人教版高中数学选修2-3第6讲：数学期望与方差及正态分布(教师版)

人教版高中数学 数学期望与方差及正态分布

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1.理解离散型变量的数学期望与方差的概念.

2.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式.

3.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质.

4.能利用数学期望与方差解决简单的实际问题.

5.理解概率密度曲线和正态分布的概念.

1.离散型随机变量X 的数学期望

一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称1122n n x p x p x p +++为离散型随机变量X 的数学期望，记为()E X ，其中0i p ≥，i =1，2，…，n ，12p p + 1.n p +

+=

一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，

则称2

2

21122()()()n n x p x p x p μμμ-+-++-为离散型随机变量X 的方差，记为()V X ，即2

;

σi p ≥0，i =1，2，…，n ，121,n p p p +++=()E X μ=

3.离散型随机变量X 的标准差

随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，

即σ=4.必备公式

(1)离散型随机变量：X 的数学期望（均值）公式、方差公式、标准差公式 E(X)=1122n n x p x p x p ++

+；

V (X )=2

2

1122()()x p x p μμ-+-+2()n n x p μ+-；

σ

=.

(2)二项分布的数学期望、方差的计算公式 当X ～B (n ，p )时，E (X )=np ；V (X )=np(1-p). 5.离散型随机变量方差的性质

设ξ是离散型随机变量，则其方差具有如下性质： (1)V (k )=0(k 为常数)； (2)2

();V k k V ξξ= (3)();V k V ξξ+=

(4)2()(,).V a b a V a b ξξ+=∈R

6.概率密度曲线

(1)若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.

(2)

正态密度曲线的函数表达式为22

()2()e

,,0,x P x x μσσμ--=∈>∈R R

7.正态分布

(1)若X 是一个随机变量，对任给区间(a ，b ]，P (a

σ的正态分布，简记为X ～N (2

,μσ).

(2)我们将正态分布N (0，1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率.

8.正态密度曲线图象的特征

(1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸以x 轴为渐近线. (2)正态曲线关于直线x =μ对称；

(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡. (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.

类型一.离散型随机变量X 的数学期望

则E (X )等于( ) A.0 B.-1

C.13

-

D.12

-

[答案] C

[解析] 由111()(1)01236

E X =-?

+?+?=1.3-

练习1：某学校要从5名男生和2名女生中选出2人做上海世博会志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E ξ______.(结果用最简分数表示)

[答案]

4

7

[解析] ξ可取0,1,2,因此252710(0),(1)21C P P C ξξ=====11

522

710

,21C C C = 2

2271101014

(2),012.212121217

C P E C ξξ====?+?+?=

类型二.离散型随机变量的方差、标准差

例2：已知随机变量X 的分布表为：

[解析] 因为E (X )=0.1×0+0.15×1+0.25×2+0.25×3+0.15×4+0.1×5=2.5，

所以2

2

()(0 2.5)0.1(1 2.5)0.15(2V X =-?+-?+-2

2

2.5)0.25(3 2.5)0.25?+-?+

2(4 2.5)0.15(5-?+-

22.5)0.1 2.05.?=

练习1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布表如下：

射手乙：

谁的射击水平比较稳定.

[解析] 1()100.290.680.29,E X =?+?+?=

2221()(109)0.2(99)0.6(89)0.2V X =-?+-?+-?0.20.20.4,=+= 2()100.490.280.49,E X =?+?+?=

2222()(109)0.4(99)0.2(89)0.40.8V X =-?+-?+-?=，因为12()(),V X V X <所以射手

甲的射击水平比较稳定.

类型三.二项分布的数学期望与方差

例3：已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 2.4, 1.44,E V ξξ==则n ，p 的值为( ) A.8，0.3 B.6，0.4 C.2，0.2 D.5，0.6

[答案] B

[解析] 由np =2.4，np (1-p )=1.44，解得n =6，p =0.4.

练习3：设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且1

3,,7

E P ξ==则n =______,D ξ=______. [解析]

13,,7E nP P ξ===13721,(1)217n D nP P ξ∴=?==-=?118

(1).77

-=

类型四.离散型随机变量方差的性质

例4：一次测试有25道选择题，每题选对得4分，选错或不选得0分，满分为100分，某生选对每道题的概率为0.8，则这名考生在这次考试中成绩的数学期望与标准差为( )

A.80，8

B.80，64

C.70，4

D.70，3 [答案] A

[解析] 答对题数为,ξ成绩为4.ξ先分析ξξ?~B (25，0.8)，所以E ξ=25×0.8=20，

所以(4)480,E E V ξξξ===25×0.8×0.2=4，所以(4)V ξ=2

464,V ξ=8.=

练习4：已知ξ的分布列如下表,设23,ηξ=+则E η=()

A .

