2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(十六)数学(理)试题

2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（十六）

数学（理科）试题

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}

2

|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则A

B =（ ）

A. {}|01x x ≤<

B. {

0x x <或}1x ≥ C. {}|23x x <≤ D. {

1x x ≤或}3x >

【答案】B 【解析】 【分析】

解一元二次不等式得到集合A ，根据并集的概念即可得出结果. 【详解】∵{

}

{2

22A x x

x x x ==>或}0x <，{}|13B x x =≤≤，

∴A

B ={0x x <或}1x ≥，

故选：B .

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间并集的运算，属于基础题. 2.复数z 满足()()21i 3i z ++=+，则z =（ ） A. 1

B.

C.

D. 2

【答案】A 【解析】 【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案. 【详解】因为复数z 满足()()213z i i ++=+， ∴()()()()

313422221112i i i

i z i i i i +-+-=

-=-=-=-++-， 则1z =， 故选：A .

【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题.

3.(

10

1-

的二项展开式中，x 的系数与4x 的系数之差为（ ）

A. 220-

B. 90-

C. 90

D. 0

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意利用二项展开式的通项公式，求出x 的系数与4x 的系数，再求其差即可.

【详解】∵(

10

1-

的二项展开式中，通项公式为()2

1

10

1r r

r

r T

C x +=?-，

故x 的系数与4x 的系数之差为281010

0C C -=， 故选：D .

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

4.设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥??

-+≥??+-≤?

，则目标函数6z x y =+的最大值为( )

A. 3

B. 4

C. 18

D. 40

【答案】C 【解析】

不等式20

{30230

x x y x y +≥-+≥+-≤所表示的平面区域如下图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大

值18.

考点：线性规划.

5.设函数()()2

sin cos cos 2f x x x x =++，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为π B. ()y f x =的图像关于直线8

x π=对称

C. ()f x 21

D. ()f x 的一个零点为78

x π

=

【答案】D 【解析】 【分析】

先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可根据()sin y A ωx φ=+的图象与性质判断出各选项的真假. 【详解】因为()()2

sin cos cos 21sin 2cos 21224f x x x x x x x π??

=++=++=+ ??

?

， 所以()f x 的最小正周期为π，()f x 21，A 、C 正确； 当8x π

=

时，sin 2184ππ???+= ??

?，所以()y f x =的图象关于直线8x π=对称，B 正确；

因为718f π??

=

?

??

，所以78x π=不是函数()f x 的零点，D 错误． 故选：D .

【点睛】本题主要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的应用，属于中档题.

6.已知()33log log 2a =，()2

3log 2b =，32log 2c =，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b a c <<

【答案】A 【解析】 【分析】

首先得出30log 21<<，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可. 【详解】∵30log 21<<，∴()33log log 20<，即0a <， ∴()2

30log 21<<，即01b <<， ∵332log 2log 41c ==>，∴a b c <<， 故选：A .

【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.

7.已知点()3,2A -在抛物线C ：22x py =（0p >）的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则BF =（ ） A. 6 B. 8

C. 10

D. 12

【答案】C 【解析】 【分析】

由点()3,2A -在准线上可知p 的值，从而确定抛物线的方程，设点B 的坐标为2,8m m ??

???

，0m >，通过对

抛物线方程求导，可得点直线AB 的斜率，再通过A 、B 两点的坐标也可求得AB k ，于是建立关于m 的方程，解之可得m 的值，最后利用抛物线的定义即可得解.

【详解】抛物线()2

:20C x py p =>的准线方程为2

p y =-

， ∵点()3,2A -在准线上，∴22

p

-

=-即4p =， 抛物线的方程为28x y =，即2

18

y x =，

设点B 的坐标为2,8m m ??

???

，0m >，

对218

y x =求导可得，1

4y x '=，∴直线AB 的斜率为14m ，

由()3,2A -、2

,8m B m ?? ???，可知22

1843AB m k m m =+-=，解之得，8m =或2-（舍负）， ∴点()88B ，

，由抛物线的定义可知，4

8102

BF =+=， 故选：C .

【点睛】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.

8.盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A.

35

B.

79

C.

715

D.

3145

【答案】A 【解析】 【分析】

若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：13

9

25P =?，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237

59

P =?，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.

【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球， 从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个， 若取出的是红色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：13295152P =

?=， 若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：23775915

P =

?=，

∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573

155

P P P =+=+=， 故选：A .

