初中数学竞赛中的分式问题
初中数学竞赛中的分式问题
分式是竞赛的热点之一，本文就近年来各地数学竞赛中与分式有关的问题作一简单的归纳。
一、有无意义及值为0等问题 例1 已知()()1
|x |1x 8x -+-的值为0，则x 的值为 A. 1± B. –1 C. 8 D. –1或8
解析：由分子为0，得8x =或1x -=；由分母不为0，得1x ±≠，故8x =。选C 。
例2 如果对于任何实数x ，分式
c
x 2x 12++-总有意义，则c 的取值范围是_________。 解析：要使分式总有意义，必须分母总不为0，由()c 11x c x 2x 22++--=++-，可知当0c 1<+时，总有()0c 11x 2
<++--，故1c -<。
二、化简问题
例3 化简：222222n m n m n m mn 21n m n m n m mn 211⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=（ ） A. ()2n m mn 4+ B. ()2n m mn 2+ C. 2 D. 0
解析：原式=1()()()()()22222222
222n m mn 4n m n m 1n m n m n m n m n m n m n m n m +=+--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⋅+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅++-，选A 。 评注：本题为选择题，利用特殊值法较为简便，例如可取2m =，1n =，代入原式和选择支进行检验，易知应选A 。
三、分式性质问题
例4 已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a >，则d
c d b a b A +-+=与0的大小关系是 A. 0A > B. 0A ≥ C. 0A < D. 0A ≤
解析：()()
d c b a ad bc A ++-=。 再考虑已知条件的利用，由>b a d
c 及a 、b 、c 、
d 均为正数，得bc ad >，因()()0d c b a >++，故0A <，选C 。
四、拆分问题
例5 已知()()()2
22x C 2x B 1x A 2x 1x 3x ++++-=+-+，其中A 、B 、C 为常数，则A=_____，B=______，C=______。
解析：把一个分式拆分为若干个分式的和，是分式常用的恒等变形。可以通过对x 取特
殊值进行求解。
x 分别取0，2，-1，代入原等式，得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧++-=-++=++-=-.C B 2A 2,16C 4B A 16
7,4C 2B A 43 解之，得94A =，95B =，3
7C -=。
五、分式方程问题
例6 解方程：
21
412x 7x 16x 5x 12x 3x 1x x 12222=++++++++++。 解析：若考虑换元法，显然无“元”可换，容易想到的是先把各分母因式分解，化为()()()()()()()2144x 3x 13x 2x 12x 1x 11x x 1=++++++++++。 利用拆分法，把原方程化为
21
44x 13x 13x 12x 12x 11x 11x 1x 1=+-+++-+++-+++-。 即21
44x 1x 1=+-。 ∴021x 4x 2=-+，即()()03x 7x =-+。
解之，得3x 1=，7x 2-=，经检验，3x 1=，7x 2-=都是原方程的解。
六、分式方程组问题
例7 关于x 、y 的方程组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+2by cx axy ,1cy bx axy （b 2c ,c 2b -≠≠）的解是________。 解析：两个方程中左边的分子相同，又都不为0，分别对它们取倒数，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+②①21ax b ay c ,1ax c ay b ①b ⨯+②c ⨯，消去x ，得2
c b 2ay c b 22+=+。 因为b 2c -≠，所以0c b 2≠+，故ac
ab 2c 2b 2y 2
2++=。 同理①-⨯c ②b ⨯，得ab
ac 2c 2b 2x 2
2-+=。
七、不定方程问题
例8 若x 、y 、z 为正整数，且z y x <<，a z
1y 1x 1=++，a 为整数，求x 、y 、z 的值。
解析：注意到x 、y 、z 均是正整数，则z
1y 1x 1++的值不可能很大（不会超过3），从而可先确定a 的值。
由x 、y 、z 为正整数，且z y x <<，可知1x ≥，2y ≥，3z ≥，从而z 1y 1x 1++6
1131211=++≤。 所以6
11a 0≤<。 又因为a 为整数，所以1a =，从而
1z 1y 1x 1=++。 显然≠x 1，否则0z 1y 1=+，不可能（因0y 1>，0z
1>）；x 也不能大于或等于3，否则，有3x ≥，3y >，3z >，13
13131z 1y 1x 1=++<++，矛盾，故x 只能等于2。 当2x =时，2
1z 1y 1=+，此时，y 不能大于或等于4，否则有4y ≥，4z >，2
14141z 1y 1=+<+，矛盾，故y 只能等于3。 当3y =时，
6
1z 1=，6z =。 故2x =，3y =，6z =。
第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)
第五讲 有条件的分式的化简与求值 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略． 解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧: 1．恰当引入参数； 2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入； 5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若 a d d c c b b a ===，则 d c b a d c b a +-+-+-的值是 ． (第12届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件． 在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能． 【例2】如果11=+ b a ，12=+ c b ，那么a c 2 +等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示． 【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式 y zx x yz z xy 21 2121++ +++的值． (2003年北京市竞赛题) 思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手． 【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足 c b a c b a ++= ++1 111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题) 思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确． 【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．
