1 目标跟踪问题

第一章 目标跟踪基本原理与机动目标模型

1.1 引言

目标跟踪问题作为科学技术发展的一个方面，设计的主要目的是可靠而精确的跟踪目标，其历史可以追溯到第二次世界大战前夕，即1937年世界上出现第一部跟踪雷达站SCR-28的时候、之后各种雷达、红外、声纳和激光等目标跟踪系统相继得到发展并且日趋完善。

传统的跟踪系统是一对一系统，即一个探测器仅连续地瞄准和跟踪一个目标。随着科学技术的进步和现代战略战术的发展，人们发现提出新的目标跟踪概念和体制是完全可能的，在过去20多年中，多目标跟踪的理论和方法已经获得很大发展，并已成为当今国际上十分活跃的热门研究领域之一，有些成果也已付诸于工程实际。 简单地说，目标跟踪问题可以划分为下列四类：

一个探测器跟踪一个目标 （OTO ）

一个探测器跟踪多个目标 （OTM ）

多个探测器跟踪一个目标 （MTO ）

多个探测器跟踪多个目标 （MTM ）

1.2 目标跟踪的基本原理

1.2.1 单机动目标跟踪基本原理

发展现代边扫描边跟踪（TWS ）系统的目的是，仅在一个探测器条件下同时跟踪多个目标。然而，为达此目的，边扫描边跟踪系统必须首先很好地跟踪单个目标。一般地说，常速直线运动目标的跟踪与估计问题较为简单，而且易于处理。困难的情况表现在被跟踪目标发生机动，即目标速度的大小和方向发生变化的场合。

图1.1为单机动目标跟踪基本原理框图。图中目标动态特性由包含位置、速度和加速度的状态向量X 表示，量测（观测）量Y 被假定为含有量测噪声V 的状态向量

的线性组合（HX ＋V ）；残差（新息）向量d 为量测（Y ）与状态预测量))1((k

k X H +∧之差。我们约定，用大写字母X,Y 表示向量，小写字母x,y 表示向量的分量。一般情况下，单机动目标跟踪为一自适应滤波过程。首先由量测（观测）量（Y ）和状态预测量))1((k

k X H +∧构成残差（新息）向量d ，然后根据d 的变化进行机动检测或者机动辨识．其次按照某一准则或逻辑调整滤波增益与协方差矩阵或者实时辨识出目标机动特性，最后由滤波算法得到目标的状态估计值和预测值，从而完成单机动目标跟踪功能。

图1.1 单机动目标跟踪基本原理框图

1.2.2 单机动目标跟踪基本要素

单机动目标跟踪基本要素主要包括量测数据形成与处理，机动目标模型，机动检测与机动辨识，滤波与预测以及跟踪坐标系和滤波状态变量的选取。现分别简述之。

1.2.2.1 量测数据形成与处理

量测数据通常指来自探测器输出报告的所有观测量的集合。这些观测量一般包括目标运动参数，如位置和速度，目标属性，目标类型，数目或形成以及获取量测量的时间序列等。在单机动目标跟踪技术中，量测数据主要指目标运动学参数。

量测数据既可以等周期获取，也可以变周期获取。在实际问题中常常遇到等速率数据采集。量测数据大多含有噪声和杂波（多目标检测情况），为了提高目标状态估计精度，通常采用数据预处理技术以提高信噪比。目前常用的方法有数据压缩，包括等权和变权预处理以及量测资料中野值的剔除方法等技术。

1.2.2.2 机动目标模型

众所周知，估计理论特别是卡尔曼滤波理论要求建立数学模型来描述与估计问题有关的物理现象。这种数学模型应把某一时刻的状态变量表为前一状态变量的函数。所定义的状态变量应为能够全面反应系统动态特性的一组维数最少的变量。一般地，状态变量与系统的能量有关，譬如在目标运动模型中，状态变量中所包含的位置元素与势能有关，速度元素与动能有关。