【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

9.2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%.下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=(本期数-去年同期数)/去年同期数100%?，环比=(本期数-上期数)/上期数100%?

下列结论中不正确的是（ ）

A. 2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长

B. 2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些

C. 2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上

D. 2019年3月份的居民消费价格全年最低 【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知中的图表，结合同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案. 【详解】由折线图知：从2019年每月环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A 正确；

在B 中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B 正确； 在C 中，从2019年每月的同比增长率看，从4月份以后每月同比增长率都在2.5%以上，进而估计出2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上，故C 正确；

在D 中，不妨设1月份消费价格为a ，故可得2月份价格为()11% 1.01a a +=；

同理可得3月份价格为()1.0110.4% 1.00596a a -=； 4月份价格为()1.0059610.1% 1.00696596a a +=；

5月份价格和4月份价格相同；6月份价格为()1.0069659610.1% 1.00595899404a a -=，

而后面每个月都是增长的.

故1月份的价格是最低的，故D 错误. 故选：D .

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，属于基础题.

10.已知P 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）上一点，O 为坐标原点，1F ，2F 为曲线C 左右焦点.

若2OP OF =，且满足21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】

点P 在双曲线C 的右支上，且满足2OP OF =，即有O 为12PF F △外接圆的圆心，即有1290F PF ∠=?，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.

【详解】点P 在双曲线C 的右支上，且满足2OP OF =，即有O 为12PF F △外接圆的圆心， 即有1290F PF ∠=?，

由双曲线的定义可得122PF PF a -=， ∵21tan 3PF F ∠=，所以213PF PF =， 则13PF a =，2PF a =，由22

2

1212PF PF F F +=，

即()2

2234a a c +=，

即有22

52

c a =，e ，

故选：C .

【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为

直角是解题的关键，属于中档题.

11.已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，60AOB AOC ∠=∠=?，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ） A. 4π B. 9π

C. 16π

D. 20π

【答案】C 【解析】 【分析】

作出草图，易得AOB 和AOC △均为等边三角形，当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大可求出球的半径R ，进而可得球的表面积. 【详解】设球的半径为R ，如图所示，

∵60AOB AOC ∠=∠=?，∴AOB 和AOC △均为等边三角形，边长为R ， 由图可得当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大， 此时311331132228

V R R R R =

?????==，解得2R =， 则球O 的表面积为24216S ππ=?=， 故选：C .

【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.

12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a （0a >）的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点,下列说法中正确的有（ ） ①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022

a a

y -

≤≤；

③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO 的最大值为2a . A .

①②

B. ①②④

C. ②③④

D. ①③

【答案】B 【解析】 【分析】

对①,设动点(,)C x y ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程,显然成立； 对②,根据12PF F △的面积范围证明即可.

对③,易得若12PF PF =则P 在y 轴上,再根据()00,P x y 的轨迹方程求解即可.

对④,根据题中所给的定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a ,再画图利用余弦定理分析12PF F △中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.

【详解】

对①,设动点(,)C x y ,由题可得C 22222[()][()]x a y x a y a ,把(,)x y 关于原点对

称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确； 对②,因为()00,P x y ,故12

121212011

||||sin ||22

PF F S

PF PF F PF F F y =

??∠=?. 又2

12||||PF PF a ?=,所以2

120sin 2a F PF a y ∠=?,

即012sin 22a a

y F PF =

∠≤,故022

a a y -≤≤.故②正确； 对③, 若12PF PF =则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上.

故此时00x =,2

2222[()][()]x a y x a y a ，

可得00y =,即()0,0P ,仅有一个.故③错误；

对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,

即

22

2222

112212||||||||||||02||||2||||

OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=??, 因为12||||OF OF a ==,2

12||||PF PF a ?= 故2222

122||2||||OP a PF PF +=+.

即()2

2212122||2||||2||||OP a PF PF PF PF +=-+?, 所以()2

2122||||||OP PF PF =-.

又1212||||||2PF PF F F a -≤=,当且仅当12,,P F F 共线时取等号. 故()()22

2122||||||2OP PF PF a =-≤,

即22

||2OP a ≤,解得||2OP a ≤

.故④正确.

故①②④正确. 故选：B

【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.设命题p ：()0,x ?∈+∞，2

1e 12

x

x >+

，则p ?为___________. 【答案】()00,x ?∈+∞，0

2

01e 12

x x ≤+

【解析】 【分析】

根据全称命题否定是特称命题求解.