初中奥数讲义_分式方程(组)附答案
分式方程（组） 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根． 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等． 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一． 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程 6 4 534275--+ --=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如7 2 175-+ =--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路． 2．用换元法解分式方程 【例2】解方程 08 1318 218 1112 2 2 =--+ -++ -+x x x x x x ． 解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2 +2x —8=y ，原方程可化为 0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2 +2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解． 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如a a x x 1 1+=+结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+ 的分式方程的解是：a x =1，a x 12=．
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第四讲 分式运算的方法和技巧(含答案)
第四讲 分式运算的方法和技巧 趣题引路】 如何计算 1111223(1)n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯+？通分？行不通！注意1111111,,,12122323(1)n n =-=-⋅⋅⋅⨯⨯+ 11.1n n = -+这叫做裂项，因此原式111111(1)()()1223111 n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-= +++.从这里可以看出，分式的运算还有很多学问呢.本讲我们专门研究这一问题. 知识拓展】 分式的运算以分式的概念、分式的基本性质、运算法则为基础，其中分式的加减运算是难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算，通分一般有以下技巧： (1)等式中含有整式，其分母可看作1. (2)当分子的次数高于或等于分母次数时，可将其分离为整式与真分式之和. (3)先约分，后通分，可简化计算. (4)合理搭配，分组通分，化整为零 (5)拆项相消后通分. (6)分步通分，逐步计算 (7)换元通分法. 一、分步通分法 例1 计算424211 1111x x x x +++ +++- 解析 如一次性通分，最简公分母为1－x 8，可以预见计算量将非常大，注意到后两个分母：(1＋x )(1－x )＝1－x 2，因此采取各个“击破”法，后两个先通分. 解 原式＝422422 111x x x ++ ++- ＝444411x x + +- ＝ 881x - 点评:解题中既要看到局部特征，又要有全局考虑 二、裂项通分法
例2 (“五羊杯”竞赛题)计算： 222222()()()x yz y zx z xy x y z x yz x z x y zx x x y z xy +-++++--+++--- 解析 各分母相距甚远，似乎无从下手.考虑将每一分式拆成几个分式之和，化繁为简. 解 原式＝ ()()()()()() ()()()()()()x x z z x y y y x x y z z z y y z x x y x z y z y x z x z y -+++-++--++ +-++-+ ＝( )()()0x z y x z y x y x z y z y x z x z y ++-+-=+-++-+ 点评: 裂项需要很强的变形技巧：因式分解的熟练，添项减项的意识.数学技巧需要积累！ 三、先约分再通分 例3 (江西竞赛题)计算： 3323232 2112(1) .2212211x x x x x x x x x x -+++-+++-+-- 解析 注意到第一个分母可以分解成(x 3＋x 2)＋(x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)，与分子有公因式，可以约分，这样就轻松了. 原式＝ 222222(1)(1)(1)(1)2(1)112(1) 0.(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++-++-+++-=+-=+++--++-+-+- 四、换元通分法 例4 化简 222 ()()().()()()()()() y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ 解析 三个分母有关联，均与x 、y 、z 的差有关，若设法将分母换成单项式，计算量就小多了，换元试一试. 解设x －y ＝a ，y －z ＝b ，z －x ＝c ，则a ＋b ＋c ＝0. 所以 222 ()()().()()()()()() y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ ＝ 2223333333 [()3()]33b c a a b c a b ab a b c c abc c ac ab bc abc abc abc +++-++-++++====------- 点评: 根据分式的特点选取道当的方法，往往事半功倍. 五、部分分式法
八年级数学 精选竞赛习题 12 分式方程及其应用 专项练习(含答案)
12、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 例2. 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难， 值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
方程两边通分，得 例3. 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 例4. 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。 5、中考题解： 例1m的值是（） A. B. D.
