厦门理工学院高数答案-6

著《高等数学Ⅰ》练习题

系 专业 班 姓名 学号

6．1 二重积分（1）

一．选择题

1．设积分区域D 是4122≤+≤y x ，则

??D

dxdy = [ B ]

（A ）π （B ）3π （C ）4π （D ）15π

2．设积分区域D 是1≤+y x ，则

??D

dxdy = [B ]

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

3．设平面区域D 由1,21

=+=

+y x y x 与两坐标轴所围成，若??+=D

dxdy y x I 91)][ln(， ??+=D

dxdy y x I 92)(，??+=D

dxdy y x I 93)][sin(，则它们之间的大小顺序为： [ C ]

（A ）321I I I ≤≤ （B ）123I I I ≤≤ （Ｃ）231I I I ≤≤ （Ｄ）213I I I ≤≤

4．设区域D 是由两坐标轴及直线1=+y x 围成的三角形区域，则

??D

xydxdy ＝ [ D ]

（A ）

41 （B ）81 （C ）121 （D ）24

1 二．填空题

1．设区域D 是20,10≤≤≤≤y x ，估计积分的值 ??≤++≤D

dxdy y x )1(

2．设??≤+++=10||||2

2sin cos 100y x y x d I σ，则I 的取值范围是 ≤≤I 3．

120

x dx xy dy ??

=

三．计算题

1．设区域D 由11≤≤-x ，11≤≤-y 所确定，求

??-D

dxdy x y xy )(

2

8100

5121

15

1

1

1

221112

()0

3dx xy x y dy xdx ---=-==???

解：原式也可以利用对称区间上的奇偶函数的性质解题。

2．设D 是由直线2=x ，x y =及双曲线1=xy 所围成的平面区域，求

??

D

dxdy y x 2

2

3．设区域D 由x y x y ==2

2,所围成，求

σd y x D

)(2

??+.

2

2231211112;9

()4x x D x y x x x dx dy x x dx y

??

=≤≤≤≤??

??==-=

???解：所以，原式

《高等数学Ⅰ》练习题

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6．1 二重积分（2）

一．选择题

1．设区域D 是顶点为)0,0(O 、)1,10(A 、)1,1(B 的三角形，则

??

-D

dxdy y xy 2= [ C ]

（A ）3 （B ）5 （C ）6 （D ）10

2．设),(y x f 是连续函数，则

(,)a x

dx f x y dy ?

?= [ B ]

{

2251

1

2

420

01;333)()22140

x

D x x y x dx x y dy x x dx =≤≤≤≤=+=+

-=??解：所以，原式

（A ）

(,)a y dy f x y dx ?? （B ）0

(,)a a

y

dy f x y dx ??

（C ）

(,)a y a

dy f x y dx ?

? （D ）0

(,)a a

dy f x y dx ??

3．二次积分

220

(,)x dx f x y dy ?

?

的另一种积分次序是 [ A ]

（A

）

420

(,)dy f x y dx ? （B

）40

(,)dy f x y dx ?

（C ）

2420

(,)x

dy f x y dx ?

? （D

）40

2

(,)dy f x y dx ??

4．设f 是连续函数，而D ：12

2≤+y x 且0>y ，则

dxdy y x f D

)(22??

+= [ A ]

（A ）10

()rf r dr π

?

（B ）10

()f r dr π? （C ）210

()rf r dr π? （D ）21

()f r dr π?

二．填空题

1．改换积分的次序

1220

1

(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+?

???

= 2

．改换积分的次序

2

1

2(,)x

dx f x y dy -?

?

=

120(,)y

y

dy f x y dx

-?

?

1

102(,)y dy f x y dx -?

?1

2

1

0sin cos (cos ,sin )d rf r r dr π

θθ

θθθ+??

3

．化二次积分为极坐标的二次积分

10

1(,)x

dx f x y dy -?

=

三．计算题

1．求

2

22

y x

dx e dy -?

?

2．设区域D 由y 轴与曲线y x cos =（2

2

π

π

≤

≤-

y ）所围成，求

??D

ydxdy x

22

sin 3

{}

2

2

2

2

40

02,21

(1)

2

y y y D x x y e

dy dx ye

dy e ---=≤≤≤≤==-?