【详解】因为命题p ：()0,x ?∈+∞，2

1e 12

x

x >+

，是全称命题， 所以其否定是特称命题，即：()00,x ?∈+∞，0

2

01e

12

x x ≤+. 故答案为：()00,x ?∈+∞，0

2

01e

12

x x ≤+. 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，所以基础题.

14.已知函数()()21sin 1

2x x x f x x

+++=，若()3f a =-，则()f a -=___________.

【答案】4 【解析】 【分析】

化简()f x 成奇函数加一个常数的结构,再求解()()f x f x +-的值即可.

【详解】由题, ()()221sin 1sin 11222

x x x x x x f x x x +++++==+,设()2sin 1

2x x x g x x ++=

,则()()()()()()2

2sin 1sin 122x x x x x x g x g x x x

-+--+++-===---为奇函数.

故()()()()11

122

f x f x

g x g x +-=++-+=.故()()14f a f a -=-=. 故答案为：4

【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用,需要将所给的函数分离出奇函数加常数的结构,再利用奇函数的性质求解.属于中档题.

15.在面积为1的平行四边形ABCD 中，6

DAB π

∠=

，则AB BC ?=___________；点P 是直线AD 上的动

点，则2

2

PB PC PB PC +-?的最小值为___________.

【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】

由平行四边形的面积为1可得2AB AD ?=，根据向量数量积的定义即可得出AB BC ?的值；由于

222

PB PC PB PC BC PB PC +-?=+?，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，

(

)()2

2

1

4PB PC PB PC

PB PC ???=+--?

???

，再利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】∵平行四边形ABCD 的面积为1，即sin 1AB AD DAB ?∠=， ∴2AB AD ?=，

故3

cos 232

AB BC AB BC DAB ?=?∠=?

=. ()

2

2

2

2

PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC +-?=-+?=+?，

取BC 的中点Q ，连接PQ ，

则2PB PC PQ +=，()()

2214PB PC PB PC PB PC ?

??=

+--?

???， ∴()()

2222221344PB PC P BC PB PC BC BC P P Q B C ??+--=?

??+?+

+?= 223

23334

ABCD S BC PQ BC PQ ≥=?≥=?四边形，

此时PQ BC ⊥，3

2

PQ BC =， 故答案为：3，3.

【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题.

16.数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1） 参考数据：3

sin 375?≈

，sin 5345

?≈

【答案】31.6 【解析】 【分析】

由题意画出简图，设CD h =，即可得43h BC ≈、34

h AC ≈，利用17.53AB BC AC ==-即可得解. 【详解】由题意画出简图，如图：

由题意可得53CAD ∠=，37CBD ∠=，10 1.75317.53AB =?=，

所以sin 37tan tan 37cos373

4

CBD ∠≈==

，

sin 53cos37tan tan 53cos543

3sin 37CAD ∠==

=≈，

设CD h =，则在Rt BCD 中，4tan 3

CD h

BC CBD =∠≈，

在Rt ACD 中，3tan 4

CD h

AC CAD =

∠≈， 所以7

17.5312

AB BC AC h -≈==，解得30.05h ≈， 所以该建筑的高度约为30.05 1.5531.6+=米. 故答案为：31.6.

【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.

三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （0n S ≠），满足1S ，2S ，3S -成等差数列，且123a a a =.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()1311n

n n n a b a a +-=

++，求数列{}n b 的前n

项和n

T . 【答案】（1）()2n

n a =-.（2）(

)()1

1

2221

n n n T ++-+=--+ 【解析】 【分析】

（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得

()()21121a q q a q -+=+、2211a q a q =，即可得解；

（2）由题意()()

1

1

1

21

21

n n

n b +=

-

-+-+，利用裂项相消法即可得解.

【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意得()1322S S S +-=， 所以()()23122a a a a -+=+即(

)()2

11

21a q q

a q -+=+，

因为10a ≠，所以2

320q q ++=，解得1q =-或2q =-，

因为0n S ≠，所以2q =-，

又因为123a a a =，所以22

11a q a q =即12a q ==-，

所以()2n

n a =-；

（2）题意可得()

()()()()()()111322*********n n n

n n n n n b +++-----==????????-+-+-+-+????????