D。 例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。 解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。 6、题型展示： 例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。 解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
初中数学竞赛分式
初中数学竞赛分式 初中数学竞赛分式 一、引言 在数学竞赛中，分式是一个非常重要的知识点。分式是数学中一类重要的代数式，它的主要作用是用来表示两个数或两个式之间的关系。在解决数学竞赛中的问题时，理解和运用分式可以帮助学生找到解决问题的关键。本文将通过一些具体的例子，阐述如何利用分式来解决数学竞赛中的问题。 二、分式的概念和性质 首先，我们需要了解什么是分式。分式是一种代数式，由分子和分母组成，分子和分母都是整式。在分式中，分母相当于一个除数，因此分母不能为零，否则分式没有意义。此外，分式的值可以是一个具体的数，也可以是一个式子。 分式具有一些重要的性质，这些性质在解决数学竞赛问题时非常重要。首先，我们可以对分式进行约分，使得它的分子和分母没有公共因数。其次，分式在一定条件下可以化简，这可以帮助我们找到解决问题的关键。 三、利用分式解决数学竞赛问题
在数学竞赛中，许多问题都需要用到分式的概念和性质。下面我们通过几个具体的例子来说明如何利用分式来解决数学竞赛问题。 例1：已知两个正数的和为10，求这两个数的倒数之和的最小值。分析：这个问题需要用到分式的概念和性质。我们可以设这两个正数为a和b，它们的倒数之和为x，然后列出分式并化简。 解：设这两个正数为a和b，则它们的倒数之和为： x = 1/a + 1/b 根据题意，可列出方程： a + b = 10 将方程两边同时乘ab，得到： a^2 + b^2 = 10ab 将上式两边同时除以ab，得到： (1/a)^2 + (1/b)^2 = 10 将上式两边同时加2，得到： (1/a + 1/b)^2 = 12 开方后得到：
初中数学竞赛：分式方程及其应用
初中数学竞赛：分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 222211121232 32 --=+---=--∴==()()()， 即， 经检验：是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得
1671236723836 92 ()()()()()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =- 92。 例3. 解方程：121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解：由原方程得：3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：62222222022 2 ()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202 y y y y y y +-+-++-=()() 方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022 ()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。216 8 8y y y =∴==
八年级数学竞赛例题分式的化简与求值专题讲解
八年级数学竞赛例题分式的化简与求值专题讲解 专题07分式的化简与求值 阅读与思考 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略． 解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧: 1．恰当引入参数； 2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入； 5．利用比例性质等． 例题与求解 【例l】已知，则代数式的值为． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：目前不能求出的值，但可以求出，需要对所求代数式变形含“”． 【例2】已知一列数且，，
，则为（） A．648B．832C．1168D．1944 （五城市联赛试题） 解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路． 【例3】． 求． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程． 【例4】已知求的值． （上海市竞赛试题） 解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式． 【例5】不等于0的三个正整数满足，求证：中至少有两个互为相反数．解题思路：中至少有两个互为相反数，即要证明． （北京市竞赛试题） 【例6】已知为正整数，满足如下两个条件：① ②．求证：以为三边长可以构成一个直角三角形． 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答． （全国初中数学联赛试题）
初中数学竞赛中的分式问题
初中数学竞赛中的分式问题 分式是竞赛的热点之一，本文就近年来各地数学竞赛中与分式有关的问题作一简单的归纳。 一、有无意义及值为0等问题 例1 已知()()1 |x |1x 8x -+-的值为0，则x 的值为 A. 1± B. –1 C. 8 D. –1或8 解析：由分子为0，得8x =或1x -=；由分母不为0，得1x ±≠，故8x =。选C 。 例2 如果对于任何实数x ，分式 c x 2x 12++-总有意义，则c 的取值范围是_________。 解析：要使分式总有意义，必须分母总不为0，由()c 11x c x 2x 22++--=++-，可知当0c 1<+时，总有()0c 11x 2 <++--，故1c -<。 二、化简问题 例3 化简：222222n m n m n m mn 21n m n m n m mn 211⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=（ ） A. ()2n m mn 4+ B. ()2n m mn 2+ C. 2 D. 0 解析：原式=1()()()()()22222222 222n m mn 4n m n m 1n m n m n m n m n m n m n m n m +=+--=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+⋅+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅++-，选A 。 