微积分II期末模拟试卷三套及答案
微积分II 期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟） 一、填空题（3X5=15）
1、幂级数∑∞
=-11
2
n n n n x 的收敛区间为__________
2、由曲线2
3x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________ 3、改变
??
--2
1
222
x x x
fdy dx 的积分次序_______________________
4、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y
5、设dx x x
a n n n
n n +=?+-12310
1
, 则极限n n na ∞→lim 等于____________ 二、选择题（3X5=15） 6、定积分
()dx e
x x x
?-+22
的值是（ ）。
（A ） 0 ； （B ） 2 ； （C ） 2e 2
+2； （D ） 26
e
7、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于y
x
2-
，这曲线是（ ） (A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆 8、设函数()xy f x
y
z =
，其中f 可微，则
=??+??y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）
)(2xy f x （D ）)(2
xy f x
- 9、设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）
()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.
()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点
10、设级数
1
0n
n na
∞
==∑，且()11
n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1
n n a ∞
=∑（ ）
（A ）收敛 （B ） 发散 （C ）不定 （D ） 与n a 有关 三、计算题（5X10=50）
11、计算下列定积分 (1)
?
-2
234dx x x ；
(2)求抛物线342
-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。
12、计算下列多元函数微积分
(1)设f , g 为连续可微函数, )(),(xy x g v xy x f u +==，, 求x
v
x u ?????.
(2)设???? ??=+y z y z x ?22, 其中?为可微函数, 求y z
??.
13、计算下列二重积分 （1）计算??
D
xydxdy ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的闭区域.
（2）计算
??+D
y x dxdy e
2
2，其中D 是由422=+y x 所围成的闭区域.
14、处理下列级数
(1) 求∑∞
=+11
sin )
2ln(1n n n 的敛散性 （2）求∑∞
=+1)1(n n x n n 的和函数
15、求解下列微分方程
（1）0)()(2
2=-++dy y x y dx x xy （2）x
xe y y x =+'
四、综合题（2X10=20） 16、求函数()22
2
,x y f x y xe +-=的极值.
17、设)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，且
3
22
1y y y y --不恒等
于常数，证明3221211)()1(y c y c c y c y --++=为方程的通解（其中21,c c 为任意常数）。
微积分II 期末模拟试卷2（满分：100分；测试时间：100分钟） 一、填空题（3X5=15） 1、
=-?
dx x π
sin 1__________
2、2
2lim (1)n n
→∞
+用积分形式表示为____________
3、已知)(x f y =过(0, 2
1-
), 其上任一点处的切线斜率为)1ln(2
x x +, 则)(x f =____. 4、幂级数
∑∞
=-1
)1(n n
x
n 的和函数为______.
5、设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z x y
??+=??______. 二、选择题（3X5=15） 6、设∑∞
==>1),2,1(0n n n a n a ，且
收敛, 常数)2,0(π
λ∈, 则级数∑∞
=-1
2)tan ()1(n n n a n n λ
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关
7、曲线)(x y y =经过点)1,0(-，且满足微分方程x y y 42=+'，则当1=x 时，=y （ ） (A)0； (B)1； (C)2； (D)4
8、设k D 是圆域{
}
1|),(2
2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记??-=
k
D k dxdy x y I )(，则
（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 9、设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有
(,)(,)
0,0,x y x y x y
??>成立的一个充分条件是
(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <>
10、设?
=
4
1tan π
dx x
x I ,dx x x
I ?=402tan π
, 则
(A) .121>>I I (B) .121I I >> (C) .112>>I I (D) .112I I >> 三、计算题（5X10=50）
12、计算下列定积分 (1)
dx x
x x ?
--212
12
1arcsin ； (2)求)4
0(0,sin cos π
≤
≤=-=x y x x y 绕x 轴旋转的旋转体体积
12、计算下列多元微积分
（1）设)](,[2
xy y x f z ?-=, 其中f (u , v )具有二阶连续偏导数, )(u ?二阶可导, 求
y
x z
???2.
（2）dz x z z y y x f ，求0),,(=+++.
13、计算下列二重积分
（1）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求??D
dxdy x 2．
（2）求二重积分
()D
x y dxdy -??，其中()()()
{}
2
2
,112,D x y x y y x =-+-≤≥
14、处理下列级数
（1）试确定()
()
1
321n
n n
n x n ∞
=+-+∑
的收敛半径、收敛区间和收敛区域。
（2）把?