()

()

1

1

1

21

21

n

n +=

-

-+-+，

则()()()()()()1223

1111111212121212121n n n T +??????=-+-++-??????-+-+-+-+-+-+????????????

()()()1

11

221

12121

n n n +++-+=--=--+-+. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.

18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，3PA PD ==，6PB PC ==

，

90APB CPD ∠=∠=?，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.

（1）求证：//MN 平面PAB ；

（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）6

9

【解析】 【分析】

（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得

//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；

（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN ，利用

sin cos n MN n MN n MN

θ?=?=

?即可得解.

【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：

又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且1

2

NQ AD =

， 又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形， 则1

2

BM AD =

且//BM AD ， ∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ， 又MN ?平面PAB ，BQ ?平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；

（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ， 则PF AB ⊥，PE PF P =，∴AB ⊥平面 PEF ，

又AB

平面ABCD ，∴平面 PEF ⊥平面ABCD ，

∵3PA PD ==，6PB PC ==，90APB CPD ∠=∠=?， ∴3AB CD ==，2PE PF ==

，2BE CF ==，1AE DF ==.

设平面PAB ?平面PCD l =，可知////l CD AB ， ∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=?，∴2EF =，

取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =， ∴OM 、OF 、OP 两两垂直，

以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，

则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ??

-

???

， ∴()2,1,1PC =-，()1,1,1PD =--，511,,222MN ??

=- ??

?， 设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，

则由0

20

n PD x y z n PC x y z ??=-+-=??=+-=?，令1y =可得()0,1,1n =.

设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，

则

sin cos 2n MN n MN n MN

θ?=?=

=

=

? ∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为

9

. 【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.

19.已知椭圆C

：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2

，且过点()2,1.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M ，N 两点，过点M 作圆2

2

2x y +=的一条切线，交椭圆于另一点P ，连接PN ，证明：|PM PN =.

【答案】（1）2

2

163

x y +=（2）见解析

【解析】

【分析】

（1，且过点()2,1，由c a =，22411a b +=

，结合222a b c =

+求解.

（2）当直线PM 的斜率不存在时，可得直线PM 的方程为x =x

=. 当直线PM 斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，根据直线PM 与圆相切，得到||m =

()11,M x y ，

()22,P x y ，则()11 ,N x y --，联立2216

3y kx m x y =+??

?+=??，由弦长公式求得 PM ，然后由两点间的距离公式，将

韦达定理代入求得PN 即可.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为c

，因为椭圆的离心率为

2

，且过点()2,1.

所以

2

c a =，2

2411a b +=，又222a b c =+， 解得26a =，23b =，

所以椭圆C 的方程为：22

163

x y +=.

（2）①当直线PM 的斜率不存在时，依题意，可得直线PM

的方程为x =

或x = 若直线PM

：x =，直线MN ：y x =

，可得M

，(N

，P

，

则PM =

，PN =，所以PM PN =； 其他情况，由对称性，同理可得PM PN =.

②当直线PM 斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+， ∵直线PM 与圆2

2

2x y +=相切， ∴圆心O 到直线PM

=

||m =

设()11,M x y ，()22,P x y ，则()11 ,N x y --，

联立2216

3y kx m

x y =+???+=??，消元y ，整理得()222

124260k x kmx m +++-=，

则122412km x x k +=-+，212226

12m x x k

-=+.

∴

122

12PM x k

=-==+，

∵

PN =

，

()12122242221212km m y y k x x m k m k k -??

+=++=+= ?++??

，

∴PN ==.

∵m =

，

∴PN PM ==. 综上可知PM PN =成立.

【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆，直线与圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.

20.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x （520x ≤≤）（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据.

工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：

模型①：31733

x y =+

模型②：68160y x =-.

其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：

（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；

（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量,分布列为：

q

1402

x -

1302

x -

1002

x -

P 0.5

0.4

0.1

结合你对（1）的判断,当产量x 为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？ 【答案】（1）模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程,见解析（2）产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元. 【解析】 【分析】

(1)作出模型②的残点图,再对比①的残点图分析即可.

(2)根据题意作出Y 的分布列,进而得出其数学期望()3213217332

x x E Y x =--+-,再求导分析其单调性求

出最大值即可.

【详解】（1）模型②的残差数据如下表： x 5 7 9 11 y

200 298

431

609 ?e

20

18- 21-

21

模型②的残点图如图所示.