在目标模型构造过程中，考虑到缺乏有关目标运动的精确数据以及存在着许多不可预测的现象，如周围环境的变化及驾驶员主观操作等，只是需要引入状态噪声的概念。当目标作匀速直线运动时，加速度常常被看作是具有随机特性的扰动输入（状态噪声），并假设其服从零均值白色高斯分布，这时，卡尔曼滤波可直接使用。当目标发生诸如转弯或逃避等机动现象时，上述假设则不尽合理，机动加速度变成为非零

均值时间相关的有色噪声。此时，为满足滤波需要常常采用白化噪声和状态增广方法。

机动目标模型除了考虑加速度非零均值时间相关噪声假设外，还要考虑加速度的分布特性。客观上，要求加速度函数应尽可能的描述目标机动的实际情况。从目前的机动目标模型来看，所有建模方法均考虑了目标发生机动的可能性，并建立了一种适合任何情况和任何类型目标的机动模型，我们称这种模型为全局统计模型，其典型代表是传统的Singer模型。然而，根据全局统计模型思想，每一种具体战术情况下的每一种具体机动在总的统计模型中的发生概率势必很小，也就是说，每一种具体战术情况下的机动模型的精度不可能足够高。因此，考虑目标当前时刻机动可能性是十分可取的，由此建立的模型称为机动目标“当前”统计模型。该模型是后面各种跟踪算法的基础，理论分析和计算机仿真证明此模型优于全局统计模型。

当然，关于加速度的分布函数，除了均匀分布（Singer模型）和修正瑞利分布（“当前”统计模型）外，有人还采用其它分布如正态分布等。我们认为，无论采取何种分布函数，只要能更为真实的反应目标的机动实际，就是可取的。

1.2.2.3 机动检测与机动辨识

机动检测与机动辨识是两种机动决策机制。如果目标出现机动，根据此机制即可确定出机动的发生时刻，估计出实际的机动参数譬如机动强度和持续时间等。

一般地，滤波过程以所假定的目标模型为基础。当目标发生机动时，实际的目标动态特性将与模型描述的不一致，从而导致跟踪误差增大，残差（新息）过程发生急剧变化。通过检测残差过程，即可对目标的机动作出某些检测，这就是机动检测决策机制的基本思想。而机动强度则靠机动模型来设定。机动检测常常发生决策滞后现象。

机动辨识是一种比机动检测更为有效的决策机制，它不仅能够确定出机动发生时刻及持续时间，而且能够实时辨识出机动（加速度）强度或大小。机动辨识的作用方式为或者由残差过程辨识出机动加速度幅度，或者根据滤波过程实时估计和预测出机动加速度大小。机动辨识的典型范例是机动目标“当前”统计模型及其自适应跟踪算法的应用。

1.2.2.4 自适应滤波与预测

滤波与预测是跟踪系统的基本要素，也是估计当前和未来时刻目标运动参数如位置、速度和加速度的必要技术手段。

当目标作非机动运动时，采用基本的滤波和预测方法即可很好地跟踪目标。这些方法主要有线性自回归滤波，α-β或α-β-γ滤波以及卡尔曼滤波等。

在实际跟踪过程中，目标往往发生机动，这时采用上述基本滤波与预测方法和机动目标模型已不能满足问题的求解，跟踪滤波器常常出现发散现象。有效的解决办法是应用基于卡尔曼滤波的各种自适应滤波与预测方法。这些方法主要有以下几种：

