高考数学函数专题习题及详细答案
函数专题练习
1.函数1
()x y e
x R +=∈的反函数是( )
A .1ln (0)y x x =+>
B .1ln (0)y x x =->
C .1ln (0)y x x =-->
D .1ln (0)y x x =-+>
2.已知(31)4,1
()log ,1a a x a x f x x x -+=?>?
是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是
(A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11[,)73
(D )1[,1)7
3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠,
1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有
(A )1()f x x
=
(B )()||f x x = (C )()2x
f x =
(D )2
()f x x =
4.已知()f x 是周期为2
的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设
63(),(),52a f b f ==5(),2
c f =则
#
(A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<
5.
函数2
()lg(31)f x x =
++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3
-∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A .3 ,y x x R =-∈
B . sin ,y x x R =∈
C . ,y x x R =∈ D
7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点
(0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =
B .3
C . 2 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数
{
9、已知函数x
y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则
)
A .()22()x
f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x =>
C .()22()x
f x e x R =∈ D .()2ln ln 2(0)f x x x =+>
10、设12
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -??=?-≥??<,
则的值为, (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 11、对a ,b ∈R ,记max {a ,b }=???≥b
a b b
a a <,,,函数f (x )=max {|x +1|,|x -2|}(x ∈R )的最小值
是
(A )0 (B )
12 (C ) 3
2
(D )3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=,给出下列四个命题: ①存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根; ~
③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根; 其中假.
命题的个数是 A .0 B .1 C .2 D .3
(一) 填空题(4个) 1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=
,若()15,f =-则()()5f f =_______________。
2设,0.(),0.
x e x g x lnx x ?≤=?>?则1
(())2g g =__________
3.已知函数()1
,21
x
f x a =-
+,若()f x 为奇函数,则a =________。 4. 设0,1a a >≠,函数2
()log (23)a f x x x =-+有最小值,则不等式log (1)0a x ->的解
集为 。
(二) 解答题(6个)
》
1. 设函数54)(2--=x x x f .
(1)在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像;
(2)设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间
的关系,并给出证明;
(3)当2>k 时,求证:在区间]5,1[-上,3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.
2、设f(x)=3ax 0.2=++++c b a c bx b
若,f (0)>0,f (1)>0,求证:
(Ⅰ)a >0且-2<
b
a
<-1; (Ⅱ)方程f (x )=0在(0,1)内有两个实根.
3. 已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。
(Ⅰ)求,a b 的值;
^
(Ⅱ)若对任意的t R ∈,不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围;
4.设函数f (x )=,2
2
a
ax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时,求f (x )的单减区间.
5. 已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+,2()3ln g x a x b =+,其中0a >.设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点,且在该点处的切线相同. (I )用a 表示b ,并求b 的最大值; (II )求证:()()f x g x ≥(0x >).
"
6. 已知函数2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>,'()f x 是f (x )的导数;设11a =,1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
(n =1,2,……)
(1)求,αβ的值;
(2)证明:对任意的正整数n ,都有n a >a ;
(3)记ln n n n a b a a
β
-=-(n =1,2,……),求数列{b n }的前n 项和S n 。
$
解答: 一、选择题 1解:由1
x y e
+=得:1ln ,x y +=即x=-1+lny ,所以1ln (0)y x x =-+>为所求,故选D 。
2解:依题意,有0a
1且3a -1
0,解得0
a
1
3
,又当x 1时,(3a -1)x +4a
7a -1,当x
1时,log a x 0,所以7a -1
0解得x 1
7
故选C
3解:2112121212x x 111
|
||||x x x x x x |x x |
--==-|12x x 12∈,(,)12
x x ∴112
1
x x ∴
1
12
11
|
x x -||x 1-x 2|故选A 4解:已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设
644()()()555a f f f ==-=-,311()()()222b f f f ==-=-,51
()()22c f f ==<0,∴
c a b <<,选D .
5解:由131
1301<<-???
?>+>-x x x ,故选B .
6解:B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其
定义域内不是奇函数,是减函数;故选A . 7解:0)(=x f 的根是=x 2,故选C
?