评注：本题为选择题，利用特殊值法较为简便，例如可取2m =，1n =，代入原式和选择支进行检验，易知应选A 。 三、分式性质问题 例4 已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a >，则d c d b a b A +-+=与0的大小关系是 A. 0A > B. 0A ≥ C. 0A < D. 0A ≤ 解析：()() d c b a ad bc A ++-=。 再考虑已知条件的利用，由>b a d c 及a 、b 、c 、 d 均为正数，得bc ad >，因()()0d c b a >++，故0A <，选C 。 四、拆分问题 例5 已知()()()2 22x C 2x B 1x A 2x 1x 3x ++++-=+-+，其中A 、B 、C 为常数，则A=_____，B=______，C=______。 解析：把一个分式拆分为若干个分式的和，是分式常用的恒等变形。可以通过对x 取特
初中数学竞赛分式(含答案)
初中数学竞赛分式(含答案) 分式常常因为其复杂的结构使人望而生畏，成为考试中的难点。要解决有关分式的问题，就必须准确掌握分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算等知识。灵活的运用相关的方法是解决这类问题的唯一途径。例如，通过分析来例证，则可以使分式悄然变成考试中的亮点。 一般地，有A，B表示两个整式，则式子①B中含有字母，②B≠0.B有两点要求：①含有字母，②不为0.本讲主要讲述分 式的变形和求值的技巧。 例1已知a,b为整数，且满足（）（）。求a+b的值。先 把已知等式的左边化简，然后考虑求出a、b的值。得出 b2+a2b-aa2b2ab=4，而a,b为整数且不相等，故3b-2,3a-2只可 能取值1，4或-1，-4.不妨设b 说明当已知条件以连比的形式出现时，可引进一个参数来表示这个连比，从而将条件分式转化为整式。 例3将分式化为部分分式。由于，和的分式的分子为。因为，则其中每个部分分式的分子应为常数。可利用待定系数法，设原式=，比较系数，得A=1，B=2，所以化为部分分式。 例4化简。先研究通项，解设，则比较系数,得A=1,B=-1，所以原式=……+的分解变形情况。(k=1,2,…1999).则。待定系 数法是化部分分式的常用方法。这种变形在有关分式计算等方面运用较多。 例5已知，求。由，得。的数值求出。的方法在运算中经常用到，希望同学们能熟练地掌握它们之间的关系。 例6求证无论a为什么整数，分式是不可约的。可先证明 公式，即。因为无论a为什么整数，有是不可约的。不可约。 说明对于某些非零代数式来说，从取倒数的角度来分析，有时可以揭示出一些内在的特征，从而找到解题的突破口。例如，对于求能被n+10整除的正整数n的最大值的问题，我们 8、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00， C. a b ≥>00， D. a b ≥>00，，或a b ≤<00， 分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由 a b ≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。 例2. 当x 为何值时，分式 ||x x -+5 5 的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。 解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。 ∴当x =5时，分式5 5 ||+-x x 的值为零。 例3. 已知113a b -=，求 2322a ab b a a b b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 9 5 D. 4 分析：Θ11311 3a b b a -=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 2322223 1122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。 初中数学竞赛：分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1 化简分式： 分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2 求分式 当a=2时的值． 分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)， 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项． 例3 若abc=1，求 分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零． 解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4 化简分式： 分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简． 说明 互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧． 例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)： 似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成 (a-b)+(a-c)，因此有下面的解法． 解 说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求 分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解． 解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为 u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0． 