(完整word版)高数笔记(全)

1 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: 21)()(DxxgDxxfy 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=xn , (n为实数) 3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
2 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 一、 主要内容 ㈠极限的概念 1. 数列的极限: Aynnlim 称数列ny以常数A为极限; 或称数列ny收敛于A. 定理: 若ny的极限存在ny必定有界. 2.函数的极限： ⑴当x时，)(xf的极限： AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim ⑵当0xx时，)(xf的极限： Axfxx)(lim0 左极限：Axfxx)(lim0
3 右极限：Axfxx)(lim0 ⑶函数极限存的充要条件： 定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000 ㈡无穷大量和无穷小量 1． 无穷大量：)(limxf 称在该变化过程中)(xf为无穷大量。 X再某个变化过程是指： ,,,xxx000,,xxxxxx 2． 无穷小量：0)(limxf 称在该变化过程中)(xf为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系： 定理：)0)((,)(1lim0)(limxfxfxf 4． 无穷小量的比较：0lim,0lim ⑴若0lim,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若clim （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
4 ⑶若1lim，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ⑷若lim,则称β是比α较低阶的无穷小量。 定理：若：；，2211~~ 则：2121limlim ㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则： 设：nnnzxy （n=1、2、3…） 且： azynnnnlimlim 则： axnnlim 2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个

邻域内的一切点 （点x0除外）有： )()()(xhxfxg 且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00 则：Axfxx)(lim0
5 ㈣极限的运算规则 若：BxvAxu)(lim,)(lim 则：①BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[ ②BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[ ③BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim )0)((limxv 推论：①)]()()(lim[21xuxuxun )(lim)(lim)(lim21xuxuxun ②)(lim)](lim[xucxuc ③nnxuxu)]([lim)](lim[ ㈤两个重要极限 1．1sinlim0xxx 或 1)()(sinlim0)(xxx 2．exxx)11(lim exxx10)1(lim §1.3 连续 一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性 1. 函数在0x处连续：)(xf在0x的邻域内有定义， 1o0)]()([limlim0000xfxxfyxx
6 2o)()(lim00xfxfxx 左连续：)()(lim00xfxfxx 右连续：)()(lim00xfxfxx 2. 函数在0x处连续的必要条件： 定理：)(xf在0x处连续)(xf在0x处极限存在 3. 函数在0x处连续的充要条件： 定理：)()(lim)(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx 4. 函数在ba,上连续： )(xf在ba,上每一点都连续。 在端点a和b连续是指： )()(limafxfax 左端点右连续； )()(limbfxfbx 右端点左连续。 a+ 0 b- x 5. 函数的间断点： 若)(xf在0x处不连续，则0x为)(xf的间断点。 间断点有三种情况： 1o)(xf在0x处无定义；
7 2o)(lim0xfxx不存在； 3o)(xf在0x处有定义，且)(lim0xfxx存在， 但)()(lim00xfxfxx。 两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx都存在。 可去间断点：)(lim0xfxx存在，但 )()(lim00xfxfxx，或)(xf在0x处无定义。 2o第二类间断点： 特点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx至少有一个为∞， 或)(lim0xfxx振荡不存在。 无穷间断点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx至少有一个为∞ ㈡函数在0x处连续的性质 1. 连续函数的四则运算： 设)()(lim00xfxfxx，)()(lim00xgxgxx
8 1o )()()]()([lim000xgxfxgxfxx 2o )()()]()([lim000xgxfxgxfxx 3o )()()()(lim000xgxfxgxfxx 0)(lim0xgxx 2. 复合函数的连续性： )]([),(),(xfyxuufy )]([)(lim),()(lim0)(000xfufxxxuxx 则：)]([)](lim[)]([lim000xfxfxfxxxx 3. 反函数的连续性： )(),(),(001xfyxfxxfy )()(lim)()(lim011000yfyfxfxfyyxx ㈢函数在],[ba上连续的性质 1.最大值与最小值定理： )(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定存在最大值与最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x
9 m -M 0 a b x 2. 有界定理： )(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定有界。 3.介值定理： )(xf在],[ba上连续在),(ba内至少存在一点 ，使得：cf)(， 其中：Mcm y

