【高二】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年度第一学期高二数学期中试卷(解析版)

无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷

高二数学 2020.11

命题：吴明飞审核：程言峰

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.如果命题2:>x p ，命题2:≥x q ，那么命题p 是命题q 的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2.在平面内，到直线2-=x 与到定点)0,2(P 的距离相等的点的轨迹是

A.抛物线

B.双曲线

C.椭圆

D.直线 3.在等差数列}{n a 中，6543=++a a a ，则=+71a a

A.2

B. 3

C. 4

D.5

4.已知等比数列}{n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S ，若43=a ，6462=?a a ，则

=5S

A.32

B.31

C.64

D.63

5.若椭圆

2=++m y x 的焦距为2，则实数m 的值为 A.5 B.2 C.2或9 D.5或7

6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10，前后两项之差得到新数列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为 A. 184 B. 174 C. 188 D. 160

7.已知数列}{n a 满足211=

a ，)(21

*1N n a a n n ∈=+．

设n

n a n b λ2-=，*N n ∈，且数列}{n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是 A.)1,(-∞

B.)2

,1(-

C.)2

3,(-∞

D.)2,1(-

8.数列}{n a 是等差数列，06125>=a a ，数列}{n b 满足321+++=n n n n a a a b ，*

N n ∈，设n

S 为}{n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于

A.9

B.10

C.11

D.12

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若03=S ，84=a ，则有

A.n n S n 622-=

B.n n S n 32

-= C.84-=n a n D.n a n 2=

10.已知双曲线C 过点()

3,2且渐近线方程为3

y x =±

，则下列结论正确的是 A.双曲线C 的方程为2

213

x y -=

B.双曲线C 的离心率为3

C.曲线12

-=-x e y 经过双曲线C 的一个焦点 D.焦点到渐近线的距离为1

11.下列说法正确的是

A.“b a >”是“2

2bc ac >”的必要不充分条件 B.“1>x ”是“12

>x ”的充分不必要条件

C.“2

b a

c =”是“c b a 、、成等比数列”的充要条件

D.设}{n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“}{n a 为递增数列”的充分必要条件 12.已知B A ,两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是 A.爆炸点在以B A ,为焦点的椭圆上 B.爆炸点在以B A ,为焦点的双曲线的一支上

C.若B 监测点的声强是A 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B 监

测点的距离为

680

米 D.若B 监测点的声强是A 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B 监测点的距离为680米

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题．．

卡相应位置上．．．．．．

. 13.命题“02

≥∈?x R x ，”的否定是 ▲ .

14.椭圆14

=+y x 的右焦点为F ，以点F 为焦点的抛物线的标准方程是 ▲ . 15.已知F 是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的一个焦点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标

原点，若POF ?为等边三角形，则椭圆C 的离心率为 ▲ .

16.如图，在ABC ?中，4||=AB ，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB

垂直平分线上的一点，且53||=DE ，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC ?的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且

D C 、在直线AB 的异侧，在移动过程中，当||||CA CD -取得最大值时，ABC ?的面积为 ▲ .

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a 且842,,a a a 成等比数列.

(1)求}{n a 的通项公式； (2)已知n a n

n S b 21

+=，求数列}{n b 的前n 项和n T .

▲ ▲ ▲

18.（本小题满分10分）

已知命题p ：“曲线134:22

21=+-m

y m x C 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲

线11

22=--+-t m y t m x C 表示双曲线”. （1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；

（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．

▲ ▲ ▲

19.（本小题满分12分）

已知直线m kx y l +=:与椭圆14

=+y x 交于B A ,两点. （1）在0=k ，10<

（2）当1=k ，5

4||=AB 时，求直线l 的方程.

▲ ▲ ▲

20.（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22

n n a a S +=．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若n a

n n a b 2)13(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．

▲ ▲ ▲

21.（本小题满分12分）

某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：

假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性.潜伏期时间记为m 0，以潜伏期时间m 0为一个传染周期；

假设2、记r 0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；

假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即r 0不变. （1）第一模型：无干预模型.在上述模型假设中，取m 0=1天，r 0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，…，请问9天后感染总人数是多少？

（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：

假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；

假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院．．．．的病人即失去传染性．．．．．．．．．

；在第二模型中，取m 0=1天，r 0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？

（参考数据：3.42.18

≈，2.52.19

≈，2.62.110

≈，3.382

.120

≈，4.2372.130≈

5492.28≈，12072.29≈，26552.210≈）.

