． 2 倒序相加法 事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法． 题2 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S ． 解 显然，这些既约分数为： 31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m 有 )31 ()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S 也有 )3 1 ()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S 所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-?+= 题3 求数列{}123n ++++的前n 项和n S . 解法1 因为211 123(1)()22 n n n n n +++ += +=+，所以 22221 [(123)(123)]2 n S n n =+++ +++++ + 1111 (1)(21)(1)(1)(2)2626 n n n n n n n n ??= ++++=++???? 解法2 因为 233 1211123(1)C C C (2)2 n n n n n n n ++++++ += +==-≥ 所以 33333 333 343542121 C (C C )(C C )(C C )C (1)(2)(2)6 n n n n S n n n n +++=+-+-+ +-== ++≥ 进而可得1 (1)(2)(6 n S n n n n = ++∈N *). 解法3 (倒序相加法)可得 1(12)(123)(123)n S n =+++++++++++ 1(21)(321)[(1)(2)1]n S n n n =++++++ ++-+-+ + 1 212[(1)(1)][(2)(2)(2)](1111)n n n S n n n n n n --=+-+-+-+-+-+ ++++ +个个() 3个() 把它们相加，得 31(2)2(2)3(2)(2)n S n n n n n =++++++ ++
2018高考数学试题分类汇编 数列求和及综合应用 解析版
数列求和及综合应用 一、填空题 1.(2018·江苏高考·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为. 【解析】B={2,4,8,16,32,64,128…},与A相比,元素间隔大,所以从S n中加了几个B中元素考虑, 1个:n=1+1=2S2=3,12a3=36 2个:n=2+2=4S4=10,12a5=60 3个:n=4+3=7S7=30,12a8=108 4个:n=8+4=12S12=94,12a13=204 5个:n=16+5=21S21=318,12a22=396 6个:n=32+6=38S38=1150,12a39=780 发现21≤n≤38时S n-12a n+1与0的大小关系发生变化,以下采用二分法查找: S30=687,12a31=612,所以所求n应在22~29之间, S25=462,12a26=492,所以所求n应在25~29之间, S27=546,12a28=540,所以所求n应在25~27之间, S26=503,12a27=516, 因为S27>12a28,而S26<12a27,所以使得S n>12a n+1成立的n的最小值为27. 答案:27 二、解答题 2.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T15)设{a n}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.
(1)求{a n}的通项公式. (2)求错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。. 【命题意图】考查求数列的通项公式与前n项和,以及对数运算,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、数据分析的数学素养. 【解析】(1)由已知,设{a n}的公差为d,则 a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln2,又a1=ln2, 所以d=ln2, 所以{a n}的通项公式为a n=ln2+(n-1)ln2=n ln2(n∈N*). (2)由(1)及已知,错误！未找到引用源。=e n ln2=(e ln2)n=2n, 所以错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=21+22+…+2n=错误！未找到引用源。=2n+1-2(n∈N*). 3.(本小题满分13分)(2018·天津高考理科·T18)设{a n}是等比数列,公比大于0,其前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4= b3+b5,a5=b4+2b6. (Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式. (Ⅱ)设数列{S n}的前n项和为T n(n∈N*), (ⅰ)求T n; (ⅱ)证明错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。-2(n∈N*). 【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力. 【解析】(I)设等比数列{a n}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.