8解:A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=,
即函数()()()F x f x f x =-为偶函数,B 中()()()F x f x f x =-,()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定,即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定, C 中()()()F x f x f x =--,()()()()F x f x f x F x -=--=-,即函数()()()F x f x f x =--为奇函数,D 中()()()F x f x f x =+-,()()()()F x f x f x F x -=-+=,即函数
()()()F x f x f x =+-为偶函数,故选择答案D 。
9解:函数x
y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,所以
()f x 是x
y e =的反函数,即
()f x =ln x ,∴ ()2ln 2ln ln 2(0)f x x x x ==+>,选D .
10解:f (f (2))=f (1)=2,选C 11解:当x -1时,|x +1|=-x -1,|x -2|=2-x ,因为(-x -1)-(2-x )=-3
0,
所以2-x -x -1;当-1x
1
2时,|x +1|=x +1,|x -2|=2-x ,因为(x +1)-(2-x )=2x -1
0,x +1
2-x ;当
12
x
2时,x +1
2-x ;当x
2时,|x +1|=x +1,
|x -2|=x -2,显然x +1x -2;
故2((,1)12([1,))
2
()11([,2))
2
1([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-??
?-∈-?=??+∈??+∈+∞?
据此求得最小值为32。选C
12解:关于x 的方程(
)
0112
2
2
=+---k x x 可化为(
)
2
2
2
11011x x k x x --+=≥≤(-)(或-) (1)
或(
)
2
2
2
110x x k -+=+(-)
(-1x 1) (2)
① 当k =-2时,方程(1)的解为3,方程(2)无解,原方程恰有2个不同的实根
② }
③
当k =
1
4时,方程(1)有两个不同的实根6
2,方程(2)有两个不同的实根2
2
,即原方程恰有4个不同的实根
④ 当k =0时,方程(1)的解为-1,+1,
2,方程(2)的解为x =0,原方程恰有5个不
同的实根 ⑤ 当k =
2
9时,方程(1)的解为153,23
3,方程(2)的解为3,6
程恰有8个不同的实根 选A
二、填空题。
1解:由()()12f x f x +=
得()()
1
4()2f x f x f x +=
=+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()11
5(5)(1)(12)5
f f f f f =-=-=
=--+。
2解:1ln 2111
(())(ln )222
g g g e ===.
3解:函数1().21x f x a =-
+若()f x 为奇函数,则(0)0f =,即01021a -=+,a =2
1
. 4解:由0,1a a >≠,函数2
()log (23)a f x x x =-+有最小值可知a
1,所以不等式
log (1)0a x ->可化为x -1
1,即x 2.
三、解答题 ~
1解:(1)
"
(2)方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+,由于)(x f 在]1,(-∞-和
]5,2[上单调递减,在]2,1[-和),5[∞+上单调递增,因此
(][)
∞++-∞-=,142]4,0[142, A .
由于A B ?∴->-<+,2142,6142.
(3)[解法一] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f . )54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x
436202422
+--
??
? ??