由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有 说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式： 有关分式的竞赛题 1、（1997希望杯）已知≠x 0，化简 x x x 31 211+ +所得结果是 2、（1996希望杯）化简⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ -y x xy y x y x xy y x 44的结果是（ ） A 、22x y - B 、2 2y x - C 、2 2 4y x - D 、2 2 4y x - 3、（1996希望杯）当2 2 222 5816627123⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛ +-=a a a a a a a 时，代数式的值是 4、（1998希望杯）若a pm b am pm ab a a b m ---=22，则化简应得到 5、（2000希望杯）若a 为整数，且分式 ()()()() 21 18 12624422332 -+-+--+--+-a a a a a a a a a a 的值是正整数，则a 的值等于 或等于 6、（1996希望杯）已知1 111+++ +++++=c ac c b b c b a ab a abc ，则的值是 7、（1997天津）已知n n n n n n c b a c b a n c b a c b a ++=++++=++1 1111111为奇数时，，求证： 8、（第13届北京迎春杯）已知b a 、为整数。如果关于x 的一元一次方程()[]与21222-=---a x b x ()()[]327312+--=+-x b x b 的解相同，那么=ab 9、（第11届北京迎春杯）一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达，如果要提前2小时到达，那么车速应比原来车速提高 %。 10、（1997五羊杯）甲、乙、丙三人做某工作。甲独作所需时间为乙、丙合作所需时间的3倍，乙独作所需时间为甲、丙合作所需时间的2倍，则丙独作所需时间为甲、乙合作所需时间的 。， A 、1.4 B 、1.5 C 、2.5 D 、1.8 姓名：_____________ 班级：__________ 等级：_________ 石堆镇石堆学校小学三年级单元测试题 《分式》竞赛专题训练 1 分式的概念 分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零. 经典例题 (1)当x 为何值时，分式22211x x --有意义? (2)当x 为何值时，分式22211x x --的值为零? 解题策略 (1) 要使分式22211x x --有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x -，它们都不为零，即0x ≠且110x -≠，于是当0x ≠且1x ≠时，分式22211x x --有意义， (2) 要使分式22211x x --的值为零，应有2220x -=且110x -≠，即1x =±且1x ≠，于是当1x =-时，分式22211x x --的值为零 画龙点睛 1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零. 2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可. 举一反三 1. (1)要使分式 24 x x -有意义的x 的取值范围是( ) (A)2x = (B) 2x ≠ ( C)2x =- (D)2x ≠- (2)若分式的的值为零，则x 的值为( ) (A)3 (B)3或3- (C) 3- (D)0 2. (1)当x 时，分式23 (1)16x x -+-的值为零; (2) 当x 时，分式 2101 x x +≥- 3. 已知当2x =-时，分式x b x a -+无意义;当4x =时，分式的值x b x a -+为零，求a b +. 融会贯通 4. 0≤，求a 值的范围. 2 分式的基本性质 分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用. 经典例题 若2731 x x x =-+，求2421x x x ++的值 解题策略 因为 2731 x x x =-+，所以0x ≠ 将等式2731x x x =-+的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x =-+，所以有 1227x x += 因此24222221114911221435 1()1()17 x x x x x x x ====+++++-- 画龙点睛 对于含有1x x +形式的分式，要注意以下的恒等变形: 22211()2x x x x +=++ 22211()2x x x x -=+- 2211()()4x x x x +--= 举一反三 1. (1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数; 八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及 运算附答案 第四讲：分式的概念、性质及运算 分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容。 从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”。在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理。 分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具。分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1.化整为零，分组通分； 2.步步为营，分步通分； 3.减轻负担，先约分再通分； 4.裂项相消后通分等。 例题求解 例1】要使分式 $\frac{1}{1-x}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是？ 思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密。 注：在新事物面前，人们往往惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比。 研究分式时，应注意： 1) 分式与分数的概念、性质、运算的类比； 2) 整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形； 3) 分式需要讨论分母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在。 例2】已知 $\frac{3x+4}{x^2-x-2}=\frac{A}{x- 2}+\frac{B}{x+1}$，其中 $A$、$B$ 为常数，则 $4A-B$ 的值为（）。 