y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x m 0 a ξ1 ξ2 b x 推论： )(xf在],[ba上连续，且)(af与)(bf异号 在),(ba内至少存在一点，使得：0)(f。 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学
10 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：)(xfy在0x的某个邻域内有定义， xxfxxfxyxx)()(limlim0000 00)()(lim0xxxfxfxx 00)(0xxxxdxdyxfy 2．左导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx 右导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx 定理：)(xf在0x的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则：)(lim)(00xfxfxx （或：)(lim)(00xfxfxx） 3.函数可导的必要条件： 定理：)(xf在0x处可导)(xf在0x处连续
11 4. 函数可导的充要条件： 定理：)(00xfyxx存在)()(00xfxf， 且存在。 5.导函数： ),(xfy ),(bax )(xf在),(ba内处处可导。 y )(0xf )(xf 6.导数的几何性质： y )(0xf 是曲线)(xfy上点 x 00,yxM处切线的斜率。 o x0 x ㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o vuvu)（ 2o vuvuvu)（ 3o 2vvuvuvu )0(v 3.复合函数的导数： )]([),(),(xfyxuufy dxdududydxdy，或 )()]([})]([{xxfxf ☆注意})]([{xf与)]([xf的区别： })]([{xf表示复合函数对自变量x求导；
12 )]([xf表示复合函数对中间变量)(x求导。 4.高阶导数：)(),(),()3(xfxfxf或 )4,3,2(,])([)()1()(nxfxfnn 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：)(xf在x的某个邻域内有定义， )()(xoxxAy 其中：)(xA与x无关，)(xo是比x较高 阶的无穷小量，即：0)(lim0xxox 则称)(xfy在x处可微，记作： xxAdy)( dxxAdy)( )0(x 2.导数与微分的等价关系： 定理：)(xf 在x处可微)(xf在x处可导， 且：)()(xAxf 3.微分形式不变性： duufdy)( 不论u是自变量，还是中间变量，函数的 微分dy都具有相同的形式。
13 §2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理 1.罗尔定理: )(xf满足条件: .0)(,),().()(3;),(2],[10.0.0.fbabfafbaba使得存在一点内至少在内可导在上连续；在 y )(f )(f )(xf )(xf a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理：)(xf满足条件: abafb

ffbababa)()()(),(),(2],[100，使得：在一点内至少存在内可导；在上连续，在 ㈡罗必塔法则：（,00 型未定式） 定理：)(xf和)(xg满足条件：
14 1o）或）或(0)(lim(0)(limxgxfaxax； 2o在点a的某个邻域内可导，且0)(xg； 3o）（或,)()(lim)(Axgxfax 则：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax ☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是00型或型时，不可求导。 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o若)(xf和)(xg还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： ）（或Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)()()( 5o若函数是,0型可采用代数变
15 形，化成00或型；若是00,0,1型可 采用对数或指数变形，化成00或型。 ㈢导数的应用 1． 切线方程和法线方程： 设：),(),(00yxMxfy 切线方程：))((000xxxfyy 法线方程：)0)((),()(10000xfxxxfyy 2． 曲线的单调性： ⑴),(0)(baxxf内单调增加；在),()(baxf ),(0)(baxxf内单调减少；在),()(baxf ⑵),(0)(baxxf内严格单调增加；在),(ba ),(0)(baxxf内严格单调减少。在),(ba 3.函数的极值： ⑴极值的定义： 设)(xf在),(ba内有定义，0x是),(ba内的一点； 若对于0x的某个邻域内的任意点0xx，都有： )]()()[()(00xfxfxfxf或
16 则称)(0xf是)(xf的一个极大值（或极小值）， 称0x为)(xf的极大值点（或极小值点）。 ⑵极值存在的必要条件： 定理：0)()(.2)()(.100000xfxfxfxf存在。存在极值 0x称为)(xf的驻点 ⑶极值存在的充分条件： 定理一： 是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在000000000)()(.3)(0)(.2)(.1xxfxxfxfxfxxf 当x渐增通过0x时，)(xf由（+）变（-）； 则)(0xf为极大值； 当x渐增通过0x时，)(xf由（-）变（+）；则)(0xf为极小值。 定理二：是极值点。是极值；存在。；000000)()(.20)(.1xxfxfxf 若0)(0xf，则)(0xf为极大值；
17 若0)(0xf，则)(0xf为极小值。 ☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4．曲线的凹向及拐点： ⑴若baxxf,,0)(；则)(xf在),(ba内是上凹的（或凹的），（∪）； ⑵若baxxf,,0)(；则)(xf在),(ba内是下凹的（或凸的），（∩）； ⑶的拐点。为称时变号。过，)()(,)(.20)(.1000000xfxfxxxfxf 5。曲线的渐近线： ⑴水平渐近线： 的水平渐近线。是或若)()(lim)(limxfAyAxfAxfxx ⑵铅直渐近线： 的铅直渐近线。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx 第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 一、主要内容 ㈠重要的概念及性质： 1．原函数：设：DxxFxf),(),( 若：)()(xfxF 则称)(xF是)(xf的一个原函数，
18 并称CxF)(是)(xf的所有