(1)重新启动滤波增益序列；

(2)增大输入噪声的方差；

(3)增大目标状态估计的协方差矩阵；

(4)增加目标状态维数；

(5)在不同的跟踪滤波器之间切换。

前三种方法都是使跟踪滤波器的参数特别是滤波增益发生改变，后两种方法则是以某种方式修改跟踪滤波器的结构。

1.2.2.5 跟踪坐标系与滤波状态变量的选取

跟踪滤波器的设计在很大程度上受下述数学模型的影响：

（1）探测器提供的量测（观测）；

（2）被跟踪目标的运动。

这两种模型都依赖于所采用的坐标系体制。因此，应当选择一个合适的坐标系来满足有限的计算时间和保证良好的跟踪性能这两个互相矛盾的要求。

一般来说，有两种坐标系可供选择：直角坐标系和球面坐标系。

通常探测器的量测是在球面坐标系中进行的，而目标的状态方程在直角坐标系中可以线性地表示。如果仅在一种坐标系中建立目标的状态方程，要么动态方程线性，量测方程非线性；要么状态方程非线性，量测方程线性。这样，在滤波和预测之前，就必须对方程进行适当处理，避免引入模型误差。

在现代雷达跟踪系统中，方便的是同时采用地理坐标系和雷达测量坐标系，即混合坐标系。其好处是地理坐标系（直角坐标系）的参数变化率最小，除在北极附近外，地球转动的影响可以忽略不计，即地理坐标系实际是惯性坐标系；而且在该坐标系中目标状态方程是线性的，在雷达测量坐标系（球面坐标系）中，目标斜距、方位和俯仰等均可独立得到，而且量测方程也是线性的。再利用坐标变换关系，滤波与预测过程便可在地理坐标系中方便的完成。实践已证明，上述混合坐标系的选择应用很成功。

关于状态变量的选取，一般的原则是选择维数最少且能全面反映目标动态特性的一组变量，以防止计算量随状态变量数目的增加而增加。

需要指出的是，状态变量与跟踪坐标系的选择是直接相关的。

Johon已经证明，如果采用一个适当选择的坐标系，状态估计问题的计算代价可以大大减小。

另外，速度量测的引入是改善跟踪精度的一种有效手段。此方法不仅能有提高系统带宽，而且能有效地减小系统动态误差，从而提高跟踪性能。

1.2.3 多机动目标跟踪基本原理

多目标跟踪问题无论在军事或民用方面都有着十分广泛的应用，其目的是将探测器所接收到的量测数据分解为对应于不同信息源所产生的不同观测集合或轨迹。一旦轨迹被形成和确认，则被跟踪的目标数目以及相应于每一条轨迹的目标运动参数如位置、速度、加速度及目标分类特征等，均可相应地估计出来。

图1.2 多机动目标跟踪基本原理框图

图1.2给出了一种简单的多机动目标跟踪基本原理框图。假定整个流程为递推过程，并且在先前扫描期间各轨迹已经形成。由探测器接收到的观测数据首先被考虑用于更新已建立的目标轨迹。跟踪门被用来确定观测／轨迹配对是否合理或者正确；数据关联则用于最后确定最合理的观测／轨迹配对，然后根据跟踪维持方法包括机动辨识及自适应滤波与预测估计出各目标轨迹的真实状态。在跟踪空间中，那些不与已经建立的目标轨迹相关的观测或回波可能来自新的目标或虚警．由跟踪起始方法可以辨别其真伪，并相应地建立新的目标档案；当某些目标逃离跟踪空间后，由跟踪终结方法立即可消除多余目标档案，减轻不必要的负载。

最后，在新的观测到达之前，由目标预测状态可以确定下一时刻的跟踪门中心和大小，并重新开始下一时刻的递推循环。

1.2.4 多机动目标跟踪基本要素

多机动目标跟踪基本要素除了包括上面所阐述的单机动目标跟踪各基本要素外，还有跟踪门的形成，数据关联与跟踪维持，跟踪起始与跟踪终结，漏报与虚警等要素，下面简述之。

1.2.4.1 跟踪门的形成

跟踪门的形成或关联区域的形成是多机动目标跟踪过程中首当其冲的问题。跟踪门是跟踪空间中的一块子空间，中心位于被跟踪目标的预测状态，其大小由接收正确回波的概率来确定。

跟踪门规则是将观测回波分配给已建立的目标轨迹或新目标轨迹的一种粗略检验方法。其目的有如下两点:

(1) 确定候选回波

当由探测器观测到的回波满足某目标的跟踪门规划时，称此回波为候选回波，并被考虑用于更新被跟踪目标的状态。注意到，有时可能多个回波同时落入某一目标的跟踪门内，同样，落入跟踪门内的候选回波最后也有可能不被用来更新目标的状态。

这一点与“最邻近”和“全邻”相关方法的规定有关。

(2) 建立新的假定轨迹

当观测回波不落入任何已建立目标轨迹的跟踪门内是，次回波可能为新的目标回波或虚警，由此可建立起新的候选目标假定轨迹或摒弃虚警。

1.2.4.2 数据关联与跟踪维持

数据关联是多目标跟踪的核心部分。数据关联过程是将候选回波

(跟踪门规定的输出)与已知目标轨迹相比较并最后确定正确地观测/轨迹配对的过程。

当单个观测回波位于某个目标的跟踪门内时，配对过程即告实现。对于密集多回波环境，特别是近相距和轨迹交叉目标，最困难的情况出现在相关发生抵触的场合，此时，要么多个回波位于同一跟踪门内，要么单个回波位于多个跟踪门内的交集内。目前，有两种基本方法可用来解决这一复杂问题。

第一种方法是“最近邻”方法。该方法的原则是选择是统计距离最小或残差概率密度最大的回波作为目标回波，计算方法较为简单。然而，再多回波环境下，尤其对近相距和轨迹交叉目标来说，离目标预测状态最近的回波并非必定是目标回波，因此，这种方法在实际应用中常常发生误跟和丢失目标的现象。

另一种方法是“全邻”方法。该方法与“最邻近”方法的不同点在于全面考虑了跟踪门内的所有候选滤波，并根据不同相关情况计算出各概率加权系数以及所有候选回波的加权和即等效回波，然后用各等效回波更新多个目标的状态。“全邻”方法特别适合与高密集多回波环境代表着现代跟踪技术的发展方向，其典型代表是概率数据关联方法（PDA）和联合数据关联方法(JPDA)。

PDA和JPDA两种方法是本著作发展密集多回波环境下单机动目标和多机动目标跟踪算法的重要基础。

需要特别指出，应用先进的数据关联技术可以解决多个目标产生同一观测的问题，即目标分辨问题。例如，雷达量测技术不可能分辨出其波束内的多个近相距目标，但数据关联技术可以确定出何时在雷达波束内存在几个目标。这一点在工程上具有极其重大的应用价值。

跟踪维持即连续保持跟踪，其目的是保证被跟踪目标可分辨且不发生误跟和失跟现象。跟踪维持包括机动识别和自适应滤波与预测部分。其中机动目标的自适应滤波如何与数据关联技术相结合乃是一项困难的课题。

需要注意的是，在将机动检测及其自适应滤波应用到密集多回波环境下的多机动目标跟踪过程中，极可能发生目标失跟现象。原因之一是，不正确的数据关联可能触发机动检测器以致于跟踪滤波器迅速地响应虚警信号。原因之二是，在潜在的误相关条件下，已检测的机动将显著的增大滤波协方差矩阵，从而增大跟踪门体积，随之而来的是落入跟踪门内的虚警概率增大，误相关的可能性增大，而误相关和对虚警的快速响应又将进一步导致误相关直至目标丢失。这两点正是机动检测方法不能成功响

应与密集多回波环境下多机动目标跟踪问题的根本原因所在。而机动目标“当前”统计模型及其均值和方差自适应滤波这一机动辨识方法，可以较为理想的解决机动识别及自适应算法与数据的结合问题。

1.2.4.3 跟踪起始与跟踪终结

跟踪起始是一种建立新的目标档案的决策方法。它主要包括假定

轨迹形成，轨迹初始化和轨迹确定三方面。一般的，不与已知目标轨迹相关的观测集合被用来形成新的假定轨迹，进而进行轨迹的初始化处理。约束条件为：在已知目标跟踪门内的观测数据不能用来初始化新的假定轨迹，尽管使用“最邻近”方法时，某些满足跟踪门规划的观测最后不与已知的目标轨迹配对。一旦形成新的假定轨迹，则需采用轨迹确定逻辑确认目标，并消除虚警。常用的方法有N次扫描中出现M次相关（ M