思路点拨：对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出$A$、$B$ 的值。 例3】计算下列各式： 1) $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a^2+b^2}$； 2) $\frac{x^2+yz}{x+(y-z)x-yz^2}+\frac{y^2- zx}{y+(z+x)y+zx^2}+\frac{z^2+xy}{z-(x-y)z-xy^2}$； 3) $\frac{x^3-1}{32x+2x^2+2x+1x-2x+2x-1x-1}$； 4) $\frac{(y-x)(z-x)(z-y)}{(x-y)(x-z)(y- z)}+\frac{x^3+1}{3^2}-\frac{2(x^2+1)}{2}$。 专题08 分式方程 阅读与思考 分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等． 在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件． 例题与求解 【例1】 若关于x 的方程 22 x a x +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______． （黄冈市竞赛试题） 解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约． 【例2】 已知()22221111 x x A B C x x x x x +-=++ --，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值． （“五羊杯”竞赛试题） 解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式． 【例3】解下列方程： （1） 5968419221 19968 x x x x x x x x ----+=+ ----； （“五羊杯”竞赛试题） （2）222 23411 2283912 x x x x x x x x ++-+=+-+； （河南省竞赛试题） （3）2 x ＋2 1x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ ＝3． （加拿大数学奥林匹克竞赛试题） 解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解． 【例4】（1）方程1827 2938 x x x x x x x x +++++=+ ++++的解是___________． （江苏省竞赛试题） （2）方程 222 1111 32567124 x x x x x x x ++=+++++++的解是________． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口． 【例5】若关于x 的方程 221 1k x kx x x x x +-= --只有一个解，试求k 的值与方程的解． （江苏省竞赛试题） 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题． 【例6】求方程 1115 6 x y z ++=的正整数解． （“希望杯”竞赛试题） 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则 111 x y z ≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果． 能力训练 A 级 1．若关于x 的方程 1 101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． （重庆市中考试题） 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时， 如果设21 x x -＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． （上海市中考试题） 3．方程2 211340x x x x ⎛ ⎫+ -++= ⎪⎝ ⎭的解为__________． （天津市中考试题） 4．两个关于x 的方程2 20x x --=与 13 2x x a = -+有一个解相同，则a ＝_______． （呼和浩特市中考试题） 专题40 全国初中数学竞赛分类汇编卷（七）分式综合（简单） 1．将分式1 2 a−b a+0.5b 中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是（ ） A ． a−2b 2a+b B ． a−b 2a+b C ． 2a−2b 2a+b D ． a−b a+b 2．如果对于任何实数，分式7−x 2+3x+m 总有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞−94 B ．m ＜−94 C ．m ＞0 D ．非以上答案 3．已知式子(x−8)(x+1)|x|−1的值为0，则x 的值为（ ） A ．±1 B ．﹣1 C ．8 D ．﹣1或8 4．当m =−16 时，代数式21−5m m 2−9 −m m 2−9 ÷m m+3 −m−3m+3 的值是（ ） A ．﹣1 B ．−1 2 C ．1 2 D ．1 5．设a ，b ，c 满足abc ≠0，a +b ＝c ，则b 2+c 2−a 2 2bc +a 2+b 2−c 2 2ab 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．﹣2 6．一件工程，甲乙合作2天可以完工，乙丙合作2天，可以完成全工程的5 9；丙甲合作2 天后，剩余工程由丙单独去做1天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需要的天数是（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 7．已知x 2 ﹣5x ﹣2012＝0，则代数式 (x−2)3−(x−1)2+1 x−2 的值是（ ） A ．2013 B ．2015 C ．2016 D ．2017 8．已知实数p 、q 满足条件：1 p −1q = 1p+q ，则代数式q p −p q 的值为 ． 9．已知1 x − 1y =2，则分式 3x+2xy−3y x−2xy−y 的值等于 ． 10．化简： 2x x+1 − 2x+4x 2−1 ÷ x+2x 2−2x+1 ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的 数代入求值． 11．