ARMA模型ARCH模型GARCH模型经典时序模型

国际金价变动的分析

黄金是人类最早发现的金属之一，早在旧石器时期晚期，人们就注意到这种“闪闪发光”的东西，并被它吸引。放眼人类历史长河，黄金在人类社会扮演着各种角色，例如，祭祀的祭品、精美的工艺品、财富的象征、终极货币、战争的帮凶、稳定经济的功臣等等。在金融海啸席卷全球之后，黄金的光泽似乎更加的耀眼，每盎司黄金从2007年2月的650每元左右上涨到2009年十一月的1100美元以上，涨幅接近百分之百！

回溯200多年的历史，在这期间黄金价格有过三次大涨行情与两次大跌行情，下面对这几次行情进行回顾，一一分析金价变动原因。

金价上涨行情

第一次金价上涨发生在美国内战期间（1861-1865年），时间是1862年到1864年。1862年，美国国会通过了一个《法定货币法案》，规定名为“绿背美钞”的纸币可以作为货币流通。绿背美钞与黄金之间并没有法定比价关系，实际上就是放弃金本位制。随着纸币的大量印制，通货膨胀不可避免。在1862年到1864年两年的时间里，金价上涨幅度250％—300％。

第二次金价上涨在1970—1980年。1944年的布雷顿森林体系确定了美元本位的世界货币体系：会员国货币与美元挂钩，美元与黄金挂钩，35美元兑1盎司黄金，各国可以用35美元/盎司的价格向美国购买黄金。在二次世界大战以后，为了援助欧洲各国灾后重建，美国不断地向世界输入美元，欧洲也由战后的“美元荒”过度到了1960年代末的“美元灾”。当1971年8月15日，尼克松政府宣布美国放弃美元与黄金之间的固定比价关系后，世界进入法币时代，也就是进入全面通货膨胀时代，黄金出现暴涨：从35美元/盎司涨到1980年的850美元/盎司。

第三次金价上涨则是2003年至今。在网络泡沫与“9.11”之后，自2001年初至2003年6月，美联储共采取13次降息行动，将联邦基金利率从6.5％降到1％（这是1958年以来的最低点），并将这一利率水平维持了一年时间。这一极为宽松的货币政策为随后几年美元的大幅贬值，以及美国向全世界输送通货膨胀奠定了坚实的基础，致使2008年全世界有70多个国家的通胀率达到两位数。在这期间金价上涨了300%以上。

金价下跌行情

第一次金价下跌：1864-1879年，由1英镑的黄金需要12美元跌到1英镑黄金值4.86美元。美国国会在1875年通过《金元恢复法案》。它授权财政部从1879年1月1日起，恢复使用黄金支付所有债务——价格为战前的4.86美元兑1英镑黄金。法案提出了减少绿背美钞供应的方案：将绿背美钞的供应量限制在3亿美元以下，要求财政部收回8200万美元的纸币，并授权美国财政部从美国政府债券销售中建立黄金储备。在经济萧条、战后长期通货紧缩以及财政部逐渐收紧货币供应的综合作用下，到1878年底，减少数量后的纸币正好与已经增加的黄金储备大致相等，价格也跌到了战前的水平，绿背美钞的价格自1862年发行以来首次与黄金价格相等。政府收紧货币导致通货紧缩就会使货币升值，使金价下跌。

第二次金价下跌，1980-1999年，金价由850美元/盎司跌到252美元/盎司。1979年，反通货膨胀斗士沃尔克出任美联储主席，沃尔克上任伊始便祭起“打击世界范围的通货膨胀”大旗，与紧密同盟英国一道使美元借贷变得昂贵无比。美元拆借利息平均值从1979年的11.2％一下子涨到1981年的20％，基本利率更高达21.5％，国债收益率冲上17.3％。与此同时，英国首相撒切尔夫人也于1979年5月当选，她发誓“要把通货膨胀从经济中驱除出去”，她上任仅一个月就决定把基准利率在12个星期之内从12％提高到17％。在如此短的时间之内把借贷成本猛然提高42％，在两位反通胀斗士的不懈努力下，世界通货膨胀终于被遏制住，美国的通货膨胀率由1980年的13.58下降到1986年的1.91。黄金价格也开始节节下跌。在此大背景下，欧洲一些央行才认为“黄金无用”，开始出售黄金，压低