??解：cos 2

2

232

20

2

2

2220

,0cos 22sin 3sin cos 4

2sin (1sin )sin 15

y

D y x y ydy x dx y ydy

y y d y π

π

πππ

ππ-

-??

=-≤≤≤≤??

??

=

==?-=

?

?

??解：原式

3．设积分区域D 为12

2≤+y x ，求

??-+D

dxdy xy y x )(22

4．设区域D 是由2

2224ππ≤+≤y x 所围成，求

dxdy y x D

??+22sin

{}

21220

00cos ,sin ,02,01112(sin cos )(sin 2)383

x r y r D r d r r r dr d π

πθθθππ

θθθθθ===≤≤≤≤=

-=-=

?

??解：令则积分区域原式{}

2222

0cos ,sin ,02,2sin 2(cos sin )|6x r y r D r d r rdr r r r π

π

π

ππ

θθθπππθππ===≤≤≤≤==?-+=-??解：令则积分区域原式

《高等数学Ⅰ》练习题

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6．3 三 重 积 分（1）

一．选择题

1．设区域2222|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，}0≥z ，2

2221|),,{(R z y x z y x ≤++=Ω，

}0,0,0≥≥≥z y x ，则等式成立的是 [ C ]

（A ）

??????Ω

Ω=1

4xdv xdv （B ）??????Ω

Ω=1

4ydv ydv

（C ）

??????Ω

Ω=1

4zdv zdv （D ）??????Ω

Ω=1

4xyzdv xyzdv

2．若三重积分

???Ω

=

3

28π

dxdydz ，积分区域Ω为 [ C ] （A ）4122≤+≤y x ，380≤

≤z （B ）422≤+y x ，3

80≤≤z （C ）41222≤++≤z y x （D ）4222≤++z y x

二．计算题

1．计算

???Ω

dv z xy

32

，其中Ω是由曲面xy z =与平面x y =，1=x 和0=z 所围成的闭区域.

2．计算

???

Ω

+dv y x )(2

2，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域.

{}

123230

01,0,01

364

x xy

x y x z xy xy z dv dx dy xy z dz Ω

Ω=≤≤≤≤≤≤==

??????解：由题意得积分区域为所以2

cos sin 02,02,22x r y r z z r r z θθθπ=??

=??=???Ω=≤≤≤≤≤≤??

??

解：由题意，利用柱面坐标可得积分区域

3．计算

???

Ω

zdv ，其中闭区域Ω是由不等式2222)(a a z y x ≤-++，2

22z y x ≤+所确定.

{

4

20

cos sin 02,0,76

a

a r

x r y r z z r a r z a a zdv d rdr π

θ

θθπθπ

Ω

=??

=??=?Ω=≤≤≤≤≤≤+==??????

解1：由题意，利用柱面坐标可得积分区域

所以

4

22cos 3

40

sin cos sin sin cos 02,0,02cos 47cos sin 6

a x r y r z r r a a zdv d d r dr π

π

?

?θ?θ?πθπ??θ???π

Ω

=??

=??=?

??

Ω=≤≤≤≤≤≤??

??=?=??????

解2：由题意，利用柱面坐标可得积分区域所以

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6．3 三 重 积 分（2）

1．求由曲面2

26y x z --=及22y x z +=所围成的立体的体积.

{}

2

222

60

cos sin 02,02,6323

r r

x r y r z z r r z r V dv d rdr dz π

θθθππθ-Ω

=??

=??=?Ω=≤≤≤≤≤≤-=

==

???

???

解：由题意，利用柱面坐标可得积分区域所以立体体积

2．求锥面22y x z +=

被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.

{

}

2222cos 2220

2

2(,)|(1)1,,2xy

xy

D z z x xy D x y x y x y R S d d π

π

θ

πθθθ-===-+=∈====??

??

