椭圆及其标准方程(精)

椭圆及其标准方程

■教材：人教社高中数学B版教材选修1

■任课教师：黎健清（北航附中）〖教学设计说明〗

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是在学习了直线和圆的方程基础上,进一步学习用坐标法研究曲线。这一节课的教学能对前面所学知识情况进行回顾，还为后面研究双曲线和抛物线提供基本模式和理论基础，具有承上启下的重要意义。坐标法是解析几何中的重要数学方法，它沟通了数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．椭圆标准方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课的设计力图贯彻“以人为本”的教育理念,体现“教师为主导,学生为主体”的现代教学思想.

本课第一个环节是概念教学。数学课标提出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式。”所以我不是生硬的把椭圆概念灌输给学生，课前学生已经对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考。课上我引导学生亲自动手画图、感受椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。在教材处理上结合学生的认知能力和思维习惯先突出“和为定长”，再在此基础上完善“定长”取值范围.在学生活动中精心设问，引导学生分析动点运动过程的变量与不变量，归纳动点满足的几何条件，请学生分别用符号语言，文字语言表述椭圆的定义，使学生能达到图形语言、符号语言与文字语言的熟练转换。

概念形成后，并没有急于开始推导方程，而是增加了一个巩固概念的环节，精心选取了两个练习，通过练习强调椭圆定义中动点必须满足的等与不等关系，特别是注重分析动点运动的本质规律，用定义来判断轨迹的类型。培养学生敢于质疑、严谨思考、透过现象看本质等良好的思维习惯，并渗透分类讨论的思想方法。

从图形上对椭圆进行充分认识之后，进入下一环节，引导学生从另一个角度-----方程来研究椭圆。

椭圆标准方程的推导，首先要建立适合的坐标系，这在前面学习中已经进行过充分的讨论和尝试，很快能达成一致的建系方法。这样我把重点放在代两个根号的代数式的化简上，为学生提供展示的时间和空间，让学生充分讨论并由学生独立推导。对于方程中引入b这一变量引导学生自己发现b 的几何意义，感受引入变量的合理性与必要性。在得出焦点在x轴上的椭圆标准方程后，提出“焦点在y轴的椭圆的标准方程”是什么形式？让学生大胆猜想并进行合理解释，引导学生思维深层次的参与，培养学生数学表达能力。最后从方程推导的本质来解释，使学生理解曲线方程的本质是x、y之间的约束关系从而欣然接受将x，y互换后就得到焦点在y轴的椭圆标准方程。此时再给出两种不同方程时学生就能很快发现确定焦点位置的方法，并能确定方程中系数，达到数与形结合来思考分析问题，体现了解析几何的本质。

最后环节是学生的小结，主要引导学生从数学知识和思想方法两方面进行反思和总结，使数学课不仅仅是学习数学知识，更要重视知识形成的过程以及在形成过程中体现的数学的思想方法。

数学教学是思维过程的教学，引导学生参与到教学过程中来，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键.本节课采用了学生动手实践、创设问题的情境，多媒体辅助手段等多种方式，为学生创设自主获取知识的机会，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新.进而提高学生的数学思维能力。

〖教学设计〗

一、教学目标：

1．知识与技能目标：

（1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义及其标准方程解决一些简单的问题.

2．过程与方法目标：

（1）在椭圆定义获得的过程中渗透运动变化的思想.

（1）在椭圆标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合思想.

3．情感态度与价值观目标：

（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.

（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.

二、教学重点、难点：

重点：椭圆定义及其标准方程难点：椭圆标准方程的推导

三、教学方法：

教师启发与学生自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生观察、分析、归纳、抽象、概括能力，借助多媒体展示动画，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。

四、教学过程：

〖教学评析〗王人伟（北航附中）

从三个方面谈谈我对这堂课的认识。

一、教学目标明确

这节课开门见山向学生提出了“究竟什么是椭圆”的问题，激发了学生的求知欲望。接着通过学生的操作，画出了椭圆，再通过思辨性的问题给出了椭圆的定义，通过几个小例进一步明确了椭圆的定义。后面随着椭圆标准方程的推导，又明确了椭圆的代数表示。整节课目标明确，围绕主题前后呼应，一气呵成。为后面进一步研究椭圆性质做了很好的准备。

二、教学方法得当，学生的主体作用得到充分发挥

关于学生的主体作用，我有如下几点看法：①学生的学习是个再创造、再发现的过程，必须主体积极参与才能实现这个过程；②不是只要学生活动就算发挥主体作用，真正的主体作用是花最少的时间达到最大的认知效果；③教师的主导作用就在于充分发挥学生的主体作用以达到教学目标。这几点黎老师在这节课上都做得很好。首先是精心规划设计了教学过程，使这节课围绕教学目标进行；其次，在关键的环节设置问题情境，使学生始终处于愤悱状态；第三，黎老师适时因势利导，使学生的思维向正确的方向发展。总之，主导立足于学生，立足于发挥学生的主体作用。

三、突出数学思想

黎老师的这节课在整体构思和细节安排上都有意识地去突出数形结合的思想和运动变化的思想。从画椭圆（形）到提出椭圆的本质特征，然后坐标化得出椭圆方程，再回到椭圆的图形；研究a、c、b的代数特征以及几何意义，从而发现a、c、b之间的数量关系；研究焦点在x轴还是在y 轴上，这些都无不渗透了数形结合的数学思想。大家可以设想，如果这节课干巴巴地推导椭圆的标准方程，硬性去规定何时椭圆焦点在x轴上等等，学生就不会有这么大的收获。

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