金价，致使金价出现了19年的下跌走势。

本文搜集了1991年11月13日到2009年11月25日每周的国际金价来研究黄金价格的变动（数据来自http://fx.sauder.ubc.ca/）。下面是这段时期金价变动的具体分析：

1944年的布雷顿森林体系确定了美元本位的世界货币体系：会员国货币与美元挂钩，美元与黄金挂钩，35美元兑1盎司黄金，各国可以用35美元/盎司的价格向美国购买黄金。在第二次世界大战后，为了援助欧洲各国重建，美元被源源不断的输入欧洲，1971年8月15日，尼克松政府宣布美国放弃美元与黄金之间的固定比价关系后，世界进入法币时代，随之而来的是全球性的通货膨胀，从1971年每盎司黄金35美元到1980年每盎司黄金850美元，黄金价格上涨了24倍！1979年沃尔克出任美联储主席，他坚持打击“世界范围内的通货膨胀”，他提高贷款利率，让美元借贷变得昂贵无比。同年5月，撒切尔夫人当选英国首相，她上任仅一个月就决定把基准利率在12个星期之内从12％提高到17％。在如此短的时间之内把借贷成本猛然提高42％。在他们共同的努力下世界通货膨胀终于被遏制住，美国的通货膨胀率由1980年的13.58下降到1986年的1.91。黄金价格也开始节节下跌。在这样的情况下，欧洲一些央行开始认为“黄金无用”，大量抛售黄金，压低金价，此后很长时间里黄金价格呈现下跌走势。直到1994年金价才开始处于平稳，1994年到1996年间，金价没有太大的波动。

1997年3月5日，瑞士政府宣布将在未来10年内出售840吨黄金储备。5月份德国银行又传出消息，中央银行要抛售黄金。7月份澳大利亚中央银行宣布，以抛售167吨黄金。7月7日纽约市场金价跌至314.1美元，11月跌破300美元，12月7日创下12年以来的最低点282.35美元每盎司。和平的主流趋势对经济生活中发挥着作用。

1999年10月，金价触及两年高点338美元.因欧洲15家央行达成协议,限制出售黄金.黄金市场看涨人气开始增多。

2001年9月11日上午，美国纽约和华盛顿等地接连遭受恐怖袭击，位于纽约曼哈顿闹市南边的国际世贸大楼在恐怖袭击中化为废墟。世界对此深感震惊，国际金融市场在极度恐惧中大幅震荡。全球股市大跌，而具有避险功能的黄金备受追捧，市场上出现了抢购黄金的

热潮，金价大幅上升。同时，自2001年初至2003年6月，美联储共采取13次降息行动，将联邦基金利率从6.5％降到1％（这是1958年以来的最低点），并将这一利率水平维持了一年时间。这一极为宽松的货币政策为随后几年美元的大幅贬值，以及美国向全世界输送通货膨胀奠定了坚实的基础，致使2008年全世界有70多个国家的通胀率达到两位数，这也是这次金价上涨的原因。在种种事件共同作用下，从2001年开始国际金价开始了快速上涨。

2007年8月开始席卷美国、欧盟和日本等世界主要金融市场，美元受次贷危机危机影响大幅下跌，黄金的避险功能再次突显，金价一个更快得速度上涨。

从之前的分析可以看出，金本位的放弃，美元的贬值跟国际金价变动有着极其密切的关系。在美元预期贬值或者已经发生贬值的时候，作为具有避险功能的黄金就会受到欢迎，价格就会上升。当美元币值稳定，世界的通货膨胀不大时，持有美元是安全的，黄金的需求会下降。在经济波动加大的时期，预测金价变动，估计黄金收益率的波动情况，对投资于资产避险等方面都具有重要指导作用。

第一部分·确定性时间序列建模

一．趋势项拟合

从图形可以看出金价变动有一定的趋势性，在1996年之前金价变动相对较小，呈线性变动；96年之后金价有了较大的变动，大体近似一个抛物线2

y at bt c =++。对于数据分段拟合趋势项，对于1,2,t =…,942，在1996年2月21日所在周之前的数据用直线

01 (1,2,t t ββ+=y=?,224)拟合，

对之后的数据用2

(225,226,)y at bt c t =++=…,942

这样的抛物线去拟合。拟合结果如下：

直线部分：

2340.38+0.259t+ (2822) (306)