▲ ▲ ▲

22.（本小题满分14分）

已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的离心率为22，椭圆C 的上顶点到右顶点的距

离为3，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若T S ,是椭圆C 上两点（异于顶点），且OST ?的面积为2

，设射线OS ，

OT 的斜率分别为21,k k ，求21k k ?的值；

（3）设直线l 与椭圆交于N M ,两点（直线l 不过顶点），且以线段MN 为直径的圆过椭圆的右顶点A ，求证：直线l 过定点.

▲ ▲ ▲

无锡市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷

高二数学 2020.11

命题：吴明飞审核：程言峰

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．如果命题2:>x p ，命题2:≥x q ，那么命题p 是命题q 的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件答案：A

解析：∵22x x >?≥，但22x x ≥>，∴命题p 是命题q 的充分不必要条件，故

选A ．

2．在平面内，到直线2-=x 与到定点)0,2(P 的距离相等的点的轨迹是

A ．抛物线

B ．双曲线

C ．椭圆

D ．直线答案：A

解析：根据抛物线的定义即可判断出来，选A ．

3．在等差数列}{n a 中，6543=++a a a ，则=+71a a

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 答案：C

解析：345462a a a a ++=?=，∴17424a a a +==．

4．已知等比数列}{n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S ，若43=a ，6462=?a a ，则=5S

A ．32

B ．31

C ．64

D ．63

答案：B

解析：数列}{n a 的各项均为正实数，264648a a a ?=?=， ∴51234512481631S a a a a a =++++=++++=．

5．若椭圆

2=++m y x 的焦距为2，则实数m 的值为 A ．5 B ．2 C ．2或9 D ．5或7 答案：D

解析：9﹣(m ＋3)＝±1，解得m ＝5或7．

6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10，前后两项之差得到新数列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为 A ．184 B ．174 C ．188 D ．160 答案：B

解析：由题意知：11()()1n n n n a a a a +----=，故数列{}1n n a a +-是以1为首项，1为公

差的等差数列，故1n n a a n +-=，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-

3(121)2

n n n -+=+++

+-=，

所以21919196

1932

a -+=

=． 7．已知数列}{n a 满足211=a ，)(2

1N n a a n n ∈=+．设n n a n b λ2-=，*N n ∈，且数列

}{n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是

A ．)1,(-∞

B ．)23,1(-

C ．)2

,(-∞ D ．)2,1(-

答案：C

解析：1()2

n a =，2(2)2n n n n b n a λ

λ-=

=-?，10n n b b +->对*n N ?∈恒成立，参变分离得，min 23

()22

n λ+<=，故选C ．

8．数列}{n a 是等差数列，06125>=a a ，数列}{n b 满足321+++=n n n n a a a b ，*

N n ∈，设

n S 为}{n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12 答案：D

解析：51216267

60()55

n a a a d a n d =>?=-

?=-，0d <，当1≤n ≤13时，n b ＞0；当n ≥14时，n b ＜0，

又1314151213140a a a a a a ->，故当n ＝12时，n S 取得最大值．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若03=S ，84=a ，则有

A ．n n S n 622-=

B ．n n S n 32

-= C ．84-=n a n D ．n a n 2=

答案：AC

解析：3200S a =?=，42

442

a a d -=

=-，48n a n =-，n n S n 622-=． 10．已知双曲线C

过点(

且渐近线方程为3

y x =±，则下列结论正确的是

A ．双曲线C 的方程为2

213

x y -=

B ．双曲线C

C ．曲线12

-=-x e y 经过双曲线C 的一个焦点 D ．焦点到渐近线的距离为1

答案：ACD

解析：设双曲线方程为：22

3x y λ-=，双曲线C 过点()

3,2，9

λ-=，即1λ=-，所以双曲线C 的方程为2

213

x y -=，A 正确； 23

c e a =

，故B 错误；曲线12

-=-x e y 经过点(2，0)，该点为双曲线的右焦点，故C 正确；

焦点到渐近线的距离为1，故D 正确．故选ACD ．

11．下列说法正确的是 A ．“b a >”是“2

ac >”的必要不充分条件

B ．“1>x ”是“12

>x ”的充分不必要条件

C ．“2

b a

c =”是“c b a 、、成等比数列”的充要条件

D ．设}{n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“}{n a 为递增数列”的充分必要条件答案：AB