+=
x
dx x
x x f 0
)
1ln()(展成x 的幂级数。
15、求解下列微分方程
（1）y y y y '='+''2
)(；（2）x
xe y y y =+'+''2。
四、综合题（2X10=20）
16、设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且0)('≤x f , 求证: ?-=x a dt t f a
x x F )(1
)( 在(a , b )内也0)('≤x F .
17、求曲线)0,0(13
3
≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。
微积分II 期末模拟试卷3（满分：100分；测试时间：100分钟）
一、填空题（3X5=15）
1、曲线2221-x=0ln(2)u t e du
y t t -?
???=-?
?在（0，0）
处的切线方程为
2、设x y
y z x ??
= ???
，则(1,2)____z x ?=?. 3、微分方程2
12x
y x y +'
=''满足初始条件3,100='===x x y y 的特解=y 4、
∑∞
=+
1
)sin(n n
n π
π的敛散性为__________
5、设D 是顶点分别为()()()()1,0,2,1,0,1,0,0的直边梯形，计算()??+D
yd x σ1=________
二、选择题（3X5=15）
6、设2
sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π
==?则有
(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << 7、设函数f 连续，若2222
(,)uv
D F u v dxdy x y =
+??
，其中区域uv D 为图中阴影部分，则
F
u
?=? ()A 2()vf u ()
B 2()v
f u u
()C ()vf u ()D ()v f u u
8、二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[ ] （A ）
()
[](,)0,0lim
(,)(0,0)0x y f x y f →-=.
（B ）0
0(,0)(0,0)(0,)(0,0)
lim
0,lim 0x y f x f f y f x y
→→--==且.
（C ）
(2
2
(,)0,0lim
0x y x y
→=+.
（D ）00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→????''''-=-=????
且.
9、设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：
(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散 (C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. 10、微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为
（A ）2
(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2
(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++.
（C ）2sin y ax bx c A x *=+++. （D ）2
cos y ax bx c A x *=+++
三、综合题（7X10=70） 11、的单调区间与极值。求函数?
--=2
2
1
2
)()(x t dt e
t x x f
12、
,,.
05124),(222222=???+=+==??+???+??=η
ξηξu
by x ay x b a y u
y x u x u y x f u 下简化的值，使等式在变换确定且满足等式具有二阶连续偏导数，设函数
13、求微分方程2
()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.
14、将函数()21
f x x =在1x =处展开为幂级数，并求11
(1)2n n n n -∞
=-∑
15、设函数()y y x =由参数方程2
0()ln(1)t x x t y u du =?
?
?=+??
?确定，其中()x t 是初值问题020
x
t dx te dt
x --?-=???=?
的解.求22y x ??. 16、设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。
17、求证: 若x + y + z = 6, 则122
22≥++z y x , (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).
微积分II 期末模拟试卷1答案
1、解. 2
1212)1(1
lim lim
11=+=+∞→+∞→n
n n n
n n n n a a , 所以收敛半径为2. 2、
3
32 2
3x y -=与x y 2=交点为)2,1(),6,3(--，取x 微积分变量则 3
32
]313[]2)3[(13
23132=--=--=--?x x x dx x x S 。 3、
?
??
?+----=1
121
222
1
22
y y
x x x
fdx dy fdy dx
4、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为022
=-+r r ，解得特征根
2,121-==r r ，从而通解为=y x x e c e c 221-+。
5、【答案】1)1(2
3
1-+-e 【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.
【详解】 因为 dx x x
a n n n n n +=?+-123101
=)1(12310
n n n
n x d x n ++?+ =}1])1
(1{[1)1(123
10
2
3
-++=++n n n n
n n n x n
， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1
(
1{[lim 23
12
3
-+=-++-∞→e n n n n 6、选（Ｃ）
22|2|220)|(|220202
02
2
2
|
|+=-=+=+???
--e e xe dx xe dx dx e x x x x x x
7、选(D)；按题意有y x dx dy 2-=，即xdx ydy 2-=，积分得c x y =+222
1
，可见，该曲线是椭圆。
8、【详解】)('2)(')(1)(')(2
2xy yf xy yf xy f x
xy f x y xy f x y y x y z x z y x =++???? ??+-=??+??．应该选（A ）．
9、【答案】 D 【解析】因dz xdx ydy =+可得
,z z
x y x y
??==?? 2222221,0,1z z z z A B C x x y y x y ????== =
== ==??????，又在（0，0）处，0,0z z
x y
??==?? 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.