3

B .4

C .-1

D .1

[答案] A [解析] 11111012363E ξ=-?

+?+?=-,17(23)232333

E E E ηξξ=+=+=-?+= 类型五.数学期望与方差的计算与应用

例5：一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件互相独立，并且概率都是1.3

假定他只在遇到红灯或到达上班地点时才停止前进.

(1)设ξ为这个人的首次停止前经过的路口数.求ξ的分布表； (2)设η为这个人的途中遇到红灯的次数，求η的期望和方差； (3)求这个人首次停止前已经过两个交通岗的概率. [解析] (1)ξ的取值为0，1，2，3，4，5，6，

212121

(0),(1),(2)(),33333P P P ξξξ====?==?

342121(3)(),(4)(),(5)3333P P P ξξξ==?==?==56212

(),(6)().333

P ξ?==

所以ξ的分布表如下：

(2)由题意知：

1

~(6,),

3

B

η则

1

62,(1

3

E V np

ηη

=?==

114

)6(1).

333

p

-=??-=

(3)由(1)知

4 (2).

27 Pξ==

练习5：有一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数的数学期望.

[解析]若该运动员投篮1次，则P(ξ=1)=0.6；若投篮2次，则说明他第1次没有投进，而第2次投进，P(ξ=2)=0.4×0.6=0.24；若投篮3次，则说明他前2次没有投进，而第3次投进，P(ξ=3)=0.42×0.6；若投篮4次，则说明他前3次没有投进，而第4次投进，P(ξ=4)=0.43×0.6；若投篮5次，则说明他前4次没有投进，而第5次投进与否均可，所以概率为P(ξ=5)=0.44×1.所以ξ的概率分布为：

所以，投篮次数的数学期望为Eξ=1×0.6+2×0.24+3×0.096+4×0.0384+5×0.0256=1.6496.

类型六.正态密度曲线的特征

例6：下面给出了关于正态曲线的四个叙述：①曲线在x轴上方且与x轴不相交；②当x>μ时，曲线下降；当x<μ时，曲线上升；③当μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中；④曲线关于直线x=μ对称，且当x=μ时，位于最高点.其中正确的是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

[答案] C

[解析]①、②、④都正确，③不正确，应该是当μ一定时，σ越小，总体分布越集中，σ越大，总体分布越分散.

练习6：若

2

(1)

2

(),

x

f x x R

-

-

=∈,则下列判断正确的是()

A.f(x)有最大值,也有最小值

B.f(x)有最大值,无最小值

C.f(x)无最大值,有最小值

D.f(x)无最大值,也无最小值

[答案]B

[解析]这个函数就是正态分布N(1,1)的概率密度函数.

类型七.正态分布

例7：已知正态总体的数据落在区间(-3，-1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________.

[答案]1

[解析]区间(-3，-1)与(3，5)的长度相等，这说明正态曲线在两个区间上对称，易知两区间关于x=1对称，所以正态分布的数学期望是1.

练习7：设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1),已知( 1.96)0.025Φ-=,那么(|| 1.96)P ξ<=( )

A .0.025

B .0.050

C .0.950

D .0.975

[答案] C

[解析] 由( 1.96)1(1.96)0.025Φ-=-Φ=,得(1.96)0.975Φ=,

(|| 1.96)(1.96)( 1.96)0.9750.025P ξ<=Φ-Φ-=-=0.95

1.若某篮球运动员投篮命中率P =0.6,则其两次投篮命中次数η的数学期望为( ) A .0.6 B .1.2

C .1.3

D .0.8

[答案] B

2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则(0)P ξ==( )

A .0 B.12

C.

13

D.

23

[答案] C

3.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数f (x )=()()01,1

(14),504,

x x x <-???-≤≤???>?则P (ξ=3)的值为( )

A.

1

5

B .0

C .3

D .不确定

[答案] B

4.如果随机变量ξ服从(,0)N μ,而且()P C ξ≤=()P C ξ>=P ,那么P 等于( ) A .0 B .0.5

C .1

D .不确定

[答案] B

5.若从1,2,4,6,9这5个数字之中任取2个,则这2个数之积的数学期望是( ) A .8 B .17.3 C .9 D .9.5 [答案] B

6.两封信随机投入A ,B ,C 三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的教学期望E ξ=______. [答案]

2

3

7.某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.

(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;

(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;

(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望. [答案] (1)因为抽取比例为311,102,510555=?=?+由1

15

=得,应在甲组抽取2人,在乙组抽取

1人.

