高三数学解析几何解题技巧备课讲稿

三数学解析几何解
技巧

高三数学解析几何解题技巧 解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。 解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。 常见翻译方法： 距离问题：距离公式212212)()(||yyxxAB 几个特殊转换技巧： ①若一条直线上有若干点，如DCBA,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BCCDAB则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2CBDCBAxxxxxx当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。 ②利用向量求距离。 ③角度问题：若条件表述为所目标角A是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即ACAB的值分别是小于零、等于零或大于零。一般角度问题转化为向量夹角公式即：||||cosbaba ④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB中（O是原点） )2())()((21sin21cbapcpbpappahCabSO ||21||||||21222ABBAyxyxOBOAOBOA

⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。如椭圆12222byax的左右焦点分别为,,21FF过左焦点直线交椭圆于),,(11yxA),,(22yxB 则|||)||(|||2121212121212yycyyFFSSSFBFFAFABF ⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。 最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。 【例题训练】 1．（本小题满分14分） 给定椭圆),0(1:2222babyaxC称圆心在原点O，半径为22ba的圆是椭圆C的“准圆”，若椭圆C的一个焦点为),0,2(F其短轴上的一个端点到F的距离为.3 (1)求椭圆C的方程和其“准圆”的

方程； (2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线,,21ll使得21,ll与椭圆C都只有一个交点，且21,ll分别交其“准圆”于点M，N. ①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求21,ll的方程； ②求证：MN为定值. 2．（本小题共14分） 已知动圆过定点),0,1( 且与直线1x相切． (1)求动圆的圆心轨迹C的方程； (2)是否存在直线l，使l过点),1,0( 并与轨迹C交于P，Q两点，且满足0OQOP？ 若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 3．（本小题满分14分） 已知椭圆,14:221yxC椭圆2C以1C的长轴为短轴，且与1C有相同的离心率． (1)求椭圆2C的方程； (2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆1C和2C上，,2OAOB求直线AB的方程.

参考答案 1．解：(1)由题意得,2c3a，所以,1b 故椭圆方程为,1322yx 准圆的方程为422yx............................................................................2分 (2)①当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，它的坐标为），（20 由题意知直线21,ll的斜率均存在时，设其斜率分别为21,kk 过点P的直线l的方程分别为2kxy 联立方程组,13222yxkxy消去y得0912)31(22kxxk 因为直线l与椭圆有且只有一个公共点， 所以,036362k 解得,1k..............................................4分 不妨设,11k12k 所以21,ll的方程分别为.2,2xyxy.......…………………5分 ②(i)当21,ll中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率， 因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为3x或.3x 当1l的方程为3x时，1l与准圆交于点),1,3(),1,3( 此时经过点)1,3(（或)1,3()且与椭圆只有一个公共点的直线是1y （或1y)，即2l为1y（或1y)，显然直线21,ll垂直， 同理可证1l的方程为3x时，直线21,ll垂直.........................................8分 (ii)21,ll都有斜率时，设点),,(00yxP 其中.42020yx 设经过点),(00yxP与椭圆只有一个公共点的直线为,)(00yxxty 则)(130022txytxyyx消去y，得03)(3)(6)31(2000022txyxtxytxt 0]3)(3)[31(4)](6[2002200txyttxyt 化简，得.012)3(2000220ytyxtx................……………10分

因为,42020yx 所以.0)3(2)3(2000220xtyxtx 设21,ll的斜率分别为,,21tt因为21,ll与椭圆都只有一个公共点， 所以21,tt满足上述方程,0)3(2)3(2000220xtyxtx 所以,121tt即1l与2l互相垂直 ...............................……………12分 综合(i)、(ii)知： 因为21,ll经过点),,(00yxP又分别交其准圆于点,,NM且21,ll垂直， 所以线段MN为准圆422yx的直径，故.4||MN……………14分 2. 解：(1) 如图，设M为动圆圆心，)0,1(F 过点M作直线1x的垂线垂足为N， 由题意知：||||MNMF ……………2分 即动点M到定点F与到定直线1x的距离相等， 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线， 其中)0,1(F为焦点，1x为准线， ∴动圆圆心的轨迹方程为xy42 …………5分 (2)

若直线l的斜率不存在，则与抛物线C相切， 只有一个交点，不合题意； 若直线l的斜率为0，则与抛物线C相交， 只有一个交点，不合题意；…………………………6分 故设直线l的方程为)0(1kkxy 由xykxy412得0442yky ………8分 1,01616kk且0k…………………9分 设),,(),,(2211yxQyxP则,421kyy 2222121116kyyxx……11分 由0OQOP， 即),,(),,(2211yxOQyxOP

于是,02121yyxx…………………………………12分 即,0142kk 解得141k……………………13分 ∴直线l存在，其方程为141xy即044yx………………14分 3．解： (1)由已知可设椭圆2C的方程为14222xay)2(a, 其离心率为,23故,2342aa则,4a 故椭圆2C的方程为141622xy.........................................................................5分 (2) 设),,(),,(2211yxByxA由,2OAOB得,212xx,212yy….....................6分 由点A，B分别在椭圆1C和2C上，得,442121yx,1642222yx.........8分 即442121yx① 442121yx② ................................................9分 由①②得,8)(52121yx,582121yx 代入①②得542121yx.......................................................................................10分 得.111xy...............................................................................................………12分 直线AB的方程为,0011xxxyy即xy或.xy.....................……14分