已知关于x 的分式方程 4x+1 + 3x−1 = k x 2−1 （1）若方程有增根，求k 的值； （2）若方程的解为负数，求k 的取值范围． 12．已知ab a+b = 1 15 ， bc b+c = 1 17 ， ca c+a = 116 ，求 abc ab+bc+ca 的值． 13．根据有理数的除法符号法则“两数相除，同号得正，异号得负”，求不等式2x+12−3|x| ＜0的 解集． 专题39 分式方程 一、解复杂分式方程 【典例】计算（1）x 2x+y −x +y ； （2） 1 x(x+1) +1(x+1)(x+2)+⋯ 1 (x+2005)(x+2006) ． 【解答】解：（1）x 2x+y −x +y ， = x 2x+y −x 2−y 2 x+y ， =y 2 x+y ； （2） 1x(x+1) + 1(x+1)(x+2) +⋯+ 1(x+2005)(x+2006) ， =1x −1x+1+1 x+1−1 x+2+⋯+1 x+2005−1 x+2006， =1 x −1 x+2006， =2006 x(x+2006)． 【巩固】实数x 与y 使得x +y ，x ﹣y ，xy ，x y 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这 样性质的数对（x ，y ）． 二、求分式方程的取值范围 【典例】若以x 为未知数的方程 1x−1 − a 2−x = 2(a+1) x 2−3x+2 无解，则a ＝ ． 【解答】解：去分母得：x ﹣2+a （x ﹣1）＝2（a +1） 解得：x =3a+4 a+1 当a +1＝0即a ＝﹣1时，方程无解． 根据题意得：3a+4a+1 =1时，解得a =−3 2 ； 当 3a+4a+1 =2时，解得：a ＝﹣2 故答案是﹣1或−3 2或﹣2． 【巩固】若关于x 的方程k(x−1)x + 2k+1x 2+x =1+ 2k x+1 有且只有一个实数根，求实数k 的所有可能值． 三、分式方程的应用 【典例】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？ （2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？ 【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x 元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x 元/本， 依题意： 3600(1+20%)x −20= 2700 x ， 解之得：x ＝15． 经检验，x ＝15是所列方程的根，且符合题意， 所以（1+20%）x ＝18． 答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本； （2）设“科普类”书购a 本，则“文学类”书购（100﹣a ）本， 依题意：18a +15（100﹣a ）≤1600， 解之得：a ≤100 3． 因为a 是正整数， 所以a 最大值＝33． 答：最多可购“科普类”图书33本． 【巩固】 某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务． （1）原来每天生产健身器械多少台？ （2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500 第二十七讲分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似,例如,分式的分母的值不能是零,即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样,分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式,从而对分式进行求值．除此之外,还要根据分式的具体特征灵活变形,以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1 化简分式： 分析直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2 求分式 当a=2时的值． 分析与解先化简再求值．直接通分较复杂,注意到平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b), 可将分式分步通分,每一步只通分左边两项． 例3 若abc=1,求 分析本题可将分式通分后,再进行化简求值,但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1 因为abc=1,所以a,b,c都不为零． 解法2 因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0． 例4 化简分式： 分析与解三个分式一齐通分运算量大,可先将每个分式的分母分解因式,然后再化简． 说明 互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫“拆项相消”法,它是分式化简中常用的技巧． 例5 化简计算(式中a,b,c两两不相等)： 似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c),而分子又恰好凑成 (a-b)+(a-c),因此有下面的解法． 解 说明本例也是采取“拆项相消”法,所不同的是利用 例6 已知：x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求 分析本题字母多,分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0,那么题目只与x-a,y-a,z-a有关,为简化计算,可用换元法求解．8年级数学(人教版)培优竞赛训练—8、分式的概念、分式的基本性质
初中数学竞赛：分式的化简与求值
最新【初中数学】有关分式的竞赛题
初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)
八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案
八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案
专题40 初中数学竞赛分类汇编(八)分式综合(简单) 初中数学学科能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题39 分式方程 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
全国初中数学竞赛辅导 第二十七讲《分式的化简与求值》 北师大版