直线和圆的方程知识及典型例题
直线和圆的方程知识及典型例
题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学基础知识与典型例题
直线和
圆的方
程知识
关系
直线的方程一、直线的倾斜角和斜率
1.直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角α的范围是0180
α<
≤.
2.直线的斜率:倾斜角不是90的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即
tan
kα
=.
注:①每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.
②当
90
=
α时,直线l垂直于x轴,它的斜率k不存在.
③过两点
111
(,)
P x y、
222
(,)
P x y
12
()
x x
≠的直线斜率公式21
21
tan
y y
k
x x
α
-
==
-
二、直线方程的五种形式及适用条件
名称方程说明适用条件
斜截式y=kx+b
k—斜率
b—纵截距
倾斜角为90°的直线
不能用此式
点斜式y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)—直线上已
知点,
k ──斜率
倾斜角为90°的直线
不能用此式
两点式1
21
y y
y y
-
-
=1
21
x x
x x
-
-
(x1,y1),(x2,y2)是
直线上两个已知点
与两坐标轴平行的直
线不能用此式
截距式
x
a
+
y
b
=1
a—直线的横截距
b—直线的纵截距
过(0,0)及与两坐
标轴平行的直线不能
用此式
一般式
A x+
B y+C=0
(A、B不全为零)
A、B不能同时为零
直线和圆的方程
A-的
(1,4)
__________
例9. 已知二直线
和
n =____.
两直线的位置关系⑵两条相交直线
1
l与
2
l的夹角:
两条相交直线
1
l与
2
l的夹角,是指由
1
l与
2
l相交所成的四
个角中最小的正角θ,又称为1l和2l所成的角,它的取值范围
是0,
2
π
??
?
?
?
,当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·k2≠-1时,
则有21
12
tan
1
k k
k k
θ
-
=
+
.
4.距离公式。
⑴已知一点P(x0,y0)及一条直线l:A x+B y+C=0,则点P到直线l
的距离d=00
22
||
Ax By C
A B
++
+
;
⑵两平行直线l1:A x+B y+C1=0,l2:A x+B y+C2=0之间的距离
d=12
22
||
C C
A B
-
+
。
5.当直线位置不确定时,直线对应的方程中含有参数.
含参数方程中有两种特殊情形,它们的对应的直线是有规律
的,
即旋转直线系和平行直线系.
⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中,
①当(x0,y0)确定,k变化时,该方程表示过定点(x0,y0)
的旋转直线系,
②当k确定,(x0,y0)变化时,该方程表示平行直线系.
⑵已知直线l:A x+B y+C=0,
则①方程A x+B y+m=0(m为参数)表示与l平行的直线系;
②方程-B x+A y+n=0(n为参数)表示与l垂直的直线系。
⑶已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,
直线l2:A2x+B2y+C2=0,
则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0
表示过l1与l2交点的直线系(不含l2)
掌握含参数方程的几何意义是某种直线系,有时可以优化解题
思路.
例10. 经过两直线
11x-3y-9=0与
12x+y-19=0的交点,且
过点(3,-2)的直线方程为
_______.
例11. 已知△ABC中,A
(2,-1),B(4,3),
C(3,-2),求:
⑴BC边上的高所在直线方
程;⑵AB边中垂线方程;
⑶∠A平分线所在直线方程.
例12. 已知定点
P(6,4)与定直线l1:
y=4x,过P点的直线l与l1
交于第一象限Q点,与x轴
正半轴交于点M,求使△
OQM面积最小的直线l方
程.
简单线性规划
⑴当点P(x0,y0)在直线A x+B y+C=0上时,其坐标满足方程A x0+B y0+C=0;
的
线
性
规
划
⑵当P不在直线A x+B y+C=0上时,A x0+B y0
+C≠0,即A x0+B y0+C>0或A x0+B y0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义:二元一次不等式A x+B y+C>0(或<0)表示直线A x+B y+C=0上方或下方区域,其具体位置的确定常用原点(0,0)代入检验。
利用此几何意义,可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。
简单的线性规划例13. 若点(3,1)和(4
-,6)在直线0
2
3=
+
-a
y
x的两侧,则实数a的取值范围是()724
A a a
<->
或()724
B a
-<<()724
C a a
=-=
或(D)以上都不对
例14. ABC
?的三个顶点的坐标为(2,4)
A,(1,2)
B-,(1,0)
C,点(,)
P x y在ABC
?内部及边界上运动,则2
y x
-的最大值为,最小值为。
例15. 不等式组:
10
x y
x y
y
-+
+
?
?
?
?
?
≥
≤
≥
表示的平面区域的面积是;
例个劳动力种50亩地,这些地可种蔬菜、棉花或水稻,如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物,所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高
例17.某集团准备兴办一所中学,投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下:
根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费600元,高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润多少万元