解析：∵2

ac bc >?b a >，a b >22bc ac >，故A 正确；

∵1x >?12

>x ，2

x >1>x ，故B 正确；

当a ＝b ＝c ＝0时，c b a 、、不成等比数列，故C 错误；

当10a <，1>q 时，等比数列}{n a 为递减数列，故D 错误．故选AB ． 12．已知B A ,两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是 A ．爆炸点在以B A ,为焦点的椭圆上 B ．爆炸点在以B A ,为焦点的双曲线的一支上

C ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B

监测点的距离为3

680

米 D ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B 监测点的距离为680米

答案：BD

解析：设爆炸点为P ，由题意知PA ﹣PB ＝680，故爆炸点在以B A ,为焦点的双曲线的一

支上，A 错，B 正确；若B 监测点的声强是A 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），∴PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB ，∵PA ﹣PB ＝680，∴PB ＝680，故C 错，D 正确．故选BD ．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．

. 13．命题“02

≥∈?x R x ，”的否定是 ▲ ．答案：02

<∈?x R x ，

解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变为存在量词，其次否定结论．

14．椭圆14

=+y x 的右焦点为F ，以点F 为焦点的抛物线的标准方程是 ▲ ．答案：x y 342

解析：首先求得F(3，0)，则抛物线方程为x y 342

=．

15．已知F 是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的一个焦点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐

标原点，若POF ?为等边三角形，则椭圆C 的离心率为 ▲ ．

答案：13-

解析：由题意知点(2

，3c )在椭圆上，所以22223144c c a b +=，222223144()c c a a c +

=-， 42840e e -+=，242331e e =-?=-．

16．如图，在ABC ?中，4||=AB ，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且53||=DE ，固定边AB ，在平面

ABD 内移动顶点C ，使得ABC ?的内切圆始终与AB 切于线段BE

的中点，且D C 、在直线AB 的异侧，在移动过程中，当||||CA CD -取得最大值时，ABC ?的面积为 ▲ ．

答案：65

解析：首先判断出点C 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，以E 为坐标原点建立平面直角坐标系，得动点C 的轨迹

方程为：2

y x -=，从而CA ﹣CB ＝2， CD ﹣CA ＝CD ﹣CB ﹣2，当C 、B 、D 三点共线时取最大值，此时求得点C 纵坐标

为35，此时三角形ABC 的面积为65．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a 且842,,a a a 成等比数列.

(1)求}{n a 的通项公式； (2)已知n a n

n S b 21

，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）设公差为)0(≠d d ，由842,,a a a 成等比数列

所以8224a a a ?=，所以)17)(1()13(2++=+d d d ，所以d d =2

，所以1=d

所以n a n =

（2）由（1）得n a n =，2

)

1(+=n n S n 所以n n n n n n n b 2)1

1(22)1(2++-=++=

所以2

21(2)1113121211(2--++-++-+-=n n n n T

所以

222)111(211+-

=-++-=++n n T n n n

18.（本小题满分10分）

已知命题p ：“曲线134:22

21=+-m

y m x C 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题q ：“曲

线11

22=--+-t m y t m x C 表示双曲线”. （1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；

（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．

解：（1）若p 是真命题，所以?????≠>-0

3422

m m

所以m 的取值范围是31<

（2）由（1）得，p 是真命题时，m 的取值范围是31<

q 为真命题时，0)1)((<---t m t m ，

所以m 的取值范围是1+<

所以?

??≤+≥311t t ，所以21≤≤t ，等号不同时取得

所以21≤≤t

19.（本小题满分12分）

已知直线m kx y l +=:与椭圆14

=+y x 交于B A ,两点. （3）在0=k ，10<

（4）当1=k ，5

4||=AB 时，求直线l 的方程.

解：当0=k 时，m y =，所以B A ,两点关于y 轴对称，设),(0m x A ，),(0m x B -

所以)1(42

20m x -=

所以2

014||2m x AB -==

所以12

121221222

=-+?

≤-=??=m m m m m AB S 当且仅当21m m -=，即2

m ，等号成立，所以AOB ?的面积S 的最大值为1 （1）当1=k 时，设),(),,(2211y x B y x A

?????=++=14

2y x m x y ，得044852

2=-++m mx x

所以???

???