10、A 解：取()11
k
k n
n n S n a
a -==
-∑
()()()()()
()1021324310111011
01
1
234 k k k k k
k k k k
k
k k
k k
k k n n S a a a a a a a a k a a a a a a ka a S ka S
S
a S
S
a a S
--→∞
*-→∞
***-==?=-+-+-+-++-=--++
++=--+???→=???→===--∑∑，
则命题（A ）正确。 11、(1) 解：
?
-2
234dx x x 令t x sin 2= 得
??
-=??20
222
3
cos cos )1(cos 32cos 2cos 2sin 8π
π
t td x tdt t t
15
64)cos 31cos 51(322035=-=π
t x
解：切线方程分别为34-=x y 和62+-=x y ，其交点坐标是)3,2
3(，
49
)34()62()34(30232
323
=-+--+-+-=∴???dx x x dx x dx x S 。
12、(1) 解. y f f x u ''21+=??, )1('y g x
v +=??. 所以
)''(')1(21y f f g y v
v x u ++=????? (2) 解. 原式两边对y 求导.
2'2y z
y y z
y z y y z y z
z -?????
? ??+???? ??=????. 所以
?
??
?
??-???? ??-???? ??=??y z y yz y z z y z y y z '2'??? 13、（1)计算
??
D
xydxdy ，其中D 是由抛物线x y =2
及直线2-=x y 所围成的闭区域。 解：85562344212
2
1
2
16
2342
2
2
12
2
2=??????-++=??????=??????=
--+-+???
??y y y y dy y x dy xydx xydxdy y y D
y y
（2）计算
??+D
y x dxdy e 2
2
，其中D 是由422=+y x 所围成的闭区域。
解：
()
142
20
2
2
2-==????+e rdr e d dxdy e
D
r y x πθπ
14、（1）解. 因为1ln 11
sin )2ln(1lim =+∞→n
n n
n n , 所以∑∞=+11sin )2ln(1n n n 和∑∞
=1
ln 1n n n 有相同的敛散性. 又因为
?
∞
+2
ln 1dx x x 发散, 由积分判别法知∑∞
=1ln 1
n n
n 发散. 所以原级数发散. （2）解. 1||||)1(lim
<=+∞
→x x n n n
n
n 收敛. 当1±=x 得∑∞=+1
)1(n n n 及∑∞
=+-1
)
1()1(n n n n 都发散. 所以收敛区域为(－1, 1).
∑∞
==+1)1(n n
x x n n 3'
'21''111)1(21)1(x x x x x x x x n n n n n n +=???
? ??+=??? ??+∑∑∞
=∞=+-积分二次, x ∈(－1, 1)
15、（1）解：变量分离得，
1
122-=+x xdx
y ydy ， 两边积分得，
c x y ln 2
1
)1ln(21)1ln(2122+-=+， 从而方程通解为 )1(12
2
-=+x c y （2）解：整理得，x e y x
y =+'1
，可见该方程是一阶线性方程， 利用公式得通解为
)(1
)(1)(1
1
c e xe x
c dx xe x c dx e
e e
y x x x dx
x x
dx
x +-=+=
+??=??-
。 16、【解析】：()22
2
,x y f x y xe
+-=，
先求函数的驻点：令()()(
)2
2
22222
,10,0x y x x y y f x y x e
f x y xye +-
+-?'=-=????'=-=??，
解得驻点为()()1,0,1,0-.又()(
)()22
22
22
222
222
311x y xx x y xy x y yy f x x e
f y x
e
f x y e
+-
+-
+-
''=-''=--''=--
对点()1,0，有()()()112
2
1111
,02,1,00,1,0xx xy yy A f e B f C f e --
''''''==-====-
所以，2
111
10,0AC B A -><，故(),f x y 在点()1,0处取得极大值()12
1,0f e =. 对点()1,0-，有()()()112
2
2221,02,1,00,1,0xx xy yy A f e B f C f e
-
-
''''''=-==-==-=
所以，2
22220,0A C B A ->>，故(),f x y 在点()1,0处取得极小值()1
2
1,0f e -=-. 17、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，
所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解， 又因
3
22
1y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关，
从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=， 所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=， 即3221211)()1(y c y c c y c y --++=。
1、)12(4- 原式??
-=-=
ππ
00
2|2
cos 2sin |)2cos 2(sin dx x
x dx x x
??