跟踪终结是跟踪起始的逆问题，它是消除多余目标档案的一种决策方法。当被跟踪目标逃离跟踪空间或者被摧毁时，其状态更新质量下降。为避免不必要的存储与计算，跟踪器必须作出相应的决策，以消除多余目标档案，完成跟踪终结功能。典型

次连续扫描丢失目标确定跟踪终结的方法和概率决策分析方法的跟踪终结方法有N

D

等。

1.2.4.4 漏报与虚警

漏报与虚警是跟踪过程中常常遇到的问题。通常，漏报指观测数

据丢失或漏检；虚警指探测器内部的热噪声、杂波、射频干扰及敌方电子干扰信号等潜在的多余回波源。

一般的，在存在漏报和虚警的条件下，自适应跟踪系统应保证较低的虚警率而同时保证适当高的检测能力，以限制由虚警产生的虚假轨迹和由漏检带来的目标丢失现象。但在目前来说，要做到这一点很困难。因此，必须依靠跟踪算法借以克服高虚警概率的发生并保持跟踪。

1.3 机动目标模型

机动目标模型是机动目标跟踪的基本要素之一，也是一个关键而又棘手的问题。在建立机动目标模型时，一般的原则是所建立的模型既要符合机动实际，又要便于数学处理。

本节对已有的各种机动目标模型进行总结和评述，内容包括微分多项式模型，CV与CA（常速与常加速）模型，时间相关模型，半马尔可夫模型，Noval统计模型，

以及机动目标“当前”统计模型等。

1.3.1微分多项式模型

任何一条运动轨迹都可用多项式来逼近，在笛卡尔惯性坐标系中，目标运动轨迹可用n 次多项式准确地描述，即

n n t a t a t a a t x ++++= 2210)( (1.3.1a)

n n t b t b t b b t y ++++= 2210)( (1.3.1b)

n n t c t c t c c t z ++++= 2210)( (1.3.1c)

式中x(t),y(t),z(t)为运动轨迹分别在三坐标轴上的投影。式（1.3.1）中的任一分量均可写成n+1阶微分方程式形式。以x(t)分量为例，有

0)(11≠++j j dt

t x d (j

1)(++j j dt t x d =0 (j ≥n) (1.3.3) n 为运动模型的阶次。n 的大小反映目标运动的特点，当n=1时为等速运动。n=2时为等加速运动等。

通常，把系统的状态变量定义为

)()(1t x t x =

dt

t dx t x )()(2= n

n n dt t x d t x )()(1=+ 它们构成n+1维状态向量X(t)，即

X(t)=[)

(t x )(.

t x )()(t x n T ]=[)(1t x )(2t x )(1t x n +T ] (1.3.4) 状态方程形式为

)()()(.t X t A t X = (1.3.5) 尽管用多项式逼近目标运动轨迹时，其近似性很好，但对跟踪系统来说，并不合适。首先，因为跟踪系统所要求的是对目标运动状态的估计——滤波与预测，而不是轨迹曲线的拟合与平滑；其次，对阶次过高的多项式来说，计算量太大，跟踪滤波器不易很快调整。另外多项式模型未考虑随机干扰的影响，也不符合跟踪的实际情况。

理论分析和大量的模拟计算结果表明，所选的模型阶数n 越小，采据率k 越大；滤波收敛就越快，所需调整时间就越少。但收敛性的快慢只能作为选择n 和h 的一个因素，更为重要的是所选择的n 能否真正反映目标的实际运动特性。当目标作等加速运动时，如选n 为1，将带来很大的模型误差；当目标作等速运动时，如选n 为2，不仅存在模型误差，而且增加了不必要的计算量。然而，实际的目标运动特性要复杂得多，真正的等速或等加速运动情况极少出现，这就暴露出采用微分多项式模型的严重缺点，即‘唯此即彼’。因此，需要建立比较符合实际的数学模型。

1.3.2 CV 和CA 模型

考虑随机干扰情况。当目标无机动，即目标作匀速或匀加速直线运动时，可分别采用下面的二阶常速CV 模型或三阶常加速CA 模型。

CV 模型：

)(100010....t x x x x ω??????+???????????