R 0.999996 DW=1.984186

μ=y=

曲线部分：

220.003124 2.768+879.13 (5462) (4543) (-3831)R 1.000000 DW=2.086184

t t ?-?=y= 拟合结果具体数值见附件。图形如下：

用原数据减去趋势项，得到剔除了趋势项后的序列，记为{yT }t ，图形如下：

二． “季节”调整

将一年视为有52个周，将各年中同一周列出，求其平均值，视为“季节项”，记为{y_S }t 。将剔除了趋势项和季节项的序列记为{yTS }t 。对原数据做季节调整，即用原数据减去季节性，结果记为{ysa }t 。数据见附件，图形如下：

季节项{y_S

从图中看出金价在年底会走高，这一结果符合现实情况。

剔除趋势项与季节项的序列{yTS }t

季节调整后的序列{ysa}

三．确定性模型预测

再进行趋势预测，预测出下期的不含季节项的值，然后对剔除了趋势项的序列{ysa}

添加季节项，得到预测值。

首先对“季节”调整后的数据{ysa}

再进行趋势预测，仍然像之前对1996年2月21

所在周之前的数据用直线拟合，之后的用抛物线拟合，拟合结果如下：

直线趋势：

2ysa=339.240.268 (7021) (499)R 0.999997 DW=2.24

t μ+?+=

抛物线部分：

220.003121-2.764+877.8+ (2556) (-1993) (2448)R 0.999996 DW=2.189

t t μ??=ysa=

预测结果：

29430.003121943-2.764943+877.8-4.21521101.653y =??=

预测结果显示2009年11月28日所在周平均进价为1101.653美元/盎司。

预测误差^

1111195.951101.653

==7.885% 1195.95

t t t y y y η+++--=

第二部分·平稳序列建模—ARMA 模型

对金价数据进行差分，记为dly ，{dly t }为每盎司黄金价格变动序列。

一．单位根检验

使用不含趋势项、不含均值项的ADF检验对{dly t}平稳性进行检验，结果如下：

Null Hypothesis: Y has a unit root

Exogenous: None

Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=21)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -20.80200 0.0000

Test critical values: 1% level -2.567427

5% level -1.941161

10% level -1.616472

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: D(Y)

Method: Least Squares

Date: 12/09/09 Time: 19:45

Sample (adjusted): 12/04/1991 11/25/2009

Included observations: 939 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

Y(-1) -0.856741 0.041186 -20.80200 0.0000

D(Y(-1)) 0.090802 0.032773 2.770639 0.0057

R-squared 0.394840 Mean dependent var 0.032503

Adjusted R-squared 0.394194 S.D. dependent var 14.13205

S.E. of regression 10.99947 Akaike info criterion 7.635699

Sum squared resid 113366.1 Schwarz criterion 7.646018

Log likelihood -3582.961 Hannan-Quinn criter. 7.639633

Durbin-Watson stat 1.982410

因为DF=-20.80200>-2.567427，所以拒绝零假设，y t序列是平稳的。可以建立ARMA模型。二．模型识别

做{y t}序列的相关图跟偏相关图，以确定模型形式与阶数，图形如下：

从图中看出，可以对{y t}序列建立ARMA（2，2）模型。

三．模型估计

对{dly t}建立ARMA（2，2）模型，结果估计如下：

Dependent Variable: D(LOG(Y))

Method: Least Squares

Date: 12/13/09 Time: 13:06

Sample (adjusted): 12/04/1991 11/25/2009

Included observations: 939 after adjustments

Convergence achieved after 18 iterations

MA Backcast: 11/20/1991 11/27/1991

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

AR(1) -1.189328 0.114099 -10.42361 0.0000

AR(2) -0.287738 0.103082 -2.791363 0.0054

MA(1) 1.447619 0.102980 14.05729 0.0000

MA(2) 0.534238 0.090848 5.880573 0.0000

R-squared 0.064050 Mean dependent var 0.001236 Adjusted R-squared 0.061047 S.D. dependent var 0.018515 S.E. of regression 0.017941 Akaike info criterion -5.199214 Sum squared resid 0.300955 Schwarz criterion -5.178576 Log likelihood 2445.031 Hannan-Quinn criter. -5.191347 Durbin-Watson stat 1.997129