-+-=πππ2
0)2
cos 2(sin )2sin 2(cos dx x
x dx x x ]|)2
sin 2(cos |)2cos 2[(sin 2220
π
ππx x x x +-+=)12(4-= 2、2
1
2
ln xdx ?【详解】 2
2lim (1)n n
→∞+
212lim ln (1)(1)(1)n
n n
n n
n →∞
??=+
++???
?
212lim
ln(1)ln(1)(1)n n n n n n →∞??=++++++???
?
1
1
lim 2
ln(1)n
n i i n n →∞
==+∑102ln(1)x dx =+?2112ln x t tdt +=? 2
12
ln xdx =?
3、解. 由题设得微分方程: ???????-
=+=2
1)0()1ln(2
y x x dx
dy .
)1()1ln(2
1
)1ln(222x d x dx x x dy ++=
+=. 所以 c x x x y ++-++=)1(21
)1ln()1(21222. 代入初始条件, 得
c y +-==-21)0(21, 于是c = 0. 得特解]1)1)[ln(1(2
1
22-++=x x y 4、解.
∑∑∑∞
=∞
=--∞
=-=??? ??-=??
? ??=-=-2
22'
2'2122
21
)1(1)1()1(n n n n n n
x x x x x x x x n x x
n . 该等式在(－1, 1)中成立. 当x = ±1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以
2
2
1
)1()1(x x x n n n
-=-∑∞
=, x 属于(－1, 1). 5、【答案】2【解析】利用全微分公式,得23(23)2x z
dz e dx dz dy -=-+
2323223x z
x z e
dx dy e dz --=+- 2323(13)22x z x z e dz e dx dy --+=+
23232322
1313x z x z x z
e dz dx dy e e ---∴=+++ 即 2323213x z x z z e x e --?=?+, 23213x z z y e -?=?+ 从而 3
2z z
x y
??+=?? 6、A 解. 因为∑∞
=1n n a 收敛, 所以∑∞
=12n n a 收敛. λλ
=∞→n
n
n a a n n 22)(tan lim
. 所以 ∑∞
=1
2)tan (n n
a
n n λ
和
∑∞
=1
2n n
a
有相同的敛散性. 所以原级数绝对收敛.
7、选(B)；方程x y y 42=+'为一阶线性微分方程，其通解
x dx
dx e c x c dx xe e y 22212)4(--?+-=+??=
由0=x 时1-=y 知0=c ，所以曲线为12-=x y ，由此，当1=x 时1=y 。 8、B 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
()ππππππθθθ
θθθθθ22
1
2211
0222
)1(|cos sin 3
1
)sin (sin 31)cos (sin )(k k k
k k
k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-
=-=-=-=?????
所以ππ3
2
,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）
． 9、【答案】：(D) 【解析】：
(,)
0f x y x
?>?，
(,)0f x y y ?时，必有1122(,)(,)f x y f x y <，故选D. 10、B 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.
【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是
1tan >x x ，1tan x ，从而有 4tan 4 1ππ >=? dx x x I ， 4tan 402ππ <=?dx x x I ，可见有 21I I >且4 2π (A),(C),(D)，故应选(B). 【评注】 本题没有必要去证明11 212 121 2 1212 12 212 122 arcsin 11arcsin 1arcsin - -- -? ?+--=--=-x x x x xd dx x x x π6 31- = (2) 解：2 4 )cos sin 21()sin (cos 40 2 40 2 π ππππ π ??- = -=-= dx x x dx x x V 12、（1）解. )(')](,[')](,['22221xy xy y x yf xy y x xf x z ???-+-=?? ''']'''''[''']'''''[222212212112?????xyf xf f y f xf f x y x z ++-+++-=??? ='')'(''')2(''2')'''(222 122 112f xy f y x xf f xy ????+-+-+ （2） 0)1('' '321=??++??+x z f x z f f , 所以''''3231f f f f x z ++-=?? 0)1('' '231=??++??+y z f y z f f , 所以''''3221f f f f y z ++-=?? 所以 ' ')''()''(322131f f dy f f dx f f dy y z dx x z dz ++++-=??+??= 13、（1）【详解】 3 416 83 6 2 2 33 2 22222 1 =+=+=??????????-x x x x D D D dy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． （2）【解析】由22 (1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+， 3 2(sin cos )4()(cos sin )04 D x y dxdy d r r rdr π θθθθθπ+∴-=-???? 332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ?+?=-?????? 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-?+?+? 3384(cos sin )(sin cos )34 d πθθθθθπ=-?+? 3 3444 38814(sin cos )(sin cos )(sin cos )334 4 d ππ πθθθθθθπ=++=?