?=???????? (1.3.6)

CA 模型：

)(100000100010.........t x x x x x x ω??????????+?????????????????

???=?????

??????? (1.3.7) 式中x ，.x ,..

x 分别为运动目标的位置、速度和加速度分量；)(t ω是均值为零，方差为2σ的高斯白噪声。

上述模型可以被认为是考虑随机干扰影响的微分多项式模型的特例。显然除了阶次变小以外，该模型也存在着“非此即彼”的缺陷。

若目标发生机动，即目标运动表现出变加速度a （t ）特性时，目标模型应分别为 )(100010....t a x x x x ??????+???????????

?=???????? （1.3.8） 和

)(100000100010..........t a x x x x x x ??????????+?????????????????

???=?????

??????? (1.3.9) 对跟踪系统来说，目标的机动是未知的。很显然，如何描述a （t ）是一个复杂的

问题。一般有后面所介绍的机动目标模型可以借鉴。

1.3.3 时间相关模型

1.3.3.1 高阶时间相关模型的一般表示式

机动目标的高阶时间相关模型（也称高阶马尔可夫模型）一般表示为

)()(t F dt

t x d n n = (1.3.10) )()()(t C t U t F += (1.3.11)

其中x(t)为目标的位置，U(t)为引起确定性机动的作用函数，它由目标的程序指令或人控指令所控制； C(t)为引起随机性机动的作用函数。

通常，F(t)为时间相关随机过程，设其相关函数为),(1t t R f 有

)({),(1t F E t t R f = )}(1t F (1.3.12)

由于在卡尔曼滤波公式中，要求系统噪声为白噪声，因此，在目标动态系统的输入端需增加一成形滤波器，它的输入为白噪声．输出特性应和F(t)一样。一般情况下，成形滤波器的微分方程可表示为

)()()()(00t u dt d t b t F dt d t a j j

l j j i i m

i i ∑∑=== (1.3.13) 式中u(t)为单位白噪声，其相关函数为)(),(11t t t t R u -=δ；)(t a i (i=0,1,…,m)， j b (t) (j=0,1,…,l)为待定系数；当0)(≠t a m 时，称F(t)为m 阶时间相关函数。

在式(1.3.13)两边同乘以)(1t F ，并取其数学期望，得到

),()(),()(1010t t R dt d t b t t R dt d t a uf j j

l j j f i i m

i i ∑∑=== (1.3.14) 式中)}()({),(11t F t u E t t R uf =为成形滤波器的输入输出互相关函数。不难证明，它等于成形滤波器的脉冲响应函数),(1t t W s ，故式(1.3.14) 可写成

),()(),()(1010t t W dt d t b t t R dt d t a s j j

l j j f i i m

i i ∑∑=== (1.3.15) 由物理可实现条件，即当1t

0),()(10=∑=t t R dt d t a f i i

m

i i )(1t t < (1.3.16) 从式(1.3.15)和（1.3.16）可见，只要知道F(t)的相关函数),(1t t R f ,就可根据微分方程理论确定出函数)(t a i 和j b (t)。但在一般情况下，),(1t t R f 不容易知道，为此，需另加限制条件，即假设F(t)在较短的区问[t,1t ]内为平稳随机过程，这样F(t)的相关函数仅是1t -t=τ的函数，即