Inverted AR Roots -.34 -.85

Inverted MA Roots

-.72-.10i

-.72+.10i

12122 -1.189dl -0.288dly 1.447619 0.534238 se 0.1140.1030.1030.091t -10.42-2.7914.06 5.88R 0.064050

t t t t t t dly y μμμ----=+++=（）（）（）（）（）（）（）（）

下图显示特征方程根的倒数，均在单位圆之内。

对模型进行Q 检验，结果如下：

结果显示：2

(20)202230.934>(0.05)26.29623Q χ--==，残差存在序列相关，模型设定不合适。

四.模型重新设定及估计

经过尝试决定建立不含常数项的如下的AR （5）模型：

112255t t t t t dly dly dly dly ???μ---=+++

模型估计结果如下：

Dependent Variable: DLY Method: Least Squares Date: 12/13/09 Time: 13:27

Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009 Included observations: 936 after adjustments Convergence achieved after 3 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) 0.245779 0.032380 7.590345 0.0000 AR(2) -0.108327 0.032410 -3.342440 0.0009 AR(5)

-0.103358

0.031692

-3.261307 0.0011

R-squared 0.067610 Mean dependent var 0.001267 Adjusted R-squared 0.065612 S.D. dependent var 0.018531 S.E. of regression 0.017913 Akaike info criterion -5.203436 Sum squared resid 0.299360 Schwarz criterion -5.187918 Log likelihood 2438.208 Hannan-Quinn criter. -5.197519

Durbin-Watson stat 1.989828

Inverted AR Roots

.54-.39i .54+.39i

-.13+.63i

-.13-.63i

-.57

12520.2460.1080.103 (0.0323) (0.0324) (0.0317) t (7.59) ( 3.34) ( 3.26)0.06761

t t t t t dly dly dly dly se R μ---=--+--=

下图显示特征方程根的倒数。均在单位圆之内。

模型的Q 检验：

(20)20324.716<(0.05)Q χ-=，通过Q 检验。

五.预测

根据之前建立的模型估计原始数据下一周的金价：

114exp{ln()0.2460.1080.103}1179.26()

t t t t t y y dly dly dly +--=+--=美元/盎司预测误差：

1111195.951179.26==1.396% 1195.95

t t t y y y η+++--=

第三部分·波动率模型

一．ARCH 模型的建立

对收益率序列之前模型的残差项作图如下：

图1

图2

图1中DL Y为收益率序列的线图，DL YE为AR（5）模型残差项的图，DL YABSE为残差项绝对值序列的图，DL YE2为残差项平方序列的图，残差序列表现出明显的集群现象；图2为残差的直方图，右边给出残差序列的风度为8.892339远大于3，残差序列表现出高峰厚尾。由以上两图可以看出模型存在自回归条件异方差。

下面用LM检验考察模型是否存在自回归条件异方差，结果如下：

Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic 29.21301 Prob. F(1,934) 0.0000

Obs*R-squared 28.38767 Prob. Chi-Square(1) 0.0000

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2

Method: Least Squares

Date: 12/13/09 Time: 14:31

Sample: 12/25/1991 11/25/2009

Included observations: 936

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.000278 3.01E-05 9.250105 0.0000

RESID^2(-1) 0.140408 0.025978 5.404906 0.0000

R-squared 0.030329 Mean dependent var 0.000320

Adjusted R-squared 0.029291 S.D. dependent var 0.000902

S.E. of regression 0.000889 Akaike info criterion -11.21189

Sum squared resid 0.000737 Schwarz criterion -11.20155

Log likelihood 5249.165 Hannan-Quinn criter. -11.20795

F-statistic 29.21301 Durbin-Watson stat 1.868045

Prob(F-statistic) 0.000000

检验结果表明残差项存在自回归条件异方差，应该建立ARCH模型，经过尝试应该建立ARCH（5），模型估计结果如下：

Dependent Variable: DLY

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Date: 12/13/09 Time: 15:38

Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009

Included observations: 936 after adjustments

Convergence achieved after 26 iterations

Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*RESID(-2)^2 + C(7)*RESID(-3)^2

+ C(8)*RESID(-4)^2 + C(9)*RESID(-5)^2

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(1) 0.230623 0.036395 6.336585 0.0000