+?83 =-. 14、（1）解：令()32n n n a n +-= 收敛半径： 21 3n k R == =???→= =令； 收敛区间：1421333 x x + ()()()()11 12113~11 11 32441 1111333221132322 2331333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x n n n x n n n n ∞∞∞===?? +- ???∞∞ ∞∞ ====+-????=-?-+=-+ ? ?????????+-+- ? ?+-+-??????=-?-+==????→ ????∑∑∑∑∑∑∑当收敛； 当发散。 故收敛区域为4 2, 33??-- ???? 。 （2）解. x x )1ln(+=∑∑∞ =--∞=--=-1 1111)1()1(1n n n n n n n x n x x , (－1, 1] ∑?∑? ∞=-∞=---=-=+=1 2101110 )1()1()1ln()(n n n x n n n x n x dx n x dx x x x f 由于 ∑∞ =12 1 n n 收敛, 所以当1±=x 时上述级数都收敛. 所以 ∑? ∞ =--=+=1 2 10 )1()1ln()(n n n x n x dx x x x f , [－1, 1] 15、（1）解：方程中不显含自变量x ，所以可令)(y p y ='， 则dy dp p y =''，代入方程得， p p dy dp yp =+2，整理得y dy p dp -=-1， 积分得y c y p 1+= ，即y c y y 1 +='， 变量分离并积分得211)ln(c x c y c y +=+-，此即为原方程的通解。 （2）解：由特征方程0122 =++r r 解得特征根121-==r r ， 所以对应齐次方程的通解为x e c x c Y -+=)(21。 又因为x xe 中1=λ不是特征根，所以可设原方程的特解为x e b ax y )(+=* ， 代入原方程并整理得，x b a ax =++444， 从而41,41-== b a ，即x e x y )1(4 1 -=*。 所以原方程的通解为++=-x e c x c y )(21x e x )1(4 1- 16、证明: 因为0)('≤x f , 所以f (x )单减. )(1 )()(1 )('2 x f a x dt t f a x x F x a -+--= ?= ? --x a dt t f a x )()(12+ ? -x a dt x f a x )()(1 2 =? <--x a dt t f x f a x 0)]()([)(12 17、【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法． 【详解】构造函数)1(),(3 3 2 2 -+-++=y xy x y x y x L λ 令???? ?????=+-=-+=??=-+=??10)3(20)3(23 3 22 y xy x x y y y L y x x x L λλ，得唯一驻点1,1==y x ，即)1,1(1M ． 考虑边界上的点，)0,1(),1,0(32M M ；距离函数22),(y x y x f += 在三点的取值分别为 1)0,1(,1)1,0(,2)1,1(===f f f ，所以最长距离为2，最短距离为1． 1、【答案】2y x = 【解析】 221 2 22ln(2)22t dy t t t t dt t ==--?=-- 2(1)1(1)1t t dx e dt --==?-=- 所以 2dy dx = 所以 切线方程为2y x =. 2、【答案】 21)2 - 【详解】设,y x u v x y = =，则v z u = 所以 121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y -?????=?+?=-+?????? 2ln 11ln x y v vy u y y u ux y x y x ????? ?=-+=?-+ ? ? ??? ?? ?? 所以 (1,2)21)z x ?=-? 3、方程2 12x y x y +' = ''中不显含未知函数y ，因此作变量代换令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得2 12x xp p +='，变量分离法解此方程得)1(21x c p +=，即)1(2 1x c y +='，代入初始条件30='=x y 得31=c ，于是)1(32 x y +='，两边积分得23 3c x x y ++='，代入初始条件10 ==x y 得12=c ，所以所求特解为=y 133++x x 。 4、【答案】条件收敛 【解析】解. ∑∑∞ =∞ =-=+1 1 sin ) 1()sin(n n n n n n π π π. 因为ππ =∞ →n n n 1sin lim , 又因为∑∞ =-1 1)1(n n n , 条件收敛, 所以原级数条件收敛. 5、分析： ()()()()3 7211111 021 021 01 0=++=+=? ?????+=+??????+dx x x dx x dx ydy x yd x D x σ 6、【答案】：(D)【解析】：由于当(,2)x ππ∈时sin 0x <，可知 2 2sin 0x e xdx π π 210I I -<，可知12I I >。又由于2 2 2 3232sin sin sin x x x e xdx e xdx e xdx π π π π π π =+???，对 2 32 sin x e xdx π π ?做变量代换t x π=-得 ()()()()2 2 2 2 32222 sin sin sin sin t t x x e xdx e t dt e tdt e xdx π π π π πππππ π π π+++=+=-=-????， 故 ( ) ( )2 2 2 32sin sin x x x e xdx e e xdx π π ππ π +=-?? 由于当(,2)x ππ∈时 ( ) 2 2 sin 0,0x x x e e π+<-<，可知2 3sin 0x e xdx π π>?，也即310I I ->，可知31I I >。 综上所述有213I I I <<，故选(D). 7、【答案】A 【详解】用极坐标得 () 222() 20 1 1 ,()v u u f r r D f u v F u v dv rdr v f r dr +===?? ?，所以 ()2F vf u u ?=? 8、C 【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系. 