原函数, 其中C是任意常数。 2．不定积分： 函数)(xf的所有原函数的全体， 称为函数)(xf的不定积分；记作： CxFdxxf)()( 其中：)(xf称为被积函数； dxxf)(称为被积表达式； x 称为积分变量。 3. 不定积分的性质： ⑴ )()(xfdxxf 或：dxxfdxxfd)()( ⑵ Cxfdxxf)()( 或：Cxfxdf)()( ⑶ dxxfxfxfn)]()()([21 dxxfdxxfdxxfn)()()(21 —分项积分法
19 ⑷ dxxfkdxxkf)()( (k为非零常数) 4.基本积分公式： ㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法） dxxxf)()]([)()]([xdxf凑微元 CtFdttfxt)()()(令 CxFxt)]([)(回代 常用的凑微元函数有： 1o )(1)(1baxdaaxdadx )0,(aba为常数， 2o )()1(11111baxdmadxmdxxmmm 为常数）（m 3o )(1)(baedaeddxexxx )1,0(),(ln1aaadadxaxx 4o )(ln1xddxx
20 5o )(sincos)(cossinxdxdxxddx )(cotcsc)(tansec22xdxdxxdxdx 6o )(arccos)(arcsin112xdxddxx )cot()(arctan112xarcdxddxx 2.第二换元法： )()]([)()(tdtfdxxftx令 CtFdxtft)()]([)( CxFxt)]([1)(1反代 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o 0,,tntxn为偶数时 (当被积函数中有nx时) 2o 20),cos(,sintxaxtax或 (当被积函数中有22xa时) 3o )0(,0),cot(,tan22tttaxtax或
21 (当被积函数中有22xa时) 4o )0(,0),csc(,sec22tttaxtax或 (当被积函数中有22ax时) ㈢分部积分法： 1. 分部积分公式： vdxuvudxvuvduvuudv 2.分部积分法主要针对的类型： ⑴xdxxPxdxxPcos)(,sin)( ⑵dxexPx)( ⑶xdxxPln)( ⑷xdxxPxdxxParccos)(,arcsin)( xdxarcxPxdxxPcot)(,arctan)( ⑸bxdxebxdxeaxaxcos,sin 其中：nnnaxaxaxP110)( （多项式） 3.选u规律： ⑴在三角函数乘多项式中，令uxP)(， 其余记作dv;简称“三多选多”。
22 ⑵在指数函数乘多项式中，令uxP)(， 其余记作dv;简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中，令uxln， 其余记作dv;简称“多对选对”。 ⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。 ⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为u，其余记作dv;简称“指三任选”。 ㈣简单有理函数积分： 1. 有理函数：)()()(xQxPxf 其中)()(xQxP和是多项式。 2. 简单有理函数： ⑴21)()(,1)()(xxPxfxxPxf ⑵))(()()(bxaxxPxf ⑶baxxPxf2)()()( §3.2定积分 f(x) 一． 主要内容 （一）.重要概念与性质 1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 ξi xi xn-1 b x iiibaniiinxxxxfdxxf,)()(110lim 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。
23 定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。 x轴上方的面积取正号， y x 轴下方的面积取负号。 + +

a 0 - b x 2. 定积分存在定理： baxxfy,)(设： 若：f(x)满足下列条件之一: ;,)(.2;,)(.1点上有有限个第一类间断在连续，baxfbaxxf 上可积。在则：上单调有界在baxfbaxf,)(;,)(.3 若积分存在，则积分值与以下因素无关： 上任意选取。可以在的选取无关，即与点可以任意划分上的划分无关，即与在即与积分变量形式无关，iiiibabaxxbabadttfdxxf,13;,,2;)()(1 有关。与区间积分值仅与被积函数],[)(baxf 3. 牛顿——莱布尼兹公式： )()()()(,)()(aFbFxFdxxfbaxfxFbaba则：上的任意一个原函数：在是连续函数若*牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。 4. 原函数存在定理：
24 )())(()(],[)()(,,)()(,,)(xfdttfxbaxfxbaxdttfxbaxxfxaxa且：上的一个原函数，在是则：连续，若 5. 定积分的性质： 上可积，则：在设],[)(),(baxgxf babadxxfkdxxkf)()(1 abbadxxfdxxf)()(2 0)(4)()()()(3dxxfdxxgdxxfdxxgxfaabababa )()()()(5bcadxxfdxxfxfbccaba abdxba16 y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x
25 dxxgdxxfbxaxgxfbaba)()()(),()(7则 上的最小值和最大值。在分别为其中估值定理：baxfMmabMdxxfabmba,)(,)()()(8 y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a ξ b x )()()(,,,,)(9abfdxxfbabaxxfba使则：必存在一点连续若积分中值定理： （二）定积分的计算： 1. 换元积分 )(],[)(txbaxxf，连续，设 ,,)(tt连续，若 ,)(,)(,)(babatt变到单调地从时，变到从且当
26 dtttfdxxfba)()()(则： 2. 分部积分 bababavduvuudv 3. 广义积分 00)()()(dxxfdxxfdxxf 4. 定积分的导数公式 )())(1xfdttfxax（ )()(])([2)(xxfdttfxxa )()()()(])([31122)()(21xxfxxfdttfxxx(三)定积分的应用 1. 平面图形的面积: )(,,,0)(1babxaxxfy由 与x轴所围成的图形的面积 y f(x) badxxfs)( )(),(),(221gfxgyxfy由
27 dxxgxfsbxaxba)()(,所围成的图形的面积与 )(),(),(321yxyx由 dyyysdycydc)()(,所围成的图形的面积与 ：求平面图形面积的步骤.4 ①. 求出曲线的交点，画出草图； ②. 确定积分变量，由交点确定积分上下限； ③. 应用公式写出积分式，并进行计算。 2. 旋转体的体积 bxaxxfy,,0)(1与曲线及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积： dxxfVbax)(2 0 a b x dycyyx,,0)(2与由曲线及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积： dyyVdcy)(2 第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分
28 一. 主要内容： ㈠. 多