--=k k k x ,
∴
>,2k 124<-k
. 又51≤≤-x , ① 当1241<-≤-k ,即62≤ 4k x -= , ~ min )(x g ()[] 64104 1436202 2---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k , 则0)(min >x g . ② 当 12 4-<-k ,即6>k 时,取1-=x , min )(x g =02>k . 由 ①、②可知,当2>k 时,0)(>x g ,]5,1[-∈x . 因此,在区间]5,1[-上,)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. [解法二] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f . 由???++-=+=, 54),3(2 x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x , 令 0)53(4)4(2=---=?k k ,解得 2=k 或18=k , 在区间]5,1[-上,当2=k 时,)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点 )8,1(; 当18=k 时,)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. > 如图可知,由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-,当2>k 时,直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此,在区间]5,1[-上,)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. 2(I )证明:因为(0)0,(1)0f f >>,所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=,消去b ,得0a c >>; 由条件0a b c ++=,消去c ,得0a b +<,20a b +>. 故21b a -< <-. (II )抛物线2 ()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2 3(,)33b ac b a a --, 在21b a -< <-的两边乘以13-,得12 333 b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c ac f a a +--=- < 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a - 与(,1)3b a -内分别有一实根。 故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. ' 3解:(Ⅰ)因为()f x 是奇函数,所以(0)f =0,即1 11201()22 x x b b f x a a +--=?=∴=++ 又由f (1)= -f (-1)知1 112 2 2.41 a a a - -=-?=++ (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知11211 ()22221 x x x f x +-==-+++,易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数。又因()f x 是奇函数,从而不等式: 2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于2 2 2 (2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-,因()f x 为减函数,由上式推得: 2222t t k t ->-.即对一切t R ∈有:2320t t k -->, 从而判别式14120.3 k k ?=+<- 解法二:由(Ⅰ)知 1 12()22x x f x +-=+.又由题设条件得: 2 2 222221 21 1212022 22 t t t k t t t k ---+-+--= <++, 即 :2 2 2 2 21 221 2(22)(12)(22)(12)0t k t t t t t k -+--+-+-++-<, 整理得 2 3221,t t k -->因底数2>1,故:2320t t k --> : 上式对一切t R ∈均成立,从而判别式14120.3 k k ?=+<- 4解:(Ⅰ)()f x 的定义域为R ,2 0x ax a ∴++≠恒成立,2 40a a ∴?=-<, 04a ∴<<,即当04a <<时()f x 的定义域为R . (Ⅱ)22 (2)e ()()x x x a f x x ax a +-'=++,令()0f x '≤,得(2)0x x a +-≤. 由()0f x '=,得0x =或2x a =-,又 04a <<, 02a ∴<<时,由()0f x '<得02x a <<-; 当2a =时,()0f x '≥;当24a <<时,由()0f x '<得20a x -<<, 即当02a <<时,()f x 的单调减区间为(02)a -,; 当24a <<时,()f x 的单调减区间为(20)a -,. 5解:(Ⅰ)设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ,处的切线相同. % ()2f x x a '=+∵,2 3()a g x x '=,由题意00()()f x g x =,00()()f x g x ''=. 即2 20002 00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=?? ,,由200 32a x a x +=得:0x a =,或03x a =-(舍去). 即有2222215 23ln 3ln 22b a a a a a a a = +-=-. 令22 5()3ln (0)2 h t t t t t =->,则()2(13ln )h t t t '=-.于是 当(13ln )0t t ->,即13 0t e <<时,()0h t '>; 当(13ln )0t t -<,即13 t e >时,()0h t '<. 故()h t 在130e ?? ???,为增函数,在1 3e ??+ ???,∞为减函数, 于是()h t 在(0)+,∞的最大值为12333 2 h e e ??= ???. (Ⅱ)设2 21()()()23ln (0)2 F x f x g x x ax a x b x =-= +-->, 则()F x '23()(3) 2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>. 故()F x 在(0)a ,为减函数,在()a +, ∞为增函数, 于是函数()F x 在(0)+, ∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=. 故当0x >时,有()()0f x g x -≥,即当0x >时,()()f x g x ≥. 6解析:(1)∵2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>, ∴1515 ,αβ-+--= = ; (2)'()21f x x =+,21 115 (21)(21)12 442121 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ =5114 (21)4 212n n a a ++ - +,∵11a =,∴有基本不等式可知2510a -≥>(当且仅当151a -= 时取等号),∴2510a -> >同,样351a ->,……,51 n a α->=(n =1,2,……), (3)1()()(1)2121 n n n n n n n n a a a a a a a a αββ ββα+----=--=++++,而1αβ+=-,即1αβ+=-, 21()21n n n a a a ββ+--=+,同理21()21n n n a a a αα+--=+,12n n b b +=,又113535 ln ln 2ln 135 b βα-++===-- 35 2(21)ln n n S +=- 四、创新试题 1解:依题意,有x 1=50+x 3-55=x 3-5,x 1x 3,同理,x 2=30+x 1-20=x 1+10x 1 x 2,同理,x 3=30+x 2-35=x 2-5 x 3 x 2故选C 2解:令c =π,则对任意的x ∈R ,都有f (x )+f (x ?c )=2,于是取2 1 ==b a ,c =π,则对任意的x ∈R ,af (x )+bf (x ?c )=1,由此得 1cos -=a c b 。选C。