【详解】本题也可用排除法，（A ）是函数在()0,0连续的定义；（B ）是函数在()0,0处偏导数存在的条件；（D ）说明一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，但不能推导出两个一阶偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0) 处连续，所以（A ）（B ）（D ）均不能保证(,)f x y 在点()0,0处可微. 故应选（C ）. 事实上，由 ((,)0,0lim 0x y →=可得 00(,0)(0,0)lim 0x x f x f x →→-==，即(0,0)0,x f '=同理有 (0,0)0.y f '=从而 0 [(,)(0,0)]((0,0)(0,0)) lim x y f x y f f x f y ρρ →''??--?+? = 0 (,)(0,0) lim 0f x y f ρρρ →→??-==. 根据可微的判定条件可知函数(,)f x y 在点()0,0处可微，故应选(C) 9、D 【分析】本题依据函数()f x 的性质，判断数列{}()n u f n =. 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果. 【详解】选（D ）. 取()ln f x x =-，21 ()0f x x ''= >，12ln10ln 2u u =-=>-=，而()ln f n n =-发散，则可排除（A ）；取21()f x x =，46()0f x x ''=>，121 14 u u =>=，而 21()f n n =收敛，则可排除（B ）；取2()f x x =，()20f x ''=>，1214u u =<=，而2 ()f n n =发散，则可排除（C ）；故选（D ）.事实上，若12u u <，则211(2)(1) ()02121 u u f f f ξ--'==>--. 对任意()1,x ξ∈+∞，因为()0f x ''>，所以1()()0f x f c ξ''>>>， 对任意()21,ξξ∈+∞， ()121()()()()f x f f x x ξξξ'=+-→+∞→+∞. 故选（D ）. 10、[]A 【详解】对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为2 10λ+=, 特征根为 i λ=±, 对 202 1(1)y y x e x ''+=+=+ 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为 21y ax bx c * =++ 对 sin ()ix m y y x I e ''+==, 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为 2(sin cos )y x A x B x * =+ 从而 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为 2 (sin cos )y ax bx c x A x B x * =++++ 11、 . 1,0,2)(, )(),,()(2 2 2 2 2 2 11 1 2 ±=='-=+∞-∞??? ---x dt e x x f dt te dt e x x f x f x t x t x t 所以驻点为由于的定义域解： 列表讨论如下： ). 1(2 1)0(,0)1(101--101-)(1 102---===±∞∞+?e dt te f f x f t 极大值为）；极小值为，）及（，（），单调递减区间为 ，）及（，的单调增加区间为（因此， 12、 解：. 2,5 2 52,2,52 52,22,08)(12105252,22,252,5220412504125. 0)4125(]8)(1210[)4125. 2,,2,22 2 22 2222 2222222222 222222-=-=-=-=??? ???????? ? -=-=-=-=≠+++??? ???????????????? -=-=-=-=?????-=-=-=-=???=++=++=??+++???++++??++??+???+??=????+??=????+???+??=????+??=??b a b a b a b a b a ab b a b a b a b a b b a a u b b u b a ab u a a u b u ab u a x u u b u a y u u u u x u u u x u 或故，舍去由，解得由题意，令（，得 将以上各式代入原等式ηηξξηηξξηξηηξξηξ 13、【分析】本题为不含y 的可降阶方程，令y p '=，然后求解方程. 【详解】本题不含y ，则设y p '=，于是y p '''=，原方程变为 2 ()p x p p '+=， 则 d d x x p p p =+，解之得()x p p C =+，将(1)1p =代入左式得 0C =， 于是 2 x p =3 223y y x C '?=?=+，结合(1)1y =得0C =， 故 3 223 y x =. 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 北京语言大学网络教育学院 《微积分（上、下）》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设函数()f x 的定义域是[]0,4 ，则函数1)f 的定义域是（ ） 2、数列n n n )211(lim + ∞ →的极限为（ ）。 [A] e 4 [B] e 2 [C] e [D] e 3 3 、函数y = ）。 [A] ()2 1,,y x x =+∈-∞+∞ [B] [ )21,0,y x x =+∈+∞ [C] (] 21,,0y x x =+∈-∞ [D] 不存在 4、1 arctan y x =， 则dy =（ ）。 [A] (1,1)- [B] (1,0)- [C](0,1) [D] [1,25] [A] 2 1dx x + [B] 2 1dx x -+ [C] 22 1x dx x + [D] () 22 1dx x x + 5、x x x x sin cos 1lim 0?-→=（ ） 6、设,ln x y =则'y ＝（ ）。 [A] [B] 1 x ； [C] 不存在 [D] 7、函数433 4 +-=x x y 的二阶导数是（ ）。 [A] 2x [B] 2 1218x x - [C] 3 2 49x x - [D] x 12 8、21lim 1x x x →∞ ?? -= ??? （ ） 9、已知()03f x '=-，则()() 000 3lim x f x x f x x x ?