(2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率11462

108

.15

C C P C ?== (3)ξ的可能取值为0,1,2,3

1234211056(0),75C C P C C ξ==?=11121

46342212110510528

(1),75

C C C C C P C C C C ξ==?+?=

21

622110510

(3),75

C C P C C ξ==?=31(2)1(0)(1)(3).75P P P P ξξξξ==-=-=-==

分布列如下表:

数学期望282810

123 1.6.757575

E ξ=?

+?+?= 8.设篮球队A 与B 进行比赛,每场比赛均有一球队获胜,若一球队胜4场,则比赛结束,假定A ,B 两队在每场比赛中获胜的概率都是

1

2

,试求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望. [答案] 依题意知,比赛场数ξ的取值为4,5,6,7.

411(4)2,28P ξ∴==

?=3

341112(5)()2,2228P C ξ==????= 33251115(6)()()2,22216P C ξ==????=3

3361115(7)()()2.23216

P C ξ==????=

从而随机变量ξ的分布列为:

∴随机变量专的数学期望为1

255934567.88161616

E ξ=?+?

+?+?=

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基础巩固

1.如果两名士兵在一次射击比赛中,士兵甲得1分,2分,3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;士兵乙得1分,2分,3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名士兵得胜希望较大的是( )

A .甲

B .乙

C .甲与乙相同

D .无法确定

[答案] B

2.同时抛掷2枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上的,ξ=0表示结果中没有正面向上的,则E ξ=( )

A .0.6

B .0.75

C .0.85

D .0.95

[答案] B

3.如果ξ是离散型随机变量,32,ηξ=+那么( ) A.32,9E E D D ηξηξ=+= B.3,32E E D D ηξηξ==+ C.32,94E E D E ηξηξ=+=+ D.34,32E E D D ηξηξ=+=+

[答案] A

4.某地有A ,B ,C ,D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区,B 肯定是受A 感染的,对于C ,因为难以断定他是受A 还是受B 感染,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是1

2

,同样也假定D 受A ,B 和C 感染的概率都是1

3

,在这种假定之下,B ,C ,D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量,X 的均值(即数学期望)=( )

A.

125

B.

116 C.

87

D.

23

[答案] B

5.设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且1

3,,7

E P ξ==则n =______,D ξ=______. [答案] 1821;

7

6.在某次测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,2

σ)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为______.

[答案] 0.8

7.(2014浙江卷)随机变量X 的取值为0，1，2.若P (X ＝0)＝1

5，E (X )＝1，则D (X )＝________．

[答案] 2

5

8.(2015东城二模)某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地

选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．

(1)求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；

(2)用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望． [答案] (1)设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．

则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5

P B ==．

因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为

224

()()()()[1()]3515

P AB P A P B P A P B ==-=?=．

(2)设事件C 为“丙同学选中C 课程”．则24

35C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．

1224

(0)()35575

P X P ABC ===??=

(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++22213212320

35535535575=??+??+??=．

(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++23222313333

35535535575

=??+??+??=．

23318

(3)()35575

P X P ABC ===??=．

X 为分布列为：

4()0123757575757515

E X =?

+?+?+?==．

能力提升

1.如果~(5,0.1)B ξ,那么P (ξ≤2)=( ) A .0.0729 B .0.00856 C .0.91854 D .0.99144

[答案] D

2.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )

A ．100

B ．200

C ．300

D ．400

[答案] B

3.1盒产品中有9件正品和3件废品,若每次取1件产品,取出后不再放回,则在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E ξ=______.

[答案] 0.3

4.某射击选手每次射击击中目标的概率为0.8,现在他连续向一个目标射击,直到第一次击中目标为止,则射击次数ξ这一随机变量的数学期望为______.

[答案]

54

5.从分别标有数字1,2,3,…,n 的n 张卡片中任取一张,若卡片上数字ξ是随机变量,则ξ的数学期望为______.

[答案]

1

2

n + 6.(2014湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和3

5.现安排

甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

[答案] （1）

1315

(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝13×25＝2

15，

P (X ＝100)＝13×35＝315，P (X ＝120)＝23×25＝415，P (X ＝220)＝23×35＝6

15

.

故所求的分布列为

数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×61530048013202100

1401515++===. 7.(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.

[答案] （1）

10

7； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15

，∴1

(3,)

5

X B ， 于是0

331

464(0)()()5

5125P X C ===

，112

31448(1)()()55125

P X C ===，

22131412(2)()()

P X C ===，330

3141(3)()()125

P X C ===，故X 的分布列为

X 的数学期望为()355

E X =?=.

8.(2014天津)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. [答案] (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则

()1203

3737310

49

60

C C C C P A C ??=

=

.所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960.

(2)随机变量

X 的所有可能值为0，1，2，3.()346

3

10

k k

C C P x k C -×==()0,1,2,3k =. 所以，随机变量X 的分布列是

随机变量X 的数学期望()1236

21030

5

0E X ??=+??.