元函数的概念 3. 二元函数的定义： Dyxyxfz),(),( )(fD定义域： 4. 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） ㈡. 二元函数的极限和连续： 1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点),(100yx 可除外）（点),(00yx Ayxfyyxx),(lim200 。极限存在，且等于在则称Ayxyxfz),(),(00 2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件： 的某个领域内有定义。在点),(100yx ),(),(lim20000yxfyxfyyxx 处连续。在则称),(),(00yxyxfz ㈢.偏导数： 点在定义),(),,(:00yxyxf
29 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000 的偏导数。处对在分别为函数yxyxyxfyxfyxfyx,),(),(),(),,(000000 处的偏导数记为：内任意点在),(),(yxDyxfz xxzxzxyxfyxf),(),( yyzyzyyxfyxf),(),( ㈣.全微分： 1.定义：z=f(x,y) ),(),(yxfyyxxfz若 )(oyBxA ）是比（无关，、与、其中，oyxBA 较高阶的无穷小量。22yx yBxAyxdfdz),(:则
30 ),(yxfz是 在点(x,y)处的全微分。 3. 全微分与偏导数的关系 .),(),(),,(Dyxyxfyxfyx连续，定理：若 处可微且在点则：),(),(yxyxfz dyyxfdxyxfdzyx),(),( ㈤.复全函数的偏导数： 1.),(),,(),,(yxvvyxuuvufz设： ),(),,(yxvyxufz xvvzxuuzxz则： yvvzyuuzyz 2. )(),(),,(xvvxuuvufy设 )](),([xvxufy ㈥.隐含数的偏导数： 1.0),,(,0),,(zFyxfzzyxF且设 dxdvvydxduuydxdy
31 zyzxFFyzFFxz,则 2. 0),(,0),(yFxfyyxF且设 yxFFdxdy则 ㈦.二阶偏导数： )(),(22xzxxzyxfxx )(),(22yzyyzyxfyy )(),(2xzyyxzyxfxy )(),(2yzxxyzyxfyx 的连续函数时，为和结论：当yxyxfyxfyxxy,),(),(),(),(yxfyxfyxxy则： ㈧.二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： 某一个邻域内有定义，在设),(),(00yxyxz ),(),(),,(),(0000yxzyxzyxzyxz或若
32 ,)(),(),(00值或极小的一个极大是则称yxzyxz 值点。或极小的一个极大是称)(),(),(00yxzyx ☆ 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件： ),(),(),(0000yxyxyxfz有极值，且在在点若 两个一阶偏导数存在，则： 0),(0),(0000yxfyxfyx ★，的点使),(0),(),(1000000yxyxfyxfyx 的驻点。称为)(,yxfz 的必要条件，定理的结论是极值存在2 而非充分条件。 例：122xyz 00020200yxyzxzyx解出驻点 1)0,0(z 11),0(0,02yyzyx时，当 11)0,(0,02xxzyx时，当 ∴驻点不一定是极值点。
33 5. 极值的充分条件： 的某个领域内在设：函数),(),(00yxyxfy 为驻点，有二阶偏导数，且),(00yx ),(),(),(0000200yxfyxfyxfpyyxxxy若： 为极小值。时，为极大值。时，且当：),(0),(),(0),(000000000yxfyxfyxfyxfpxxxx不是极值。当：),(,000yxfp 不能确定。当：,0p 求二元极值的方法： 一阶偏导数等于零，求一阶偏导数，令两个1 解出驻点。 判断驻点是否是根据极值的充分条件，求出,2p 极值点。 极值。若驻点是极值点，求出3

34 二倍角公式：(含万能公式) ①212cossin22sintgtg ②22222211sin211cos2sincos2costgtg ③2122tgtgtg ④22cos11sin222tgtg ⑤22cos1cos2
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