→+?--?=?（ ） 10、函数1()()2 x x f x e e -=+的极小值点是（ ） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（ ） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠ [C] (){},0x y x y +> [D] (){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 12、幂级数1 n n x n ∞ =∑的收敛域是（ ） [A] -1 [B] 0 [C] 1/2 [D] 不存在 [A] 2 e - [B] e [C]2e [D] 1 [A] 12 [B] -12 [C]3 [D] -3 [A] 1 [B] -1 [C]0 [D] 不存在 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞. 1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 高等数学（下）模拟试卷二 一．填空题（每空3分，共15分） z= 的定义域为；（1 ）函数 xy （2）已知函数z=e，则在(2,1)处的全微分dz=； （3）交换积分次序， ? e1 dx? lnx0 f(x,y)dy 2 ＝； )点B(1,1)间的一段弧， 则（4）已知L是抛物线y=x上点O(0,0与之 ? = （5）已知微分方程y''-2y'+y=0，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分） ?x+y+3z=0? （1）设直线L为?x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππ A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 ?z=33 z=f(x,y)z-3xyz=a（2）设是由方程确定，则?x（）； yzyzxzxy2222 A. xy-z B. z-xy C. xy-z D. z-xy （3）微分方程y''-5y'+6y=xe的特解y的形式为y=（）； A.(ax+b)e B.(ax+b)xe C.(ax+b)+ce D.(ax+b)+cxe （4）已知Ω是由球面x+y+z=a 三次积分为（）； A 2 2 2 2 2x 2x 2x 2x 2x * * dv???所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成Ω ? 2π0 π2 dθ?sin?d??rdr a 2 B. ? 2π0 π20 dθ?d??rdr a a0 C. ? 2π0 dθ?d??rdr 0∞ πa D. ? 2π0 dθ?sin?d??r2dr π 2n-1n x∑ n 2（5）已知幂级数n=1，则其收敛半径 （）. 2 B. 1 C. 2 D. 三．计算题（每题8分，共48分） 1、求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程 . ?z?z x+y 2、已知z=f(sinxcosy,e)，求?x，?y . 22 D={(x,y)x+y≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算3、设 ??arctan D y dxdyx . 22 f(x,y)=x+5y-6x+10y+6的极值. 4、求函数 5、利用格林公式计算 ? L (exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy ，其中 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）. 一、单项选择题（本大题分5小题，每小题2分，共10分） （在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号内。） 1．当0→x 时，与x 相比较下列变量中是高阶无穷小量的是 （ ） A ．x sin B . x C . 1-x e D . x cos 1- 2．函数)(x f y =在点0x x =处连续且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有 （ ） （A ）0)(0='x f （B ）0)(0<''x f （C ）0)(0='x f 且0)(0<''x f （D ）0)(0='x f 或不存在 3．2 2 11 011lim x x x e e +-→的极限为 （ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）不存在 补充：2=x 是函数x x f -=21 arctan )(的 （ ） A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点 4．已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则=--→x f x f x 2) 1()31(lim 0（ ） （A ）3 （B ）－3 （C ）－6 （D ）6 5．已知某商品的需求函数为5P e Q -=，当3=P 时，下列解释正确的是（ ） （A ）价格上升1％，需求增加0.6% （B ）价格上升1％，需求减少0.6% （C ）价格上升1％，需求增加60% （D ）价格上升1％，需求减少60% 二、填空题（将正确答案填在横线上） （本大题分5小题，每小题2分，共10分） 1．函数)1(arcsin )(+=x x x x f 的连续区间为 2．x x x e e x -→-0lim 的值等于 3．已知21212lim e x x x k x =? ?? ??-+∞→，则=k 4．)99()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=)()100(x f x x sin -与3ax 是等价无穷小，则=a 三、计算题（必须有解题过程） （本大题分12小题，每小题5分，共60分） 1．求极限x x x 2cot ) 2(lim 2ππ -→ 2．