AR(2) -0.094209 0.032845 -2.868289 0.0041

AR(5) -0.102959 0.035502 -2.900086 0.0037

Variance Equation

C 7.65E-05 7.53E-06 10.15180 0.0000 RESID(-1)^2 0.181265 0.033968 5.336370 0.0000 RESID(-2)^2 0.087608 0.035856 2.443337 0.0146 RESID(-3)^2 0.078051 0.032018 2.437731 0.0148 RESID(-4)^2 0.219213 0.040736 5.381324 0.0000 RESID(-5)^2 0.325845

0.039988

8.148504

0.0000

R-squared 0.067275 Mean dependent var 0.001267 Adjusted R-squared 0.065276 S.D. dependent var 0.018531 S.E. of regression 0.017916 Akaike info criterion -5.454912 Sum squared resid 0.299468 Schwarz criterion -5.408358 Log likelihood 2561.899 Hannan-Quinn criter. -5.437162

Durbin-Watson stat 1.960768

Inverted AR Roots

.54-.39i .54+.39i

-.14+.62i

-.14-.62i

-.57

均值方程：

1252150.230.0940.103 (6.34) (-2.87) (-2.90)R 0.067275 DW=1.96 Q 9.40

t t t t t dly dly dly dly μ---=--+==

方差方程：

2522222

t-1t-2t-3t-4t-5

7.65100.1810.0880.0780.2190.326 (10.15) (5.336) (2.443) (2.438) (5.318) (8.149)

t σμμμμμ-=?+++++

模型检验：

从残差Q 检验结果215153Q 9.40(0.5)χ-=<看出残差项是一个白噪声

再用LM 检验残差是否仍具有条件异方差，检验结果如下：

Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic

0.046636 Prob. F(1,934) 0.8291 Obs*R-squared

0.046733 Prob. Chi-Square(1)

0.8288

Test Equation:

Dependent Variable: WGT_RESID^2

Method: Least Squares Date: 12/14/09 Time: 23:49

Sample: 12/25/1991 11/25/2009 Included observations: 936

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C

1.007066 0.086772 11.60589 0.0000 WGT_RESID^2(-1) -0.007066

0.032718

-0.215954

0.8291

R-squared 0.000050 Mean dependent var 1.000013 Adjusted R-squared -0.001021 S.D. dependent var 2.458228 S.E. of regression 2.459482 Akaike info criterion 4.639913 Sum squared resid 5649.813 Schwarz criterion 4.650258 Log likelihood -2169.479 Hannan-Quinn criter. 4.643857 F-statistic 0.046636 Durbin-Watson stat 2.000584 Prob(F-statistic)

0.829071

结果显示残差项不存在条件异方差

以上检验说明模型设定与拟合均符合要求，模型建立是成功的。

无条件方差：

47.65107.061010.1810.08760.0780.21920.3258

σ--?==?-----

二．GARCH 模型的建立

由于方差方程滞后项较多，且ARCH 项系数和比较大，应尝试建立GARCH 模型，经过尝试，建立GARCH （2，1），模型参数估计结果如下：

Dependent Variable: DLY

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 12/20/09 Time: 18:11

Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009 Included observations: 936 after adjustments Convergence achieved after 48 iterations

Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*GARCH(-1) + C(7)*GARCH(-2)

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. AR(1) 0.240528 0.042804 5.619226 0.0000 AR(2) -0.094485 0.036891 -2.561192 0.0104 AR(5) -0.126143

0.034910

-3.613434 0.0003 Variance Equation

C 8.10E-06 2.00E-06 4.051684 0.0001 RESID(-1)^2 0.192673 0.018677 10.31594 0.0000 GARCH(-1) 0.268182 0.115184 2.328294 0.0199 GARCH(-2)

0.535474

0.116767

4.585843

0.0000

R-squared 0.066911 Mean dependent var 0.001267 Adjusted R-squared 0.064911 S.D. dependent var 0.018531 S.E. of regression 0.017919 Akaike info criterion -5.478170 Sum squared resid 0.299585 Schwarz criterion -5.441962 Log likelihood 2570.784 Hannan-Quinn criter. -5.464365