)()(),(11τf f f R t t R t t R =-=

跟踪系统通常为二阶系统。这时，F(t)表现为目标的机动加速度a(t)。当n=2，m=1或2时，这些系统称为二阶系统一阶时间相关模型（简称一阶时间相关模型）或二阶系统二阶时间相关模型（简称二阶时间相关模型）。个别情况，当n=3，m=0时称为三阶系统零阶时间相关模型，这时式(1.3.10)变为

)()(33t dt

t x d ω=（)(t w 为白噪声），此即CA 模型。 本节以下讨论均假定机动加速度a(t)为零均值平稳随机过程。

1.3.3.2一阶时间相关模型（Singe 模型）

根据平稳随机过程相关函数的特性，如对称性、衰减性等，设机动加速度的时间相关函数为指数衰减形式：

)(τa R =E{ α( t ) α( t ＋τ) }

=2a σιa e - ( α≥0 ) （1.3.17）

式中2a σ、α为在（t ， t ＋τ）区间内决定目标机动特性的待定参数。2a σ为机动加速度方差；α为机动常数的倒数，即机动频率，通常其经验取值范围为：转弯机动α＝1／60；逃避机动α＝1／20，大气扰动α＝1，它的确切值只有通过实时测量才能确定。

假定机动加速度的概率密度函数近似服从均匀分布。机动加速度的均值为零，方差2a σ：由图1.3所示的概率密度模型计算出来,即

0max A -max

A

max P

图1.3 Singer 模型中目标加速度的概率密度函数

2

a

σ＝32max A [1＋4max P －0P ] （1.3.18） 式中，max A 为最大机动加速度，max P 为其发生概率，0P 为非机动概率。

对时间相关函数)(ιa R 应用Wiener －Kolmogonov 白化程序后，机动加速度a （t ）可用输入为白噪声的一阶时间相关模型来表示，即

.

a （t ）=－αa(t)+ω(t) (1.3.19) 式中ω(t)是均值为零、方差为2α2a σ的高斯白噪声。最后当n=2,m=1时机动目标模型变为下述一阶时间相关模型，即Singer 模型：

??????

????????)()()(......t x t x t x ＝??????????-α00100010????????????)()()(...t x t x t x ＋??????????100ω(t) (1.3.20)

1.3.3.3二阶时间相关模型

当目标作长时间强烈振荡机动时，可设机动加速度的时间相关函数为衰减振荡形式：

a R (τ)= 2a σιa e -cos βτ （a ≥0） （1.3.21）

式中2a σ和a 的意义同前，β为机动振荡。

同样，对a R (τ)应用Wiener-kolmogonov 白化程序，机动加速度a(t)的成形滤

波器微分方程变为：

)(..t a ＋2α)(.

t a ＋(22βα+)a(t) =2

2a ασ)(.

t u ＋)(2222βαασ+a u(t) （1.3.22） 式中u(t)为单位强度的白噪声。

当n=2,m=2时机动目标模型可用二阶系统二阶时间相关模型表示，其状态方程为

??????????????????)()()()(......t x t x t x t x ＝????????????--αω2001000010000102????????????????)()()()(..t x t x t x t x ＋????????????∑∑ω000000??

????)()(.t u t u （1.3.23） 其中参数

222βαω+=

22a ασ=∑

1.3.3.4 关于一阶时间相关模型的讨论与分析

对于处在一般机动情况下的运动目标，均可采用二阶系统一阶时间相关模型很好地描述，即

)()(22t a dt

t x d = （1.3.24a ） 和

)(2)()()(2.

t u a t t a t a a σωα==- （1.3.24b ） 式中u(t)为单位强度白噪声，其状态方程如式(1.3.20)所示。

需要指出，在卡尔曼滤波过程中，系统噪声协方差矩阵对滤波性能的影响很大，

它主要包括a, 2a σ和采样周期T 三个参数，其中除T 可以适当选择外，a 与2a σ则取

决于目标机动情况，属于未知参数，不同的目标运动状态，对应于不同的取值。

从（1.3.23）和（1.3.24）两式可以看出，当a=0时，a(t)=C,即a(t)为常数，

这是等加速运动情况；当a →∞时，a(t)=0，这是等速直线运动情况。因此，当a 在正实数轴上连续变化时，就对应于目标从等速运动到等加速运动之间的不同运动状态。可见，这种模型比“非此即彼”的微分多项式模型（包括CV 和CA 模型）具有较大的机动适应性。但也应注意到，一阶时间相关模型只适用于等速和等加速范围内的目标运动，采用这种模型将引起较大的模型误差。