x x x ln 1 )(cot lim +→ 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 大一微积分期末试卷及 答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 微积分期末试卷 选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋 浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜ 高等数学基础模拟题 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（ D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 2.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x x sin (C) 1e -x (D) 2x x 3.设x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x ) 1()1(lim 0（ B ）． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 21 4. =? x x xf x d )(d d 2 （ A ）． (A) )(2x xf (B) x x f d )(2 1 (C) )(2 1 x f (D) x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是（ B ）． (A) ? +∞ d e x x (B) ? +∞-0 d e x x (C) ? +∞1d 1 x x (D) ? +∞ 1 d 1x x 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数) 1ln(92 --=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3］ ． 2.函数? ??≤>-=0sin 0 1x x x x y 的间断点是 X=0 ． 3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ． 4.函数1)1(2 ++=x y 的单调减少区间是 （－∞，－1） ． 5.='?x x d )(sin sinx + c ． 三、计算题（每小题9分，共54分） 1.计算极限x x x 5sin 6sin lim 0→． 2.设2 2sin x x y x +=，求y '． 3.设x y e sin 2=，求． 4.设 是由方程y x y e cos =确定的函数，求 ． 5.计算不定积分? x x x d 3cos ． 6.计算定积分? +e 1 d ln 2x x x ． 四、应用题（本题12分） 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 五、证明题（本题4分） 当0>x 时，证明不等式x x arctan >． 安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷） （闭卷时间120 分钟） 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分 1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。 （A）(2A)?1 =2A?1 ；（B）(2A?1)T=(2A T)?1 ；（C） ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ；（D）((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 （）。 βββ线性表示，则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法 正确的是 （A）r≤s；（B）r≥s； （C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。 （A）λE?A=λE?B； （B）A与B有相同的特征值和特征向量； （C）A与B都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数k，kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。 （A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α；（B）ααα+α； （C） 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。 [考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷11 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( ) （A）x1＞x2，y1＜y2． （B）x1＞x2，y1＞y2． （C）x1＜x2，y1＜y2． （D）x1＜x2，y1＞y2． 2 交换积分次序∫1e dx∫0lnx f(x，y)dy为( ) （A）∫0e dy∫0lnx f(x,y)dx （B）∫ey e d y∫01f(x,y)dx （C）∫0lnx dy∫1e f(x,y)dx （D）∫01dy∫ey e f(x,y)dx 3 设f(x，y)连续，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)等于( ) （A）xy． （B）2xy． （C） （D）xy+1． 4 则积分域为( ) （A）x2+y2≤a2． （B）x2+y2≤a2(x≥0)． （C）x2+y2≤ax． （D）x2+y2≤ax(y≥0)． 5 设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则( ) （A）不一定存在． （B）存在且等于f(0，0)． （C）存在且等于πf(0，0)． （D）存在且等于． 6 设区域D由曲线=( ) （A）π． （B）2． （C）一2． （D）一π． 7 设平面D由及两条坐标轴围成， 则( ) （A）I1＜I2＜I3． （B）I3＜I1＜I2． （C）I1＜I3＜I2． （D）I3＜I2＜I1． 8 设D为单位圆x2+y2≤1， ，则( ) （A）I1＜I2＜I3． （B）I3＜I1＜I2． （C）I3＜I2＜I1． （D）I1＜I3＜I2． 9 设其中函数f可微，则=( ) （A）2yf'(xy)． （B）一2yf'(xy)． 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .大一高等数学期末考试试卷及答案详解
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