2.4-二次函数的应用(第1课时)教学设计

第二章二次函数

《二次函数的应用（第1课时）》一.教学任务

教学目标

知识目标：

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．

能力目标：

1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,培养学生的分析判断能力．

2．通过运用二次函数的知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力．

情感态度与价值观：

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思,形成个人解决问题的风格．

3．进一步体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心,具有初步的创新精神和实践能力．

教学重点

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题．

教学难点

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大（小）面积问题．

三、教学过程分析

一、复习回顾

求下列二次函数的顶点坐标,并说明y 随x 的变化情况：【设计意图】：引导学生复习前面所学过的内容,由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值,因此和同学们一起复习二次函数最值的求法,以及二次函数的增减性,为本节课的学习做好准备.

二、探究应用

1、情境引入

(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？

【设计意图】：通过学生所熟悉的图形,引入新课,使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.

例1.如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB 为x 米,面积为S 平方米. (1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米,求围成花圃的最大面积 .

【设计意图】：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化,增大难度,同时

x x y x x y

1)2(14)1(2

+-=--=（配方法）

（公式法）

板书解题过程,让学生明确规范的书写过程.

2、变式探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD,其中AB 和AD 分别在两直角边上,AN=40m,AM=30m, (1).设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为2ym ,当x 取何值时,y 的最大值是多少?

变式探究二：在上一个问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其顶点A 和点D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.其它条件不变,那么矩形的最大面积是多少？

变式探究三：如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG ,使得EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少?

【设计意图】：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形

D A

E G

入手,由学生动手画出两种方法,和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型,并求其最值,同时通过两种情况的分析,训练学生的发散思维能力,关键是教会学生方法,也是这类问题的难点所在,即怎样设未知数,怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究,进而总结此类题型,得出解决问题的一般方法.

例2.在矩形ABCD 中,AB ＝6cm ,BC ＝12cm ,点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1cm /秒的速度移动,同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动.如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动,设运动时间为t 秒（0

（1）运动开始后第几秒时,△PBQ 的面积等于82cm ；

（2）设五边形APQCD 的面积为S 2cm ,写出S 与t 的函数关系式,t 为何值时S 最小？求出S 的最小值.

【设计意图】：将动点问题引入,使学生进一步增强二次函数的应用意识,提升思维能力.

三、归纳总结

“二次函数应用”的思路： 1.理解问题;

2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;

3.用数学的方式表示出它们之间的关系;

4.运用数学知识求解;

5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.

B C