Durbin-Watson stat 1.980439

Inverted AR Roots

.56-.41i .56+.41i

-.14-.65i

-.14+.65i

-.60

均值方程：

1252150.2410.09450.126 (5.62) (-2.56) (-3.61)R 0.066911 DW=1.98 Q 12.24

t t t t t dly dly dly dly μ---=--+==

方差方程：

262

22t-112

8.1100.1930.2680.535 (4.05) (10.32) (2.33) (4.59)

t t t σμσσ---=?++-

计算无条件方差：

28.110

0.002025

10.1930.2680.535σ-?==---

模型的检验：

从均值方程的Q 检验结果：2

15153Q 12.24(0.5)χ-=<看出，残差项为白噪声，符合要

求。再做LM 检验残差是否存在条件异方差，检验结果如下：

Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic

0.049369 Prob. F(1,934) 0.8242 Obs*R-squared

0.049472 Prob. Chi-Square(1)

0.8240

Test Equation:

Dependent Variable: WGT_RESID^2

Method: Least Squares

Date: 12/20/09 Time: 18:21

Sample: 12/25/1991 11/25/2009

Included observations: 936

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.991894 0.103099 9.620753 0.0000

WGT_RESID^2(-1) 0.007270 0.032718 0.222191 0.8242

R-squared 0.000053 Mean dependent var 0.999149

Adjusted R-squared -0.001018 S.D. dependent var 2.990354

S.E. of regression 2.991876 Akaike info criterion 5.031813

Sum squared resid 8360.533 Schwarz criterion 5.042158

Log likelihood -2352.888 Hannan-Quinn criter. 5.035757

F-statistic 0.049369 Durbin-Watson stat 1.999827

Prob(F-statistic) 0.824214

检验结果表明残差项不具有条件异方差，方程建立是成功的。

三．GARCH模型的扩展

1. 门限GARCH （TGARCH）

黄金市场与股票市场有着相似性，利空消息跟利好消息对条件方差的影响是不一样的。当市场出现利好消息时，金价上升较大，人们预期美元贬值在加快，于是为了避险会大量购入黄金，导致金价上升更快。而在利坏消息出现时，由于黄金保值能力较好，人们不会急于大量抛售黄金，金价波动不会特别剧烈。从金价走势图中也能看出，在金价上涨时，上涨速度相当快，而在下降时并不是很快，图形较平缓。从定量角度，建立如下TGARCH模型：

Dependent Variable: DLY

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Date: 12/15/09 Time: 10:50

Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009

Included observations: 936 after adjustments

Convergence achieved after 49 iterations

Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) +

C(7)*RESID(-2)^2*(RESID(-2)<0) + C(8)*GARCH(-1) + C(9)*GARCH(-2)

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

AR(1) 0.235710 0.038235 6.164781 0.0000

AR(2) -0.093245 0.038487 -2.422776 0.0154

AR(5) -0.110492 0.032042 -3.448284 0.0006

Variance Equation

C 8.73E-06 1.81E-06 4.816908 0.0000 RESID(-1)^2

0.328884 0.025275 13.01199 0.0000 RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) -0.363832 0.032894 -11.06073 0.0000 RESID(-2)^2*(RESID(-2)<0)

0.173489 0.045786 3.789112 0.0002 GARCH(-1) 0.259799 0.106939 2.429404 0.0151 GARCH(-2)

0.504521

0.100223

5.033970

0.0000

R-squared

0.067301 Mean dependent var 0.001267 Adjusted R-squared 0.065302 S.D. dependent var 0.018531 S.E. of regression 0.017915 Akaike info criterion -5.502938 Sum squared resid 0.299460 Schwarz criterion -5.456384 Log likelihood 2584.375 Hannan-Quinn criter. -5.485187

Durbin-Watson stat 1.971012

Inverted AR Roots

.55-.40i .55+.40i

-.14+.63i

-.14-.63i

-.58

均值方程：

1252150.2360.09320.125 z (6.16) (-2.42) (-3.45)R 0.067301 DW=1.97 Q 19.045

t t t t t dly dly dly dly μ---=--+==

方差方程：

26222

22t-1t-11t-2212

8.72100.32890.3640.17350.25980.5045 (4.82) (13.01) (-11.06) (3.79) (2.43) (5.03) t t t t t d d σμμμσσ-----=?+-++-

其中0 01 0 t t t d μμ≥?=?

做LM 检验，结果如下：

Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic

0.075381 Prob. F(1,934) 0.7837 Obs*R-squared 0.075536 Prob. Chi-Square(1)

0.7834

结果显示残差项不存在条件异方差。

模型中2

t-11t d μ-项的系数小于零，也反映了之前的分析。