?解：锥面所割部分曲面在平面上的投影为

所以所求曲面面积为：

3．设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点),(y x 处的面密

度y x y x 2),(=μ，求该薄片的质心。

{}2

2

22

221301201

2201

20

01;(,)(,)3548

(,)(,)3554

(,)x

x D

x

D

x

x x D

x

D

x

D x x y x x y x y dx x ydy x x y dxdy

x x y dxdy

dx x ydy dx x y dy

y x y dxdy

y x y dxdy

dx x ydy

μμμμμ=≤≤≤≤==

=

=

=

=

=

??????

??

??????

??

解：积分区域，而面密度为连续。

则

4．设均匀薄片所占区域D 为抛物线x y 2

9

2

=

与直线2=x 所围成，求转动惯量x I 和y I .

《高等数学Ⅰ》练习题

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5

2

2

2222

3220000

07

2

2

2

2

2

2

2

2200

02;(,)12722|35

9622|77

x D

y D

D x y x y I y d dx y dy dx y dy dx x I x d dx dy dx dy x x μσσ??=≤≤≤≤=???======

======

??????????

解：积分区域，设面密度。

则

综 合 练 习 题

一．选择题

1．设D 是由1,,02===x x y y 所围的平面区域，且??+

=D

dudv v u f xy y x f ),(),(，

则=),(y x f [ C ]

（A ）xy （B ）xy 2 （C ）8

1

+

xy （D ）1+xy 2．设D 是由0),0(=>=y k kx y 和1=x 围成的区域，且

??=D

dxdy xy 15

1

2，则k = [ A ] （A ）1 （B ）3

54 （C ）3151 （D ）315

2 3．设D 是xOy 平面上以)1,1(，)1,1(-和)1,1(--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限

的部分，则

???+D

dxdy y x xy )sin cos (= [ A ]

（A ）???1

sin cos 2

D ydxdy x （B ）??D

xydxdy 2

（C ）???+1

)sin cos (4

D dxdy y x xy （D ）0

4．设dxdy y x R I D

??

--=

222，其中D 是由222R y x =+所围成的闭区域，则I = [ D ]

（A ）

)43(913-πR （B ）0 （C ）)43(913--πR （D ）33

2R π 二．计算题

1

．求

2

42

1

2

22x

x

x

dx dy dx dy y

y

ππ+?

?

2．设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设

10

()f x dx A =?

，求

110

()()x

dx f x f y dy ??

{}

2

22

2

3

1

1

02;2

48

sin

cos

22

y y

D y y x y x

y

dy dx y dy y

ππππ

π=≤≤≤≤+==-

?=

???

解：积分区域可写为：所以，原式

3．计算三重积分

???

Ω

+dv z x )(，其中Ω是由曲面2

2y x z +=与221y x z --=所围成的区域.

1111

001

22

01

[()()()()]

21

()():01,01

211(())22

x

y

D

dx f x f y dy dy f x f y dx f x f y dxdy D x y f x dx A =+=

≤≤≤≤==???????解：原式21

24

240

022

01

sin cos sin sin :04cos 02()(sin cos cos )sin 1(sin cos cos )sin 41111r x r y r D z r x z dv d d r r r dr

d d ππ

π

π

π

π?θπ?θ??θπ

θ??θ??θ?θ???

Ω

≤≤?=????=≤≤??

??

=?≤≤??+=+=+????

????解：由球面坐标得积分区域所以

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6．4 曲线积分（1）

一．选择题

1．设L 是连接)0,1(-A ，)1,0(B ，)0,1(C 的折线，则

()L

x y ds +=?

[ B ]

（A ）0 （B ）2 （C ）22 （D ）2

2．设L 为椭圆

13

42

2=+y x ，并且其周长为S ，则22(3412)L x y ds ++?= [ D ] （A ）S （B ）6S （C ）12S （D ）24S

二．填空题

1．设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则曲线积分

22

()L

x y ds +=?

2．设L 是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分

()L

x y ds +=?

三．计算题

1．

22()n L

x y ds +?

，其中L 为圆周t a x cos =，t a y sin =（π20≤≤t ）.

2．

22

x y L

e

ds +?

，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇

2222121

2n n a a dt a ππ

π++===???解：原式π