2011年《概率论与数理统计》试卷B参考答案
2011《概率论与数理统计》试卷B 参考答案
一、单项选择题（3×5=15分）
1、设随机事件,A B 满足()0P AB =, 则( C ).
(A) ,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容 (C) AB 不一定为不可能事件 (D) AB 一定为不可能事件 2、U 估计法是用来进行 ( B ) 的.
(A) 极大似然估计 (B) 区间估计 (C) 假设检验 (D) 矩估计
3、设随机变量2~(,)X N μσ, 其中μ已知，2σ未知, 12,X X 是来自总体的一个样本, 则能作为统计量的是( B ). (A) 2
1X σ+ (B) 12X X μ++ (C)
12
X X σ
+ (D)
4、设X 是随机变量，若2EX =，1DX =，则2
EX =( D ).
(A) 1- (B) 1 (C) 3 (D) 5
5、设12(),()F x F x 是随机变量的分布函数，12(),()f x f x 是相应的概率密度，则( B ).
(A) 12()()F x F x +是分布函数 (B) 12()()F x F x 是分布函数 (C) 12()()f x f x +是概率密度 (D) 12()()f x f x 是概率密度 二、填空题（3×5=15分）
6、 已知2EX =-，1DX =，2EY =，4DY =，()2E XY =，则XY ρ= 3 .(数字改以下)
7、设随机变量X 服从指数分布()e λ，则DX =
2
1
λ.
8、设随机变量,X Y 相互独立, 其分布函数分别为()X F x 和()Y F y , 则min(,)X Y 的分布函数min ()F z 为 [][]11()1()X Y F z F z ---. 9、设总体2~(,)X N μσ,12,,
,n X X X 是来自总体的一个样本, 2σ已知, 则μ
的置信度为1α-的双侧置信区间是
22,X u X u αα??- ??
?.
10. 已知0.05(30,5) 4.50F =则0.95(5,30)F =三、解答题(本题共5小题, 满分70分) 11、（20分）从1,2,,9中任意抽取一个数字，然后放回，先后取出五个数字，
求下列事件的概率，
（1）1A =“最后取出的数字是偶数”； （2）2A =“五个数字全不相同”； （3）3A =“2恰好出现三次”； （4）4A =“2至多出现三次”.
解 由于是可放回的抽取，所以基本事件的总数为5999999????=。 （2分） （1） 因为最后一个数字是奇数有5种，所以1A 中包含的样本点数为495?，于
是415955
()0.55699
P A ?==≈。 （4分）
（2） 因为五个数字全不相同，相当于九取五作排列，所以2A 中包含的样本点
数为5
9
P ，于是59255
98765
()0.25699P P A ????==≈。 （4分）
（3） 2恰好出现三次，是五次中的任意三次，所以有35C 种选择，而其余两次每
次有八种选择，所以3A 中包含的样本点数为3
25
8C ?，于是3
2
5358()0.01089C P A ?=≈。 （4分）
（4）2出现五次的情形有一种，2出现四次的情形有1
5
8C ?种，于是1
5445
18
()1()10.99939C P A P A +?=-=-≈。 （6分）
12、（15分）两台车床加工同样的零件，第一台出废品的概率为0.02，第二台出废品的概率为0.03。加工出来的零件放在一起，已知第二台加工的零件数是第
一台的3倍。求:
(1) 从加工出来的零件中任取一件，是合格品的概率； (2) 若任取一件是次品，求它是由第一台车床加工的概率。
解 设事件i A 表示“零件由第i 台车床加工”, 2,1=i , 事件B 表示“任取一个零件是次品”。依题意有03.0)|(,02.0)|(,4
3
)(,41)(2121====
A B P A B P A P A P 。 (1) )|()()|()())(()(221121A B P A P A B P A P A A B P B P +=+=
)03.01(4
3
)02.01(41-?+-?=
9725.0=。 (8分) (2) 112
9725.0102
.041
)
(1)|()()()()|(1111=-?=-==B P A B P A P B P B A P B A P 。
(7分)
13、（12分）下表给出了二维随机向量(,)X Y 的联合分布律及关于X 与Y 的边缘分布律的部分数值. 若随机变量X 与Y 相互独立, 试填入表中所缺数值. （每空1.5分）
14、(11分) 从一批产品中抽取8个样品测量长度(单位:cm)，观测值为：
12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01
如果产品长度服从正态分布，求产品长度均值μ的置信度为0.95的置信区间. 附：0.0250.0250.025
1.96,(7)
2.364,(8) 2.306u t t ====。
解 由观测值计算得，
2
211
118,0.05,12.08,()0.0036,0.061n n i i i i n x x s x x s n n α=======-==-∑∑ （3分） 由于σ未知，所以采用T 估计法， （2分）
μ的置信度为0.95
的置信区间为22(1),(1)x t n x t n αα?
?
-+- ??
?
， （2分）将2
0.025(1)(7) 2.364t n t α-==代入，计算得 （2分）
μ的置信度为0.95的置信区间为 (12.03, 12.13)。 （2分）
15、（12分）某种导线，要求其电阻的方差为20.0050.005欧，今在生产的一批导线中取样品9根，测得0.007s =欧。设这批导线的电阻服从正态分布，问在
显著性水平0.05α=下能认为这批导线电阻的方差有显著的变化吗？
附：2222
0.05
0.950.0250.975(8)15.5,(8) 2.73,(8)17.54,(8) 2.18χχχχ====。 解 由题意，总体服从正态分布，μ未知，2200.005σ=，9n =
提出假设 2200:H σσ=， 210:H σσ≠ （2分）
根据题意，选择2χ检验法，由于22
0.025
0.975(8)17.54,(8) 2.18χχ==，所以拒绝域为 22
0.9750.025(,(8))((8),)(,2.18)(17.54,)D χχ=-∞+∞==-∞+∞ （4分）
由观测值计算，得 2
22
2
2
0(1)80.00715.680.007n s χσ-?=
== （2分） 所以2
D χ∈，从而，接受0H ， （2分）即在显著性水平0.05下，这批导线电阻的方差无显著的变化。 （2分）