此外，用有色噪声而不是用白噪声描述机动加速度将更为切合实际，这也正是Singer 模型多年来较受青睐的原因所在。

1.3.4半马尔可夫模型

Singer 模型为零均值模型。这种机动加速度的零均值特性对于模拟机动目标来说似乎不太合理。为此，Moose 等提出了具有随机开关均值的相关高斯噪声模型，该模型把机动看作为相应于半马尔可夫过程描述的一系列有限指令，该指令有马尔可夫过程的转移概率来确定，转移时间为随即变量。

直角坐标系下的半马尔可夫模型为

??????

????????)()()(......t x t x t x ＝?????????

?--αθ

0000010????????????)()()(...t x t x t x ＋??????????010 u(t)＋??????????100ω(t) （1.3.25） 式中θ为阻力系数，u(t)为确定性输入指令，α为机动时间常数的倒数，ω(t)为高

斯白噪声过程。 比较 （1.3.25）和（1.3.20）两式可见，两模型的主要差别在于半马尔可夫模型中引入了非零加速度u(t)。

有些作者，使用了一种稍微类似的模型，不同点是仅考虑了两种状态，即目标的位置和速度分量。

1.3.5 Noval 统计模型

Kendrick 等把机动目标法向加速度的大小n a 描述为非对称分布的时间相关随机过程，其概率密度函数的非对称性用下列确定性非线性函数来表示：

)()(t e d n e c b t a ??+= （1.3.26）

式中b 、c 、d 是对应于目标特定情况和特定类型的常数。其中零均值时间相关高斯随机过程ε(t)满足

a

t 1)(.-=εε(t)＋ω(t) （1.3.27）

这里ω(t)是均值为零，方差为a 2 的高斯白噪声，α为机动频率。

选择一组特定的目标常数b ，c 和d ，就可得到一个确定的法向加速度概率密度函数。不难看出，尽管用这种方法来描述目标法向加速度大小时状态方程是非线性的，但其明显的特点在于白色高斯过程能直接传播，且能保持概率密度函数的非对称性质。

该模型被认为是现代载人飞行器逃避机动的典型模型。

1.3.6 机动目标“当前”统计模型

当目标正以某一加速度机动时，下一时刻的加速度取值是有限的，且只能在“当前”加速度的邻域内，为此，我们提出了机动目标“当前”统计模型。该模型本质上是非零均值时间相关模型，其机动加速度的“当前”概率密度用修正的瑞利分布描述，均值为“当前”加速度预测值，随机机动加速度在时间轴上仍符合一阶时间相关过程，即

=)(..t x )(t a -

＋α(t) （1.3.28）

)()(.t a t a α-=＋ω(t) （1.3.29） 式中)(t a -

为机动加速度“当前”均值，在每一采样周期内为常数。

若令=)(1t a )(t a -＋α(t) ，并代入上面两式，可得

=)(..t x )(1t a （1.3.30）

)(.1t a ＝－α)(1t a ＋α)(t a -＋ω(t) （1.3.31） 将式（1.3.30）和（1.3.31）写为状态方程，即为机动目标“当前”统计模型： ??????

????????)()()(......t x t x t x ＝??????????-α00100010????????????)()()(...t x t x t x ＋??????????α00)(t a -＋??????????100ω(t) （1.3.32） 由于该模型采用非零均值和修正瑞利分布表征机动加速度特性，因而更加切合实际。与传统的singer 模型相比，它能更为真实地反映目标机动范围和强度的变化，是目前较好的实用模型。