>?-=?-=+05445

82212

1m x x m x x ，

所以5

168024)(2||2||2

212

2121m x x x x x x AB -?=-+?=-=

又因为5

4||=

AB 所以3416802=-m ，所以2±=m 所以直线l 的方程为

2±=x y

20.（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22

n n

n a a S +=．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若n a

n n a b 2)13(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．

解：因为22n

n n a a S +=，当1=n 时，11=a ，

n n n a a S +=2

)2(21211≥+=---n a a S n n n 所以12

122---+-=n n n n n a a a a a

所以111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a

因为0>n a ，所以01>+-n n a a （没写的扣一分）所以11=--n n a a （常数）

所以}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列（不下结论的扣一分）所以n a n =

（1）由题得n

n n b 2)13(?-=

n n n T 2)13(282522321?-++?+?+?= 14322)13(2825222+?-++?+?+?=

n n n T

13212)13()222(322+?--++++?=-n n n n T

112)13(21)

21(434+-?----?+=-n n n n T

12)34(8+?-+-=-n n n T 12)43(8+?-+=n n n T

21.（本小题满分12分）

某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用.模型假设如下：

假设2、记r 0为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；

（2）第二模型：无限医疗模型.增加两个模型假设：

假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；

假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院．．．．的病人即失去传染性．．．．．．．．．

；在第二模型中，取m 0=1天，r 0=1.2，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？

（参考数据：3.42.18

≈，2.52.19

≈，2.62.110

≈，3.382

.120

≈，4.2372.130≈

5492.28≈，12072.29≈，26552.210≈）.

解：（1）记n a 为n 天后感染总人数，

则2.21=a ，2

22.2=a ，所以12072.299≈=a

答：9天后感染总人数是1207万人

注：若用递推关系得12.2-=n n a a ，求通项公式得最终结果同样得分（2）记n b 为第n 天收入医院的人数

所以11=b ，2.12=b ，由题易得}{n b 为首项为1，公比为1.2的等比数列

所以1

2.1-=n n b

若n 天后总感染人数超过1000万即10002.121≥?++++n n b b b b 所以10002.12.12.112

≥++++n

所以2012

.11

≥+n

又因为2014.2372

.130

>≈，2018.1972.129<≈

所以301≥+n ，所以29≥n

答：29天后感染总人数将超过1000万

22.（本小题满分14分）

已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的离心率为22，椭圆C 的上顶点到右顶点的距

离为3，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若T S ,是椭圆C 上两点（异于顶点），且OST ?的面积为2

，设射线OS ，

OT 的斜率分别为21,k k ，求21k k ?的值；

（3）设直线l 与椭圆交于N M ,两点（直线l 不过顶点），且以线段MN 为直径的圆过椭圆的右顶点A ，求证：直线l 过定点.

解：由题得???

??=+=3

2b a a c ，所以1,2==b a

所以椭圆的标准方程为12

=+y x （1）设),(),,(2211y x T y x S

设直线x k y OS 1:=，直线x k y OT 2:=

?????=+=1

21y x x

k y ，所以212

1212k x +=，同理得2

2212

k x +=

点T 到直线OS 的距离2

12212

12211|

|||1||k x k k k y x k d +?-=

+-=

，||112

1x k OS ?+=

所以22)

21)(21(||21222121=++-=??=

?k k k k d OS S OST

平方得0)12(2

21=+k k 所以2

21-

=k k （3）设),(11y x M ，),(22y x N

（i ）直线l 的斜率存在时，设直线m kx y l +=:

?????=++=12

2y x m kx y ，得0224)21(2

22=-+++m kmx x k 所以???

???

>?+-=+-=+021222142

2212

1k m x x k km x x

由题得0=?

所以0)2)(2(2121=+--y y x x

化简得02))(2()1(2

21212=+++-++m x x km x x k

代入韦达定理得

0242322=++km k m 0)2)(23(=++k m k m

所以k m 2-=或k m 3

= 当k m 2-=时，k kx y l 2:-=，定点为)0,2(，为右顶点（舍）。当k m 32-

=时，k kx y l 32:-=，定点为)0,3

2(，满足题意（ii ）直线l 的斜率不存在时，设直线2||,:<

=t t x l

?????=+=1

y x t

x ，所以)22,(),22,(22t t N t t M ---（不妨设M 在第一象限）又因为)0,2(A 所以0=?AN AM

化简得022432

=+-t t ，所以0)2)(23(=--t t

所以3

t 或2=t （舍）所以32=

t ，直线l 过点)0,3

(

综上（i）（ii）所得直线l过定点)0,